高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的策略探究

王雅貞

摘 要：直觀想象素養(yǎng)是學(xué)生發(fā)展自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要，良好的直觀想象素養(yǎng)能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心與活力。教師在新授課中可以從概念內(nèi)涵、幾何特征、漸近線三個(gè)方面強(qiáng)化學(xué)生規(guī)范準(zhǔn)確快速作圖的意識(shí)，夯實(shí)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ)。教師在解題教學(xué)過程中應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用直觀想象素養(yǎng)去解決數(shù)學(xué)問題，其有效途徑有：第一，借助信息技術(shù)讓學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)外在美的過程中提高學(xué)生幾何直觀想象的能力;第二，鼓勵(lì)學(xué)生用幾何直觀探尋解決問題的最佳路徑，縱深發(fā)展自己的直觀想象素養(yǎng);第三，運(yùn)用不同形式教學(xué)案例全面培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) ;直觀想象素養(yǎng); 培養(yǎng)策略

直觀想象是2017版新課標(biāo)的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，它是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，任何一個(gè)人都不能忽視直觀想象的重要性，它為發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題提供重要的研究手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)[1]。因此，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容將直觀想象融入教學(xué)活動(dòng)中，還應(yīng)當(dāng)采取多種教學(xué)策略，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)與技能的同時(shí)，逐漸養(yǎng)成自覺運(yùn)用直觀想象去發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的良好習(xí)慣。

一、直觀想象素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

（一）直觀想象是全面發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要

認(rèn)知理論認(rèn)為人思維的發(fā)展是從直觀到抽象，先有直觀然后才能進(jìn)行合理抽象，直觀想象是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者必須具備的素養(yǎng)。實(shí)踐證明，一個(gè)學(xué)生，如果他在數(shù)學(xué)新知識(shí)的學(xué)習(xí)中能夠主動(dòng)結(jié)合圖形進(jìn)行新的探索，那么他會(huì)比別人爬得更高，看得更遠(yuǎn);如果他在解題的過程中自覺運(yùn)用幾何圖形來分析，那么他的解題思路一定更寬闊、更靈活、更深刻;如果他的直觀想象有了良好的發(fā)展，那么他的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也在不斷地向前發(fā)展。

（二）良好的直觀想象素養(yǎng)能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活力

直觀想象不是幾何直觀和空間想象的簡(jiǎn)單疊加，也不是一種知識(shí)技能和解題能力，而是一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的思想方法和思維習(xí)慣，這種思想方法和思維習(xí)慣對(duì)今后的學(xué)習(xí)繼續(xù)發(fā)揮著重大的作用[2]。良好的直觀想象可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心與活力，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

二、培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的路徑

（一）強(qiáng)化學(xué)生正確規(guī)范作圖意識(shí)，為培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門學(xué)科，數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩大研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系。正如華羅庚所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，數(shù)形隔離萬事休?！毙抡n標(biāo)中的“函數(shù)”和“幾何與代數(shù)”兩大主題就是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的有效載體，教材中的其他主題也滲透著對(duì)直觀想象素養(yǎng)的要求。因此，直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，教師在教學(xué)中應(yīng)注意從以下幾個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范作圖的意識(shí)。

1.準(zhǔn)確抓住數(shù)學(xué)概念本質(zhì)規(guī)范作圖。比如立體幾何中的正三棱錐概念的內(nèi)涵是：底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。在教學(xué)實(shí)踐中相當(dāng)多的學(xué)生作圖時(shí)沒有從正三棱錐概念本質(zhì)出發(fā)，只畫出一個(gè)沒有靈魂的“死圖”。因此，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該給學(xué)生做好示范引領(lǐng)的作用，嚴(yán)格按下列三個(gè)步驟正確規(guī)范做出正三棱錐：第一步用斜二測(cè)畫法畫出底面直觀圖（注意此時(shí)底面一定不是平面正三角形），第二步作底面正三角形的中心O（三條中線的交點(diǎn)），第三步過O作底面的垂線，在垂線上任取一點(diǎn)P（異于O點(diǎn)），最后分別連接PA、PB、PC即可得到一個(gè)正確規(guī)范的正三棱錐（如圖1）。在規(guī)范作圖的過程中，學(xué)生明白了PO垂直底面，故PO垂直AC，又BO垂直AC，所以AC垂直面POB，從而得到AC垂直PB。學(xué)生在規(guī)范作圖過程中也就掌握了正三棱錐的對(duì)棱互相垂直的性質(zhì)。

