探討幾何問題添加輔助線的技巧

穆紅霞

[摘? 要] 輔助線是突破幾何問題的關(guān)鍵. 能否根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)構(gòu)建合理的輔助線，決定了是否可以將隱含條件和已知條件串聯(lián)成線、深度認(rèn)知出題人的意圖、理清后續(xù)解題思路. 文章以2020年中考江蘇南通卷第26題為例，探討幾何問題添加輔助線的技巧.

[關(guān)鍵詞] 中考;數(shù)學(xué);幾何問題

輔助線是突破幾何問題的關(guān)鍵. 能否根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)構(gòu)建合理的輔助線，決定了是否可以將隱含條件和已知條件串聯(lián)成線、深度認(rèn)知出題人的意圖、理清后續(xù)解題思路. 因此，分析幾何問題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分理解已知條件，并結(jié)合條件與圖形特點(diǎn)，探究構(gòu)造輔助線的技巧. 本文以2020年中考江蘇南通卷第26題為例，探討幾何問題添加輔助線的技巧.

■ 中考題呈現(xiàn)

中考題（2020年江蘇南通中考第26題）已知有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形. 連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱為對余線.

（1）如圖1，在對余四邊形ABCD中，AB=5，BC=6，CD=4，連接AC，若AC=AB，求sin∠CAD的值.

（2）如圖2，在凸四邊形ABCD中，AD=BD，AD⊥BD. 當(dāng)2CD2+CB2=CA2時(shí)，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形，并證明你的結(jié)論.

■ 中考題解析

1. 添加垂直線，將一般變?yōu)樘厥?/p>

對于不規(guī)則的圖形或抽象的圖形，需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將圖形拆分或填充成特殊圖形、常見基本形等，從而使沒有特征的圖形轉(zhuǎn)化為有形的幾何圖形.

中考題的第（1）小問所求為正弦值，因此要用所求角構(gòu)造直角三角形，求解思路如下：要求sin∠CAD的值→將∠CAD放到直角三角形中→作輔助線：過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F（不破壞對余角∠D）？圯sin∠CAD=■→求線段CF的長;同時(shí)考慮到對余四邊形ABCD→∠B+∠D=90°AC=AB→作AE⊥BC，垂足為E→等角轉(zhuǎn)換（或三角形相似）. 具體的求解過程如下.

如圖3，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是對余四邊形，所以∠B+∠D=90°或∠BAD+∠BCD=90°. 因?yàn)椤螩AE+∠ACE=90°，∠BAD>∠CAE，∠BCD>∠ACE，所以∠BAD+∠BCD>90°. 所以∠B+∠D=90°. 又因?yàn)椤螪+∠DCF=90°，所以∠B=∠DCF. 因?yàn)锳C=AB，AE⊥BC，所以BE=CE=■BC=3. 所以cos∠DCF=■=■=cos∠B=■. 所以CF=■. 所以sin∠CAD=■=■=■.

2. 添加輔助線，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

當(dāng)題目中存在線段數(shù)量關(guān)系時(shí)，可利用輔助線構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用平面幾何定理得出代數(shù)模型，其中最常應(yīng)用的兩種幾何定理分別為勾股定理和相似三角形. 解題過程中，要著重觀察已知條件的數(shù)量關(guān)系特征、幾何圖形中的特殊角或線段，再選擇應(yīng)用哪種幾何定理.

（1）構(gòu)造全等三角形，巧用勾股定理

當(dāng)題目中的已知條件比較分散，無法在同一圖形中觀察到線與線、角與角之間的關(guān)系時(shí)，添加輔助線構(gòu)造幾何基本形是轉(zhuǎn)化條件的方式之一. 添加輔助線，能將一些看似不相關(guān)、較分散的條件匯聚到一個(gè)基本圖形中，從而形成完整的條件鏈.

對于中考題的第（2）小問，由條件2CD2+CB2=CA2能聯(lián)想到勾股定理→因?yàn)?CD2=（■CD）2，所以自然想到構(gòu)造出一個(gè)以■CD，CB為直角邊的三角形，再由條件AD=BD，AD⊥BD聯(lián)想到利用邊CD構(gòu)造等腰直角三角形（且CD邊為直角邊）→同時(shí)得到“手拉手”全等，即通過添加輔助線構(gòu)造基本形. 此種解法的具體過程如下.

如圖4，過點(diǎn)D作DE⊥CD，且DE=CD，連接EC，EB，則CE2=2CD2，∠DCE=45°. 易證△ACD≌△BED，所以BE=AC. 因?yàn)?CD2+CB2=CA2，所以CE2+CB2=BE2. 所以∠BCE=90°. 所以∠BCD=45°. 所以∠DAB+∠BCD=45°+45°=90°. 所以四邊形ABCD是對余四邊形.

