范希爾理論下的幾何思維困境及其教學(xué)突破

紀(jì)定春?周思波

摘 要 范希爾理論是幾何教學(xué)基礎(chǔ)理論。對范希爾理論作了簡介，分析了中學(xué)生范希爾幾何思維水平及困境，針對中學(xué)生幾何思維困境，給出如下突破對策：用全面表征幾何圖形、細(xì)化幾何要素分析、強(qiáng)化幾何圖形關(guān)聯(lián)、規(guī)范幾何表達(dá)、注重語言轉(zhuǎn)換等策略，實(shí)現(xiàn)分析水平到非形式演繹水平的突破;用自然推理嚴(yán)謹(jǐn)化、幾何推理符號化、理解邏輯思維及構(gòu)成要素、強(qiáng)化概念和命題網(wǎng)絡(luò)、優(yōu)化幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)等策略，實(shí)現(xiàn)非形式演繹水平到演繹水平的突破。

關(guān)鍵詞 范希爾理論 思維困境 幾何教學(xué) 教學(xué)突破

幾何教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成，范希爾理論是中學(xué)幾何教學(xué)的基礎(chǔ)理論，對提升學(xué)生的幾何素養(yǎng)具有理論價(jià)值與實(shí)踐意義。該理論于20世紀(jì)50年代由荷蘭數(shù)學(xué)教師范希爾夫婦在研究幾何教學(xué)時(shí)提出。隨后，首先被蘇聯(lián)教育界接受，并用于幾何課程設(shè)計(jì)，讓學(xué)生幾何思維水平顯著提高。此后十年，美國學(xué)者開始關(guān)注范希爾理論。如今，范希爾理論已被世界數(shù)學(xué)教育界公認(rèn)，并成為教材設(shè)計(jì)、教材對比研究、師生思維測量、幾何與非幾何教學(xué)設(shè)計(jì)等的理論基礎(chǔ)。眾所周知，范希爾幾何思維水平具有進(jìn)階性，即不能直接從低水平直接跳躍到高一級思維水平。為更好實(shí)現(xiàn)兩相鄰思維水平間的過渡，先對范希爾理論作簡介，然后分析目前中學(xué)生的范希爾思維水平與困境，最后結(jié)合范希爾思維水平特點(diǎn)，給出突破幾何思維困境的教學(xué)策略。

一、范希爾理論簡介

范希爾夫婦在幾何教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生、教材和教師幾何思維水平不同步。受美國學(xué)者皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段論的啟發(fā)，提出了學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的5水平思維，即[1]：水平0—視覺（visuality）：能用整體輪廓辨圖，能用不標(biāo)準(zhǔn)名稱描述圖形，但不能用圖的特征、要素來分析和概述圖形;水平1—分析（analysis）：能分析圖形要素及特性，并用于解決幾何問題，能將幾何分類，但不理解圖形定義，不能解釋特性間及圖形性質(zhì)間關(guān)系，無法推公式及用正式定義;水平2—非形式演繹（informal deduction）：能建立圖形內(nèi)部或圖形間性質(zhì)的聯(lián)系，能用定義、定理等作自然語言上的演繹推理，但大腦中未形成有條理的概念系統(tǒng);水平3—形式演繹（formal deduction）：能充分理解邏輯證明中的因果關(guān)系，能建立定理間的邏輯關(guān)系，能提出猜想并用演繹法證明猜想;水平4—嚴(yán)密性（rigior）：學(xué)生能分析比較不同幾何公理系統(tǒng)，能理解不同幾何系統(tǒng)下各定理間的邏輯關(guān)系，以及在某系統(tǒng)下解題時(shí)的邏輯嚴(yán)密性。

20世紀(jì)80年代，范希爾將5思維水平并為3思維水平，即直觀、描述和理論水平[1]。直觀水平（visual level）：能整體認(rèn)識幾何對象;描述水平（descriptive level）：通過幾何性質(zhì)認(rèn)識幾何對象;理論水平（theoretical level）：利用演繹推理證明幾何關(guān)系。盡管兩種思維水平的界定無本質(zhì)區(qū)別，但目前仍以5水平劃分方式運(yùn)用較多，本文也采用5水平思維劃分方式。

