與數(shù)學(xué)史相伴的思考之旅

陸祎雯

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)追求學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解的深刻性是必不可少的。將小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與對應(yīng)的數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)有助于學(xué)生更深層次的理解，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促進(jìn)學(xué)生對該數(shù)學(xué)定理的應(yīng)用，在形成數(shù)學(xué)定理過程中激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思維，從而提高長期數(shù)學(xué)新授定理課課堂教學(xué)質(zhì)量和培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考數(shù)學(xué)問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育;數(shù)學(xué)史;獨(dú)立思維

記得一年級剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生會跑來問我為什么這門課叫數(shù)學(xué)，什么是數(shù)學(xué)？這個問題就像他們會仰著頭問爸爸媽媽他們是從哪里來的一樣熟悉和頻繁。數(shù)學(xué)課伊始學(xué)習(xí)寫阿拉伯?dāng)?shù)字。所以我總是從文字上詼諧地解讀“數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)字呀！你們認(rèn)真好好寫，數(shù)學(xué)才會學(xué)得好?！逼鋵?shí)數(shù)學(xué)作為一門自然學(xué)科，真的很難用幾句話去概括何為數(shù)學(xué)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將數(shù)學(xué)定義為研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，是人類文化的重要組成部分并安排了四個部分的課程內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”。

我思考了很久，什么是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)從哪里來？何為數(shù)學(xué)史;該如何運(yùn)用到課堂教學(xué)中去;哪些知識點(diǎn)可以利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué);運(yùn)用了數(shù)學(xué)史能否真正有效提高教學(xué)質(zhì)量;到底學(xué)生哪方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了提升。美國著名數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家M.克萊因似乎回答了筆者內(nèi)心的部分疑惑。他說“歷史是教學(xué)的指南”。言下之意，數(shù)學(xué)史自然就是數(shù)學(xué)教學(xué)指南。

一、 緣起——兒童相見不相識，笑問客從何處來

一年級上冊在教授完“10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”之后，課堂小結(jié)后有個學(xué)生提問“為什么這些數(shù)字叫阿拉伯?dāng)?shù)字？”這一提問竟然讓學(xué)生們統(tǒng)一得出了“錯誤標(biāo)準(zhǔn)”答案，“這些數(shù)字是阿拉伯人發(fā)明的唄！”還好我有所準(zhǔn)備，孩子們在閱讀了PPT上的數(shù)學(xué)史料之后紛紛發(fā)出了恍然大悟的感嘆聲，原來阿拉伯?dāng)?shù)字是古印度人發(fā)明的，阿拉伯人傳播到歐洲去的。同時筆者分別講述在沒有數(shù)字之前其他三大古國記錄數(shù)量的方法。第二天家校聯(lián)系本溝通欄中就出現(xiàn)了阿拉伯?dāng)?shù)字的由來，很自豪表示爸爸媽媽沒搞懂的歷史被他們了解得一清二楚，有的在家里還做了回小老師，有的利用數(shù)字歷史甚至跟爸爸打賭贏得了額外的獎勵。一時之間，班里對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣高漲。這讓當(dāng)時初上講臺的筆者初識數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合的美妙化學(xué)反應(yīng)。