2.利用圖形的幾何特征正確快速作圖。直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線是高中數(shù)學(xué)的五大曲線，它們各自都有與眾不同的幾何特征，準(zhǔn)確把握它們的幾何特征就可以正確快速做出它們的圖形。直線的定點(diǎn)與傾斜角、圓的圓心與半徑、橢圓的范圍、雙曲線的兩條漸近線、拋物線P的幾何意義，這些都給我們作圖提供了有力的依據(jù)。比如利用3P法則[焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線L的距離為P，焦點(diǎn)F到通徑兩端A、B的距離分別為P（如圖2）]即可快速準(zhǔn)確做出拋物線的圖像，利用標(biāo)準(zhǔn)的拋物線圖像比較容易直觀掌握拋物線的相關(guān)結(jié)論。

3.關(guān)注漸近線提高函數(shù)圖像作圖的準(zhǔn)確性。學(xué)習(xí)函數(shù)離不開函數(shù)的圖像，而利用函數(shù)圖像來解決函數(shù)單調(diào)區(qū)間、值域等問題時(shí)最大的坑就在于漸近線，學(xué)生有沒有關(guān)注漸近線對(duì)解題的正誤有很大的影響。我們知道大多數(shù)函數(shù)是有漸近線的，比如反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及正切函數(shù)等，這些漸近線分為水平漸近線和垂直漸近線，當(dāng)函數(shù)圖像進(jìn)行變換之后，它們的漸近線可能依然存在，只不過是位置發(fā)生了變化。

例如反比例型的函數(shù) 1 2 1 y x = + ？ 圖像是由函數(shù)y 1x = 的圖像經(jīng)過向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的，故它的漸近線也從 X 軸和 Y 軸變成了 y=1 和x=2 兩條直線，這兩條漸近線對(duì)求函數(shù) 1 2 1 y x = + ？ 的單調(diào)區(qū)間及值域至關(guān)重要（如圖 3）。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該強(qiáng)化學(xué)生關(guān)注函數(shù)圖像的漸近線。

（二）強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用直觀想象素養(yǎng)去解決數(shù)學(xué)問題，這是形成核心素養(yǎng)的有效途徑

北京航空航天大學(xué)李尚志教授說，學(xué)生的核心素養(yǎng)只有在運(yùn)用這些素養(yǎng)解決問題的過程中才能有效形成。直觀想象素養(yǎng)不是某一個(gè)具體的知識(shí)或技能，而是一種思維一種習(xí)慣，只有在解決數(shù)學(xué)問題的過程中自然而然地運(yùn)用，才可以認(rèn)為直觀想象素養(yǎng)形成了。因此，教師的教學(xué)目標(biāo)不能止步于實(shí)現(xiàn)一個(gè)課時(shí)的知識(shí)技能目標(biāo)，而是要放眼到整個(gè)主題甚至跨主題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從整體去把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，自覺建構(gòu)核心素養(yǎng)達(dá)成的三個(gè)水平目標(biāo)的具體行為準(zhǔn)則。教師在解題教學(xué)過程中可以從下列三個(gè)方面去逐漸培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

1.在解題過程中借助信息技術(shù)做出函數(shù)圖像，讓學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)外在美的過程中提高幾何直觀能力。幾何直觀是借助圖形將數(shù)學(xué)的本質(zhì)用符號(hào)外在地展現(xiàn)出來，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的一個(gè)數(shù)學(xué)理念和學(xué)習(xí)技能，利用幾何直觀可以將復(fù)雜的抽象的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單明了化，同時(shí)也可以欣賞到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、內(nèi)在美、和諧美，正如古希臘數(shù)學(xué)家普洛科拉斯說，哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美。