二、范希爾幾何思維水平測量與思維困境

1.范希爾理論下的幾何思維水平測量

王紅兵[2]設(shè)計(jì)了一道幾何開放題，對南京市初中畢業(yè)生范希爾思維水平進(jìn)行調(diào)查及分析，結(jié)果表明學(xué)生思維多處于水平2，其次是水平1，最少是水平3，并指出高水平的幾何思維不穩(wěn)定、思維瑕疵多。王寬明[3]用范希爾理論，對學(xué)生范希爾思維水平與推理能力的關(guān)系進(jìn)行了研究，結(jié)果表明學(xué)生范希爾思維水平與推理能力呈正相關(guān)，學(xué)生思維水平主要處于水平2。黃興豐等[4]對蘇南某市7～9年級學(xué)生幾何思維的發(fā)展做了研究，結(jié)果表明7年級學(xué)生有少數(shù)達(dá)到水平3（非形式演繹）以上，其余學(xué)生思維水平較均勻地分布在1-3水平。通過初中幾何學(xué)習(xí)，9年級學(xué)生的思維水平明顯提高，50%以上達(dá)到水平3，但仍有較多學(xué)生未能從水平2跨到水平3。黃興豐等[5]利用范希爾理論，測量了高三學(xué)生空間幾何思維水平，結(jié)果表明學(xué)生幾何思維水平0和水平1得到充分發(fā)展，盡管90%以上學(xué)生達(dá)到水平2（非形式演繹），但屬中低水平，未達(dá)到高水平的非形式演繹水平，75%的學(xué)生達(dá)到水平3（形式演繹），但仍是低水平的。

通過文獻(xiàn)分析，結(jié)論如下：1、幾何思維水平總體不高，學(xué)生幾何思維主要集中在水平2（分析）和水平3（非形式演繹）;2、同水平差異大，盡管學(xué)生幾何思維達(dá)到同一水平，但存在低、中、高之差異，且主要集中于中、低水平;3、思維不穩(wěn)定，分析過程呈較高水平，但解答過程呈低水平，高水平思維持續(xù)時(shí)間短;4、思維水平間跨越較難，存在思維困境;5、幾何思維水平與推理能力呈正相關(guān)。

2.范希爾理論下的幾何思維困境

從目前測量結(jié)果看，大部分學(xué)生范希爾幾何思維水平在水平2，較多停留在水平1，一部分學(xué)生達(dá)到水平3，但高水平的思維不穩(wěn)定，并暴露出思維瑕疵。通過學(xué)生幾何思維的分布來看，學(xué)生的幾何思維從分析到非形式演繹，以及從非形式演繹到形式演繹的突破，都存在較大思維難度，表現(xiàn)為測量結(jié)果的思維斷層。范希爾認(rèn)為，學(xué)生幾何思維的發(fā)展是有先后順序的[6]，即只有達(dá)到前一水平，才會跳躍到后一水平。Guti&rez等[7]引入向量表示范希爾幾何思維，并將每個(gè)水平分為5個(gè)連續(xù)階段，分別為未獲得、低水平獲得、中水平獲得、高水平獲得以及完全獲得，并用定量的數(shù)值區(qū)間刻畫學(xué)生在每個(gè)水平上的發(fā)展?fàn)顩r。這將范希爾思維水平的每個(gè)水平進(jìn)行再細(xì)分，相當(dāng)于用更精確的尺子來測量學(xué)生幾何思維水平。再此，為方便表述，不妨將未獲得和低水平獲得稱為前水平，將中水平獲得稱為獲得水平，將高水平獲得和完全獲得稱為后水平。接下來，將結(jié)合上述分析，分別給出從分析水平到非形式演繹水平，以及從非形式演繹到形式演繹的突破策略。

三、分析后水平向非形式演繹前水平的突

破策略

當(dāng)學(xué)生范希爾幾何思維處于分析獲得水平，此時(shí)能描述圖形部分特征，但不清楚這些特征間關(guān)系。當(dāng)學(xué)生范希爾幾何思維處于非形式演繹前水平，學(xué)生能初步建立圖形內(nèi)部或圖形間性質(zhì)的聯(lián)系，但這種聯(lián)系較弱，能用定義、定理等作自然語言上的演繹推理，但語言描述不夠準(zhǔn)確和完善。為更好實(shí)現(xiàn)兩水平間的過渡，則需要促進(jìn)圖形整體認(rèn)識，細(xì)化幾何要素，強(qiáng)化圖形關(guān)聯(lián)，完善語言表達(dá)，于是給出如下教學(xué)對策。