四年級下冊在教授“三角形內(nèi)角和180°”之前，詢問學(xué)生“三角形內(nèi)角和是多少？”學(xué)生們統(tǒng)一得出了“正確標(biāo)準(zhǔn)”答案——180°，追問為什么是180°時，學(xué)生的臉上紛紛出現(xiàn)了不自信表情回答著，有的說是自己量過得到，有的說是剪剪拼拼得到一個平角的。按照教案常規(guī)地進(jìn)行授課，帶著學(xué)生對不同類型的三角形進(jìn)行測量拼貼，總結(jié)出了三角形內(nèi)角和180°。三角形內(nèi)角和是180°對于學(xué)生而言就如同一句無意識的口號，在作業(yè)本中稍難一些的變式達(dá)成率不盡如人意。第二天，我提出了升級版問題“為什么三角形內(nèi)角和180°，你能不測量，不剪拼來證明嗎？”教室里瞬間鴉雀無聲。有基礎(chǔ)差的學(xué)生干脆就放棄思考，靠著椅背望著天，畢竟“三角形內(nèi)角和180°”這句口號他們喊得已經(jīng)滾瓜爛熟了。筆者在備課初期就考慮到了這一點(diǎn)，對于已經(jīng)熟記的數(shù)學(xué)定理，很多學(xué)生是不愿再花時間去進(jìn)行多角度思考這條定理是否存在不同證明或者解法，似乎已經(jīng)掌握了。這時候，出示PPT上為學(xué)生介紹法國著名數(shù)學(xué)家物理學(xué)家帕斯卡在12歲的時候沒有拼剪沒有測量就證明了“三角形內(nèi)角和180°”。面對這個“爆炸性”的數(shù)學(xué)史料，學(xué)生們頓時來了興趣，歷史上竟然有個數(shù)學(xué)家在他們的年齡就完成了這個證明。不服輸?shù)男宰右幌伦泳捅患ぐl(fā)出來了，學(xué)生們紛紛拿出了紙筆想要挑戰(zhàn)一下帕斯卡，說不定自己就是明日的數(shù)學(xué)家呢！

這兩個簡短的親身教學(xué)實(shí)例一直深深地印在筆者的腦海中，如果數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容（數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，數(shù)學(xué)趣味故事，數(shù)學(xué)家人物自傳等）而讓學(xué)生的思維活起來，這樣的數(shù)學(xué)課堂是不是就可以打破外學(xué)生對數(shù)學(xué)越學(xué)越沉默，視其為畏途的“偏見”？

二、情深——一枝獨(dú)秀不是春，百花齊放滿園春

翻閱書籍，一些數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)家早在19世紀(jì)就已經(jīng)開始關(guān)注數(shù)學(xué)史的教育價值了。美國數(shù)學(xué)史家卡有利（F.Cajori）稱，一門學(xué)科的歷史乃是“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”，認(rèn)為數(shù)學(xué)史在課堂上可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;又稱，“學(xué)生所遭遇的困難往往是相關(guān)學(xué)科的創(chuàng)建者經(jīng)過長期思索和探討后所克服的實(shí)際困難”1。在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生面對問題能主動思索多種解法是十分重要的，筆者想這體現(xiàn)了當(dāng)下十分熱門的教育關(guān)鍵詞——以生為本和解題多樣化。這些解法可以是學(xué)生的，也可以是歷史上的。在課堂討論中，可采取互動的方式師生共同討論包括歷史方法在內(nèi)的各種方式2。而實(shí)際上，由于歷史相似性的存在，即學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解過程與數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過程具有一定的相似性，歷史上數(shù)學(xué)家所遭遇的困難正是學(xué)生所經(jīng)歷的障礙3。

實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生很多點(diǎn)與歷史上類似，有的是與數(shù)學(xué)家的總結(jié)數(shù)學(xué)定理時的年齡相仿;有的是計(jì)算過程，尋找的證明特例相似;有的是錯誤思路相似。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些與歷史中偉大的數(shù)學(xué)家想法相似時，都不經(jīng)感嘆“歷史總是驚人地相似！”臉上洋溢著自己都不經(jīng)意的自信與喜悅。學(xué)生樂意并投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去，養(yǎng)成獨(dú)立思考問題的習(xí)慣。

對于小學(xué)一線教師來說利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考是件十分誘人的挑戰(zhàn)。教育部2013審定人教版數(shù)學(xué)教課書上往往以“你知道嗎？”一欄為對應(yīng)課題的數(shù)學(xué)史進(jìn)行滲透。筆者對課本上已有的數(shù)學(xué)史進(jìn)行了整理。

一年級上冊：算籌、古埃及象形字、中國古代計(jì)時器

一年級下冊：七巧板、中國古代貨幣介紹

二年級上冊：現(xiàn)代多種測量工具、乘號的由來、用雙手表示9的乘法口訣、介紹我國兩千多年的乘法口訣歷史

二年級下冊：我國剪紙背景、計(jì)數(shù)的歷史演變、生活中的稱

三年級上冊：分?jǐn)?shù)在我國的表示方式及其演化歷史

三年級下冊：指南針、除號的由來、二十四節(jié)氣歌、閏年的由來、地球自轉(zhuǎn) 24時區(qū)、小數(shù)出現(xiàn)的歷史

四年級上冊：三位一分節(jié)的大數(shù)的由來;數(shù)的由來及其發(fā)揚(yáng)的歷史;我國歷史上0的表示方式;計(jì)算工具的發(fā)展、我國土地特有面積單位“畝”、意大利格子乘法、神奇的莫比烏斯帶