轉(zhuǎn)移不共線線段的方法有很多種，學(xué)生最易接受且最有效的方法是構(gòu)建全等三角形，即通過全等三角形對應(yīng)邊相等的定理，將有關(guān)系的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移. 上述解法從2CD2+CB2=CA2入手，將2CD2轉(zhuǎn)化為CE2，通過全等三角形將CA轉(zhuǎn)化為BE，將題中的線段關(guān)系轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形內(nèi)，即轉(zhuǎn)化到△CBE內(nèi). 除此種方式添加輔助線外，還可以以CD為等腰三角形一腰，D為頂點(diǎn)向下作輔助線（如圖5），或以C為頂點(diǎn)，CD為腰作輔助線（如圖6）.

（2）構(gòu)造相似三角形，證明線段成比例

對于中考題的第（2）小問，還可以換角度分析，結(jié)合勾股定理及相似定理來證明. 由已知條件2CD2+CB2=CA2，聯(lián)想到勾股定理→CB2=（■？）2，CA2=（■？）2，然后通過邊BC或AC來構(gòu)造等腰直角三角形（且BC邊或AC邊為斜邊）→得到“手拉手”相似. 具體解法如下.

如圖7，以BC為斜邊向下作等邊直角三角形BCE，且∠BEC=90°，連接DE，則BC=■CE，△DBE∽△ABC. 所以AC=■DE. 因?yàn)?CD2+CB2=CA2，所以2CD2+2CE2=2DE2. 所以CD2+CE2=DE2. 所以∠DCE=90°. 因?yàn)椤螧CE=45°，所以∠BCD=45°. 所以∠DAB+∠BCD=45°+45°=90°. 所以四邊形ABCD是對余四邊形.

中考題的第（2）問很容易聯(lián)想到在直角三角形中利用勾股定理來解決，至于線段之間的關(guān)系，在添加輔助線時(shí)，既要考慮構(gòu)建出直角三角形，又要將條件的三邊轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形內(nèi)，因此以BC為三角形的斜邊作等腰直角三角形，從而通過證明△DBE∽△ABC得到線段關(guān)系. 除此種解法外，還可以以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACE，且∠AEC=90°，連接DE（如圖8），或以AC為斜邊向下作等腰直角三角形ACE，且∠AEC=90°，再以BC為斜邊向下作等腰直角三角形BCF（如圖9）.

■ 拓展提升

試題?在平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點(diǎn)E在對余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC=90°+∠ABC. 設(shè)■=u，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t，請直接寫出u關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

分析?本題類似動(dòng)點(diǎn)問題，點(diǎn)D的坐標(biāo)不固定，因此教師可以借助多媒體教學(xué)工具演示幾何圖形的變換，讓學(xué)生更加直觀、直接地看到數(shù)量關(guān)系. 通過視覺上的引導(dǎo)，讓學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)量關(guān)系問題，從而建立正確的解題思路，找到解決數(shù)學(xué)問題的突破口，幫助學(xué)生高效解題. 首先，根據(jù)題意畫出圖形（如圖10），易知∠CAB=∠ABC=45°，所以∠ADC=45°，∠AEC=135°，A，D，C，E四點(diǎn)共圓（即共⊙G），△BAE∽△BDA？圯■=■=u，AD=4u，從而轉(zhuǎn)化為探究AD與點(diǎn)D縱坐標(biāo)（即圖中DH的長）之間的數(shù)量關(guān)系.

思路1?（構(gòu)造相似）如圖11，延長AG交⊙G于點(diǎn)F，連接DF，則△ADH∽△FAD？圯■=■？圯■=■？圯u=■（0

思路2?（設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，應(yīng)用勾股定理建立等量關(guān)系）如圖12，設(shè)D（x，t），則AH=-1-x. 在△AHD中，根據(jù)勾股定理，有t2+（-1-x）2=（4u）2. 因?yàn)閳A心G（-1，2），DG=2，所以（x+1）2+（t-2）2=4. 所以u=■（0

上述過程從引導(dǎo)學(xué)生了解輔助線的重要性開始，讓學(xué)生具備一定的圖形思考能力，并通過直觀想象，在腦海中構(gòu)造幾何圖形，鍛煉數(shù)形結(jié)合思維，從問題表象認(rèn)識(shí)到其原理本質(zhì). 這樣的例題設(shè)計(jì)，既能讓不同層次的學(xué)生通過實(shí)踐提升數(shù)學(xué)思維，又能實(shí)現(xiàn)對已有認(rèn)知體系的創(chuàng)新.