1.全面表征幾何圖形

表征，指研究對象在人腦中的呈現(xiàn)和反映。圖形表征，指幾何圖形在人腦中的呈現(xiàn)和反映。豐富的圖像表征，是促進(jìn)學(xué)生的幾何思維從感性認(rèn)知到理性認(rèn)知的基礎(chǔ)。全面表征圖形，就要從整體到局部和局部到整體的觀察、分析、辨別圖形特點(diǎn)，讓幾何研究對象在人腦中更全面、更豐富的呈現(xiàn)和反映。例如，在學(xué)習(xí)三角形高的概念時(shí)，先以銳角三角形的高為例，很多學(xué)生只會作由一個(gè)頂點(diǎn)引出的高，不能將高的定義遷移到其余兩邊上，這時(shí)需要教師刻意引導(dǎo)學(xué)生表征三角形的整體概貌，讓學(xué)生對三角形三邊的地位有更深刻認(rèn)識，即認(rèn)識到三角形三邊的地位“平等”或“等價(jià)”，那么一個(gè)三角形就有三條高。再讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、嘗試作高、用高的定義檢驗(yàn)是否為三角形的高。然后，將銳角三角形換成是直角三角形和鈍角三角形，發(fā)現(xiàn)直角三角形有兩條高恰好直角邊，而鈍角三角形有兩條高在頂點(diǎn)所對底延長線上。通過對三角形高的全面表征，學(xué)生就形成了對三角形高更全面、深刻的認(rèn)識。

2.細(xì)化幾何要素分析

要素，一般指構(gòu)成對象的成分。要素分析，即分析要素內(nèi)部及之間的聯(lián)系和區(qū)別。在幾何中，幾何要素主要指構(gòu)成幾何對象的成分。例如，在學(xué)習(xí)三角形時(shí)，要充分分析三角形的構(gòu)成要素，明確三角形是由“角”和“邊”兩種要素組成。分析不同幾何要素之間的關(guān)系，如角和邊之間的對應(yīng)關(guān)系，角大小與邊長度之間的關(guān)系，即大角對大邊，小角對小邊。分析同要素間的關(guān)系，如三個(gè)內(nèi)角和、外角和的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)成三角形需滿足三邊的不等關(guān)系等。通過對要素內(nèi)部及之間的分析，可讓學(xué)生弄清三角形的組成要素及各要素間的關(guān)系，更能理解要素間是如何相互作用的。

3.強(qiáng)化幾何圖形關(guān)聯(lián)

關(guān)聯(lián)，分為內(nèi)部與外部關(guān)聯(lián)。幾何圖形常存在內(nèi)部關(guān)聯(lián)又具外部關(guān)聯(lián)，外部關(guān)聯(lián)多表現(xiàn)為定義的不同。對一個(gè)對象下定義的方式有很多，但下定義需遵循四條規(guī)則，即：定義要相稱、定義不循環(huán)、定義要簡明、定義一般不用否定形式。例如，小學(xué)階段所學(xué)的正方形、長方形、平行四邊形、梯形、四邊形等，學(xué)生可能無法直接將其串聯(lián)。則需教師借助下定義（“屬+種差”）的原理來構(gòu)建圖形間的關(guān)聯(lián)。平面上的四邊形，可分為凸四邊形和凹四邊形。在凸四邊形中，加不同限制條件，可定義正方形、長方形、平行四邊形和梯形等。凸四邊形所包含內(nèi)容更豐富，而被定義的正方形、長方形、平行四邊形和梯形等是滿足某些限制條件的圖形。凸四邊形為被定義圖形的上位概念，而被定義項(xiàng)是凸四邊形的下位概念，它們之間是包含與被包含、一般與特殊的關(guān)系。這樣分析，學(xué)生就可明確圖形的定義與被定義間的關(guān)系，進(jìn)而明晰圖形間的關(guān)聯(lián)。

4.規(guī)范幾何表達(dá)，注重語言轉(zhuǎn)換

每門學(xué)科都有自己獨(dú)特的語言系統(tǒng)，幾何也不例外。幾何語言，指用幾何術(shù)語來描述幾何對象的語言。幾何語言包括文字、符號、圖形等語言。幾何語言是傳遞幾何信息的媒介，在幾何學(xué)習(xí)中具有重要作用。信息加工理論研究表明，語言表達(dá)能促進(jìn)新信息從短時(shí)記憶進(jìn)入長時(shí)記憶，并能加深對新信息的理解。因此，在幾何教學(xué)中要注重幾何語言的表達(dá)，讓學(xué)生分析、描述幾何對象。而幾何語言的精準(zhǔn)性直接影響學(xué)生對幾何對象的認(rèn)知，因此幾何語言的表述一定要準(zhǔn)確和清晰。如，教師可讓學(xué)生先說，再及時(shí)糾正，糾正后再讓學(xué)生復(fù)述，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生精確的幾何表達(dá)能力。腦科學(xué)研究指出，復(fù)雜心理活動(dòng)需要大腦兩個(gè)半球協(xié)同工作，如閱讀、思考、記憶存儲和提取等。大腦左半球負(fù)責(zé)對認(rèn)知對象的語義加工，右半球主要負(fù)責(zé)對圖片的加工，然后在大腦中形成對對象的表象和意象。例如，當(dāng)提及圓，大腦呈現(xiàn)的可以是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程，也可以是圓的圖形，即由圓心和半徑所確定的圖形，亦或圓的定義等。圓的定義就是幾何語言中的文字語言;標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程是符號語言;當(dāng)提及圓的定義（概念）在頭腦中反映的是一個(gè)圓的表象，則是圖形語言在大腦中的表征。在問題解決中，問題呈現(xiàn)性態(tài)未必有利于問題解決，往往需要幾種語言間的切換，以方便問題解決。幾何語言的相互轉(zhuǎn)換，不但可優(yōu)化大腦協(xié)同工作的品質(zhì)，而且對全面表征幾何，促進(jìn)問題解決等都具有重要