比如在學(xué)習(xí)均值不等式拓展函數(shù) y ax bx = + 時(shí)，教師要利用信息技術(shù)手段向?qū)W生展示這個(gè)函數(shù)的外在美，即當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)其圖像是一對(duì)“勾號(hào)”，當(dāng) a， b異號(hào)時(shí)其圖像是雙撇或雙捺（如圖4）。函數(shù)圖像的美體現(xiàn)在于其結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，曲線的凹凸美，無限接近但又不相交的距離美，學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)美的過程中就是提高其幾何直觀能力的過程。

2.在解題過程中鼓勵(lì)學(xué)生用幾何直觀探尋解決問題的最佳路徑，讓直觀想象素養(yǎng)不斷地向前發(fā)展。一題多解能發(fā)展學(xué)生的全面思維能力，也能體現(xiàn)學(xué)生優(yōu)秀的綜合思維能力及良好的思維品質(zhì)。當(dāng)學(xué)生徘徊在岔路口選擇解題路徑的時(shí)候，我們可以讓學(xué)生用幾何直觀來探尋多種解決問題的辦法，并最終從幾何直觀中找到解決問題的最佳路徑。例如在解決極坐標(biāo)、參數(shù)方程的問題時(shí)，我們可以快速畫出草圖，認(rèn)真分析題中所求解的問題是與極點(diǎn)有關(guān)，還是與直線上的某定點(diǎn)有關(guān)，或者是其他的問題，從而在直直聯(lián)立、參直聯(lián)立、極極聯(lián)立中快速做出選擇。

3.教師要設(shè)計(jì)不同形式、不同層次的教學(xué)案例來綜合提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)水平。

案例1（教學(xué)目的：在圖像題中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象 的 一 級(jí) 水 平。）[2019全 國1（ 理 ）5] 如 圖5， 函 數(shù)在[-π，π]的圖像大致為（ ）

解析：此題重點(diǎn)考查學(xué)生識(shí)圖用圖能力，屬于直觀想象素養(yǎng)的一級(jí)水平。有圖就有真想，只需要求出兩個(gè)特殊值就可以得到答案。，故選D。

案例2（教學(xué)目的：在解決幾何問題中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的綜合素養(yǎng)。）（2008浙江理10）如圖6所示，AB是平面α 的斜線，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α 內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）[3]

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

解 析： 由S△ADP=1/2×AB ×dP-AB可 知，P到AB的距離PM為定值，能畫出圖中三角形ABP的高PM是達(dá)到直觀想象素養(yǎng)一級(jí)水平的表現(xiàn)。如果能描述出到AB距離為定值的點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓柱面則可達(dá)到直觀想象素養(yǎng)的二級(jí)水平，此時(shí)一個(gè)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)達(dá)到三級(jí)水平的特征就是可以想象出這個(gè)模型是握在手中并斜著放置的透明的水杯，通過觀察得出此時(shí)的水面呈橢圓的形狀，故選B。

拓展研究：用一個(gè)平面去截圓柱，所得到的截面圖形有哪些形狀？先讓學(xué)生通過直觀想象猜想出所有可能，再用手中水杯模型驗(yàn)證自己的猜想，不難得出所得到的截面圖形有圓形、橢圓形、矩形、曲邊梯形、拱形五種不同圖形。

建構(gòu)理論提出，教師在教授學(xué)生知識(shí)的過程中不能照本宣科，教學(xué)方法不能一成不變，而是要根據(jù)自己所學(xué)的理論水平和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)構(gòu)建出適合學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)模式，學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略也應(yīng)該在教學(xué)實(shí)踐中不斷建構(gòu)，不斷完善和改進(jìn)。

參考文獻(xiàn)

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]王亞東.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的研究[D].湖南理工學(xué)院，2019.

[3]張楊文，蘭師勇.高考數(shù)學(xué)你真的掌握了嗎？圓錐曲線[M].北京：清華出版社，2014.