四年級下冊：小括號、中括號、大括號的由來、小數(shù)的由來及其歷史、《孫子算經(jīng)》雞兔同籠

五年級上冊：什么是“數(shù)字黑洞”？ 方程的國內(nèi)外史、《九章算術(shù)》方田章;劉徽出入相補(bǔ)原理

五年級下冊：完全數(shù);哥德巴赫猜想、幾何學(xué)和歐幾里得、《九章算術(shù)》立體圖形體積計(jì)算公式、《九章算術(shù)》更相減損術(shù)

六年級上冊：《莊子？天下篇》一尺之棰，日取其半，萬事不竭、音樂五線譜中的分?jǐn)?shù)、黃金比、圓周率：《周髀算經(jīng)》祖沖之;《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)、恩格爾系數(shù)

六年級下冊：中外負(fù)數(shù)的發(fā)展歷史、圓柱容球（阿基米德）、抽屜原理、七橋問題

對于小學(xué)六年龐大的數(shù)學(xué)知識體系而言，教材上所羅列的數(shù)學(xué)史顯得頗有“地廣人稀”的感覺。所以筆者根據(jù)閱讀和搜集了課內(nèi)外的小學(xué)數(shù)學(xué)歷史資料并將其與數(shù)學(xué)知識點(diǎn)一一對應(yīng)。將歷史資料分為與課程標(biāo)準(zhǔn)一致的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四大模塊。

數(shù)與代數(shù)：劉徽與小數(shù)的發(fā)明;分?jǐn)?shù)和小數(shù)的由來;（韋達(dá)）字母表示數(shù)及其歷史，負(fù)數(shù)的歷史;阿基米德表示大數(shù);手指算（16世紀(jì)）;格子算法（15世紀(jì)）;古印度數(shù)學(xué)家在除數(shù)是0上的錯誤思考;古代中國、印度和近代歐洲的分?jǐn)?shù)除法;一元一次方程的歷史，移項(xiàng)（《九章算術(shù)》），盈不足問題（《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)宗》），行程問題（斐波那契《計(jì)算之書》）。涵蓋知識點(diǎn)：小數(shù);分?jǐn)?shù);字母表示數(shù);大數(shù)的認(rèn)識;一位數(shù)乘法;兩位數(shù)或多位數(shù)的乘法;正整數(shù)的除法;分?jǐn)?shù)的除法;一元一次方程的概念、解法與應(yīng)用。

圖形與幾何：泰勒斯與帕斯卡分別論證三角形內(nèi)角和及其發(fā)展歷史;祖沖之計(jì)算圓周率;開普勒推導(dǎo)圓面積及圓面積公式的發(fā)展歷史;角的由來;圓的定義（《墨經(jīng)》和《幾何原本》）;位置表示方法的歷史;出入相補(bǔ)原理。涵蓋知識點(diǎn)：三角形內(nèi)角和;圓周率;圓的面積;角;圓;位置的表示法;三角形與梯形的面積。

統(tǒng)計(jì)與概率：恩格爾系數(shù)。

綜合與實(shí)踐：七巧板;莫比烏斯帶;數(shù)獨(dú);加減乘除、等于大于小于、括號等數(shù)學(xué)符號的歷史;數(shù)學(xué)工具的發(fā)明（量角器、鐘等）。涵蓋知識點(diǎn)：正整數(shù)的四則運(yùn)算等。

在歷史收集研究后，需要選擇制定出適合于課堂教學(xué)和兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的教學(xué)設(shè)計(jì)。歷史資料的選用必須讓學(xué)生覺得有趣，有吸引力且兼?zhèn)鋽?shù)學(xué)教育意義;必須要符合史實(shí)，不能因新穎而隨意編造;最重要的一點(diǎn)是必須明確教學(xué)目標(biāo)，不因?yàn)榱藲v史而上數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)史始終為學(xué)生創(chuàng)造獨(dú)立思維，為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)所服務(wù)。