價(jià)值。

四、非形式演繹后水平向形式演繹前水平

的突破策略

學(xué)生范希爾幾何思維處于非形式演繹后水平和形式演繹前水平之間，此時(shí)學(xué)生能建立圖形內(nèi)部及圖形間性質(zhì)的聯(lián)系，能使用定義、定理等做自然語言上的演繹推理，但未形成邏輯的概念系統(tǒng)。學(xué)生不能充分理解邏輯證明中的因果關(guān)系，也不能建立定理間的邏輯關(guān)系。因此，為實(shí)現(xiàn)非形式演繹后水平向形式演繹前水平的過渡，給出如下教學(xué)對策，即自然推理嚴(yán)謹(jǐn)化、幾何推理符號化、理解邏輯結(jié)構(gòu)與要素、概念命題網(wǎng)絡(luò)化。

1.自然推理嚴(yán)謹(jǐn)化

劉京莉[8]研究表明，學(xué)生范希爾幾何思維與幾何推理能力呈正相關(guān)。因此，要重視幾何推理素養(yǎng)的培養(yǎng)。當(dāng)學(xué)生幾何思維處于非形式演繹后水平與形式演繹前水平之間，已能用自然語言演繹推理，但這種推理不嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯不嚴(yán)密。因此，該階段的教學(xué)要將學(xué)生自然語言上的演繹推理嚴(yán)謹(jǐn)化，并將推理過程用規(guī)范的幾何語言表述。很多時(shí)候，學(xué)生在幾何證明的嚴(yán)謹(jǐn)性上出問題，如邏輯混亂、條件與結(jié)論顛倒、論證過程含糊不清等，但讓學(xué)生來分析，可發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題思路沒問題，這是自然語言上的非形式演繹推理向嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理過渡存在問題。由范希爾理論可知，學(xué)生幾何思維的發(fā)展與教師幾何語言的運(yùn)用直接相關(guān)，即可通過教師的幾何語言來提升學(xué)生的幾何思維水平。因此，在幾何教學(xué)中，教師要注意幾何用語的嚴(yán)謹(jǐn)性，并引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀涡g(shù)語表達(dá)幾何對象，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程來論證幾何，進(jìn)而逐步實(shí)現(xiàn)推理嚴(yán)謹(jǐn)化。

2.幾何推理符號化

符號化是數(shù)學(xué)發(fā)展的基本特征，是進(jìn)行抽象思維的基礎(chǔ)。符號是思維操作的對象，是進(jìn)行思維活動(dòng)的現(xiàn)實(shí)心理基礎(chǔ)。幾何推理方式較多，如自然推理、圖形推理、理論推理等。自然推理一般指用普通語言描述、解釋和論證的及時(shí)表現(xiàn)，是偏重分析、口語化的推理方式;圖形推理是借助視覺的、直觀的和構(gòu)造的描述性推理過程;理論推理，即演繹推理，是借助概念、定義、命題、公理、定理、假設(shè)等為基礎(chǔ)，并每步嚴(yán)格按照這些基礎(chǔ)來進(jìn)行形式化論證的方式。這里的幾何推理符號化，主要指理論推理過程符號化。幾何學(xué)習(xí)，不僅是幾何概念、命題等的學(xué)習(xí)，更是幾何學(xué)這門學(xué)科語言、推理形式、論證方法等的學(xué)習(xí)，也是幾何符號、幾何論證、幾何推理等的學(xué)習(xí)。幾何語言、符號、概念等是人腦進(jìn)行幾何深度思維的基礎(chǔ)，只有掌握好幾何語言、符號、概念等，才能有效地用幾何的眼光看世界，幾何的思維思考世界，幾何的語言描述世界。因此，在幾何推理和論證過程中，要強(qiáng)化幾何推理符號化表達(dá)。

