聚焦反比例函數(shù)，探究綜合性問題

沈習輝

[摘? 要] 中考對反比例函數(shù)內(nèi)容的考查常以綜合題的形式進行，因此深入探究反比例函數(shù)的知識及常見綜合形式十分必要. 文章結(jié)合2020年江蘇省中考反比例函數(shù)綜合題開展問題解析、方法探究，以期對讀者有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 反比例函數(shù);圖像;性質(zhì);幾何;面積

反比例函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，其知識內(nèi)容同數(shù)與式、方程、不等式、幾何圖形、三角函數(shù)等聯(lián)系緊密，是初高中知識的重要銜接部分. 中考對其的考查形式較為靈活，除了注重基礎(chǔ)知識外，還常與關(guān)聯(lián)知識相綜合，需要學生聯(lián)系知識考點，全方位審視問題.

■ 與一次函數(shù)綜合，考查函數(shù)性質(zhì)

反比例函數(shù)是初中函數(shù)的重要組成部分. 在初中階段，需要掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像. 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題在中考中最為常見，解析問題時需要把握兩種函數(shù)的性質(zhì)，以圖像交點為突破口構(gòu)建解析方程，分析圖像的位置關(guān)系.

例1（2020年泰州市中考數(shù)學卷第16題）如圖1，點P在反比例函數(shù)y=■的圖像上，且橫坐標為1，過點P作兩條坐標軸的平行線，與反比例函數(shù)y=■ （k<0）的圖像相交于A，B兩點，則直線AB與x軸所夾銳角的正切值為______.

解析?因為點P在反比例函數(shù)y=■的圖像上，且橫坐標為1，所以點P的坐標為（1，3）. 根據(jù)題意過點P分別作x軸和y軸的平行線，連接AB，如圖2. 由題意易得點A的坐標為■ ，3，點B的坐標為（1，k）. 則直線AB與x軸所成銳角可放在Rt△ABP中，其正切值可表示為■=■=3，所以所求正切值為3.

■ 以幾何動點為載體，考查函數(shù)

解析式

反比例函數(shù)與幾何動點結(jié)合是中考的重要綜合形式，常以反比例函數(shù)圖像為背景，設(shè)定相關(guān)動點，以幾何運動為載體構(gòu)建模型，能全面考查反比例函數(shù)k的意義及解析式. 解析問題時，應化“動”為“靜”，立足曲線相交，借助方程確定交點坐標.

例2? （2020年淮安市中考數(shù)學卷第16題）如圖3，等腰三角形ABC的兩個頂點A（-1，-4），B（-4，-1）均在反比例函數(shù)y=■（x<0）的圖像上，AC=BC. 過點C作邊AB的垂線交反比例函數(shù)y=■（x<0）的圖像于點D，動點P從點D出發(fā)，沿射線CD方向運動3■個單位長度，到達反比例函數(shù)y=■（x>0）圖像上一點，則k■的值為______.

解析? 設(shè)AB與CD的交點為E. 分析可知△ABC為等腰三角形，CD為AB的垂直平分線，所以CD為反比例函數(shù)y=■（x<0）的對稱軸. 所以直線CD的解析式為y=x. 由于點A的坐標為（-1，-4），其在y=■（x<0）的圖像上，所以k■=4. 又直線CD與y=■（x<0）的交點為D，所以可解得點D的坐標為（-2，-2）. 所以O(shè)D=2■. 點P從點D出發(fā)，沿射線CD運動3■個單位長度到達反比例函數(shù)y=■（x>0）的圖像上，則OP=■. 所以點P的坐標為（1，1）. 將其坐標代入y=■（x>0）中，解得k■的值為1.

■ 與不等式知識相聯(lián)系，考查數(shù)

式圖像轉(zhuǎn)化

反比例函數(shù)具有數(shù)式的特點，可用于研究方程、不等式的數(shù)量關(guān)系. 深入理解函數(shù)與不等式、數(shù)式之間的關(guān)系，有助于建立整個數(shù)學體系. 中考對該部分的考查除了注重對函數(shù)與數(shù)式、不等式關(guān)系的研究外，還側(cè)重考查數(shù)式圖像之間的轉(zhuǎn)化，如反比例函數(shù)、方程的解、數(shù)軸之間的轉(zhuǎn)化.

例3? （2020年南京市中考數(shù)學卷第20題）已知反比例函數(shù)y=■的圖像經(jīng)過點（-2，-1）.

（1）求k的值.

（2）完成下面的解答.

解不等式組：2-x>1①■>1②

解：解不等式①，得______.

根據(jù)函數(shù)y=■的圖像，得不等式②的解集為______.

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上（圖4）表示出來.

從中可以找出兩個不等式解集的公共部分，得不等式組的解集為__________.

解析？搖 （1）因為點（-2，-1）在反比例函數(shù)y=■的圖像上，所以k=2.

（2）解不等式①，可得x<1. 由反比例函數(shù)y=■的圖像可知不等式②的解集為0

■ 與幾何最值相綜合，考查面積

模型

反比例函數(shù)與幾何聯(lián)系緊密，中考常聯(lián)系三角形考查面積，有時還會涉及幾何最值，能同時考查二次函數(shù)的性質(zhì). 該類問題的突破需分三步進行：第一步，解析圖像;第二步，構(gòu)建面積模型;第三步，完成面積最值分析.

例4? （2020年連云港市中考數(shù)學卷第24題）如圖6，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=■ （x>0）的圖像經(jīng)過點A4，■，點B在y軸的負半軸上，AB交x軸于點C，C為線段AB的中點.

（1）m=________，點C的坐標為________;

（2）若點D為線段AB上的一個動點，過點D作DE∥y軸，交反比例函數(shù)的圖像于點E，求△ODE面積的最大值.

解析? （1）將4，■代入反比例函數(shù)y=■（x>0）中，可解得m=6. 由于點A和點B的橫坐標分別為4和0，利用中點坐標公式可求得點C的橫坐標為2，所以點C的坐標為（2，0）.

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，代入點A和點C的坐標后可求得直線AB的解析式為y=■x-■. 由條件設(shè)點D的坐標為a，■a-■（0

■ 反思總結(jié)

中考對反比例函數(shù)內(nèi)容的考查常以知識綜合的形式進行，涉及一次函數(shù)、幾何圖形、動點運動、不等式組、圖形面積、最值探究等知識，問題形式多樣，充分把握對應知識的定理定義，逐步轉(zhuǎn)化分析，構(gòu)建條件與結(jié)論之間的關(guān)系是突破的關(guān)鍵. 對于一些命題形式較為抽象的問題，建議采用數(shù)形結(jié)合的分析方法，合理添加輔助線構(gòu)建問題模型，通過直觀的圖像來降低思維難度.

在教學實踐中，建議教師從與反比例函數(shù)相關(guān)聯(lián)的知識入手，把握函數(shù)的數(shù)式特點、圖形特點，準確定位函數(shù)的思想內(nèi)涵，然后把握知識的聯(lián)系點，引導學生全方位地解析反比例函數(shù)，探究綜合性問題的解析思路，拓展學生的數(shù)學思維. 由于綜合題所涉及的數(shù)學方法較多，所以教學中教師需注意總結(jié)常見問題的解法，如待定系數(shù)法、中點坐標公式法、點與直線的距離法、函數(shù)性質(zhì)分析法等，幫助學生強化類型問題的解析方法，使學生形成反比例函數(shù)綜合題的解題策略.