課本課本學(xué)生的根本。數(shù)學(xué)教材是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的集合。顯然，不論是教師在執(zhí)教過程中還是學(xué)生學(xué)習(xí)作業(yè)上都感受到了所要掌握的數(shù)學(xué)內(nèi)容遠(yuǎn)不止教材中的內(nèi)容。數(shù)學(xué)教材并不是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一材料。在整理收集數(shù)學(xué)史的中筆者發(fā)現(xiàn)在這當(dāng)中尋找數(shù)學(xué)教學(xué)資源宛若遇見了一個極大的寶藏。可以對教材相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行充實(shí)，既拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，又豐富了學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，增強(qiáng)了學(xué)生獨(dú)立思考的能力。

三、 結(jié)緣——博觀而約取，厚積而薄發(fā)

如何將數(shù)學(xué)史料有效地融入數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐中，從而幫助學(xué)生增強(qiáng)獨(dú)立思考的能力呢？我們需要選擇合適于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)史。

（1） 課外知識拓展型

有的數(shù)學(xué)史可以作為課外知識的拓展，出示在課前或課堂總結(jié)后，例如展示有關(guān)數(shù)學(xué)家的生平故事等。在教學(xué)大數(shù)的認(rèn)識時可以講述阿基米德數(shù)沙子的故事;在教學(xué)位置表示方法時可以講述笛卡爾與蒼蠅位置的故事（數(shù)對）;在教學(xué)圓周率時可以講述祖沖之推算的故事。

（2） 歷史“遺留”問題型

根據(jù)歷史資料改編成現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題。例如《莊子？天下篇》一尺之棰，日取其半，萬事不竭，改編現(xiàn)代語言的數(shù)學(xué)問題，更改數(shù)據(jù)，學(xué)生們互相出題。還有四年級的雞兔同籠問題和六年級的七橋問題與歐拉定理。

（3） 復(fù)制粘貼拿來型

直接運(yùn)用歷史上的數(shù)學(xué)問題或者解法等。例如在教學(xué)兩位數(shù)乘法時可以直接引入格子算法;在教學(xué)行程相遇問題時，直接采用《九章算術(shù)》中的鳧雁相逢問題或《計(jì)算之書》中的兩船相遇問題;在教學(xué)三角形內(nèi)角和時，可直接引用帕斯卡的證明過程。在總結(jié)除法運(yùn)算規(guī)律時可以直接運(yùn)用“同頭無除商八、九”和“除數(shù)折半商四、五”的口訣，這我國古代勞動人民逐步總結(jié)出來的除法試商經(jīng)驗(yàn)。

（4） 分解重構(gòu)型

借鑒或重新構(gòu)建知識的發(fā)生、發(fā)展歷史。例如按照普洛克拉斯的“量—質(zhì)—關(guān)系”4重現(xiàn)角概念的歷史。在教學(xué)提取最大公因數(shù)時可以借鑒我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里，記載最大公因數(shù)的方法——“以少減多，更相減損”。在學(xué)習(xí)多邊圖形的面積時可以借鑒《九章算術(shù)》中記載著有關(guān)土地面積計(jì)算的內(nèi)容，具體介紹了各種圖形的面積計(jì)算方法。著名數(shù)學(xué)家劉徽在注文中用“以盈補(bǔ)虛”的方法加以證明，并配有生動形象的圖。

沒有數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課堂不會怎么樣，有了數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課肯定不一樣。當(dāng)學(xué)生面對數(shù)學(xué)史“笑問客從何處來”時，給他們想探求的歷史知識，促進(jìn)獨(dú)立思維。面對數(shù)學(xué)教材的一枝獨(dú)秀，給學(xué)生的知識視野加點(diǎn)兒料，百花齊放才能滿園春。數(shù)學(xué)不再是枯燥乏味的，教師平日的靜心博觀，精心約取，課堂上才能讓學(xué)生達(dá)到厚積而薄發(fā)的效果。

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