3.理解邏輯思維及構(gòu)成要素

理解是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，理解是新信息與已有結(jié)構(gòu)中的（舊）信息建立非人為聯(lián)系。所謂邏輯，簡單講就是按照一定規(guī)則，有先后順序做事。邏輯一般分為形式邏輯（數(shù)理邏輯）和辯證邏輯，在數(shù)學(xué)中，絕大多數(shù)是形式邏輯。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，也是講邏輯的科學(xué)，因此要理解數(shù)學(xué)，首先要理解邏輯思維及要素。數(shù)學(xué)的概念、判斷和推理是邏輯思維的三大基礎(chǔ)，其中概念是邏輯思維最基本單元，因此概念可視為邏輯思維的細(xì)胞。正如布魯納所講，要掌握一門學(xué)科，就是要掌握這門學(xué)科的核心概念。數(shù)學(xué)概念是指數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征、數(shù)量關(guān)系、空間結(jié)構(gòu)等在人腦中的反映。要形成對數(shù)學(xué)概念深刻認(rèn)識是困難的，如點(diǎn)、線、面等概念，是對現(xiàn)實(shí)對象理想化抽象的概述，這些概念具有高度抽象性，學(xué)生需經(jīng)歷復(fù)雜的心理過程，才能形成概念的正確理解。判斷，主要是利用肯定或否定語句來明確對象真?zhèn)危ㄟ€包括全稱、特稱和單稱判斷），它是邏輯思維的紐帶。如果不能通過定義、概念、命題等的組合進(jìn)行判斷，那么推理過程就無法進(jìn)行。推理是思維最高形式，概念構(gòu)成判斷，判斷構(gòu)成推理?？梢姡袛嗍歉拍詈屯评黹g的橋梁。因此，在教學(xué)中先讓學(xué)生理解邏輯，理解邏輯思維及要素，這樣可為學(xué)生的邏輯推理打下基礎(chǔ)。

4.強(qiáng)化概念和命題網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)

概念是思維的細(xì)胞，是學(xué)生思維生長發(fā)育的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)中，把用符號、語言或式子等表達(dá)的，可用來判斷真假的陳述句稱為命題。認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是人將所認(rèn)識的信息組織起來的心理系統(tǒng)。簡單講，認(rèn)知結(jié)構(gòu)指能有效組織信息的一種心理能力。當(dāng)學(xué)生幾何思維處于非形式演繹和形式演繹水平之間，學(xué)生不能建立定理、概念、命題等間的邏輯關(guān)系。研究表明，一個(gè)擁有良好CPFS結(jié)構(gòu)的學(xué)生，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解更深刻。個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)，指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)者在頭腦中形成的概念域、概念系、命題域、命題系，CPFS結(jié)構(gòu)是對數(shù)學(xué)知識表征的一種刻畫、是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[9]。強(qiáng)化幾何概念和命題的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)結(jié)，其目的是優(yōu)化學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生形成良好幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)。一個(gè)良好的幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能更好促進(jìn)學(xué)生對幾何信息的有效組織，在問題解決中，能以最優(yōu)、最快的方式找到問題解決方案。那如何促進(jìn)學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)的生成呢？關(guān)于數(shù)學(xué)命題的教學(xué)，喻平教授指出，可通過揭示命題形成過程、進(jìn)行命題變式、形成命題網(wǎng)絡(luò)、加強(qiáng)命題應(yīng)用等策略，幫助學(xué)生形成完善的命題域和命題系[10]。除此之外，揭示數(shù)學(xué)命題的方式很多，如命題背景，包括現(xiàn)實(shí)背景、數(shù)學(xué)背景、應(yīng)用背景等;命題發(fā)現(xiàn)方式;命題論證過程;命題構(gòu)成要素;命題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想等。對于概念，可從概念產(chǎn)生;概念發(fā)展;概念應(yīng)用;概念推廣;概念內(nèi)涵與外延等來構(gòu)建概念域和概念系，進(jìn)而優(yōu)化學(xué)生的幾何認(rèn)知

結(jié)構(gòu)。

參考文獻(xiàn)

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[10]喻平.CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)命題教學(xué)[J].教育研究與評論，2016.

[作者：紀(jì)定春（1995-），男，四川資陽人，四川師范大學(xué)，碩士生;周思波（1971-），男，四川廣元人，四川師范大學(xué)，副教授，碩士生導(dǎo)師，碩士。]

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