關(guān)于函數(shù)動(dòng)點(diǎn)特殊三角形問題的探究

鄧紫琳

[摘? 要] 函數(shù)動(dòng)點(diǎn)特殊三角形問題具有函數(shù)與幾何的性質(zhì)特點(diǎn)，解析問題時(shí)可從函數(shù)、幾何兩大視角進(jìn)行切入. 文章深入剖析問題背景，以函數(shù)動(dòng)點(diǎn)等腰直角三角形的探究為例，總結(jié)解題策略，開展教學(xué)反思.

[關(guān)鍵詞] 動(dòng)點(diǎn);等腰直角三角形;函數(shù);數(shù)形結(jié)合

■ 背景綜述

近幾年，中考數(shù)學(xué)壓軸題逐步趨向動(dòng)態(tài)研究. 以直角坐標(biāo)系為背景，研究函數(shù)圖像中因動(dòng)點(diǎn)形成的特殊三角形是其中較為特殊的一類，問題融合了動(dòng)點(diǎn)、函數(shù)、幾何特性等內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，備受命題人青睞.

函數(shù)圖像中動(dòng)點(diǎn)形成的特殊三角形類型較為眾多，典型的有等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形，以及具有特殊關(guān)系的相似三角形、全等三角形等. 該類問題往往以直角坐標(biāo)系為背景，函數(shù)與幾何相融，圖像靈活多變，動(dòng)靜結(jié)合，需要充分把握其中的幾何特性，利用函數(shù)知識(shí)來構(gòu)建解析思路.

以函數(shù)動(dòng)點(diǎn)形成的等腰直角三角形為例，解析問題時(shí)需要把握其中的“等腰”“直角”，結(jié)合幾何推理和代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化. 從幾何視角分析，可以進(jìn)行等角推導(dǎo)、角度計(jì)算;從代數(shù)視角分析，可結(jié)合特殊角的三角函數(shù)、勾股定理的線段關(guān)系、斜率與角度關(guān)系進(jìn)行突破. 往往該類問題的解析過程包含了豐富的思想方法，而靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想、數(shù)學(xué)建模是解題關(guān)鍵. 本文以函數(shù)動(dòng)點(diǎn)與等腰直角三角形為例進(jìn)行探究.

■ 問題探究

1. 問題呈現(xiàn)

問題如圖1，等腰直角三角板ABC位于平面直角坐標(biāo)系的第二象限，且斜靠在兩條坐標(biāo)軸上，其中A（0，2），C（-1，0），拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點(diǎn)B.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）求拋物線的解析式.

（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使得△ACP為以AC為直角邊的等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說明理由.

2. 思路突破

上述為以直角坐標(biāo)系為背景的函數(shù)動(dòng)點(diǎn)特殊三角形問題，題干引入等腰直角三角板，需要充分利用其中的等腰和直角特性，聯(lián)系函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)來突破.

（1）已知點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，求函數(shù)圖像上點(diǎn)B的坐標(biāo)，可過點(diǎn)B作x軸的垂線，設(shè)垂足為D，分析后可知△BCD≌△CAO. 由全等性質(zhì)可得BD=OC=1，CD=OA=2，于是OD=3. 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1）.

（2）求拋物線的解析式，只需將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入其中即可. 代入后可得1=9a-3a-2，解得a=■，所以拋物線的解析式為y=■x2+■x-2.

（3）該問探究拋物線上是否存在異于點(diǎn)B的點(diǎn)P，使得△ACP為以AC為直角邊的等腰直角三角形. 解析時(shí)需要把握其中的兩大條件：一是點(diǎn)P位于拋物線上，二是△ACP為等腰直角三角形，且AC為直角邊. 對(duì)于其中的條件二需分類處理：①AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn);②AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn). 另外，該問綜合了函數(shù)與幾何知識(shí)，解析突破的視角可以有所側(cè)重，可從函數(shù)和幾何兩大視角進(jìn)行突破. 下面便從這兩個(gè)視角來解答該小問.

（方法一：函數(shù)視角）①如果AC為直角邊，且點(diǎn)C為直角頂點(diǎn). 設(shè)直線BC與拋物線的另一交點(diǎn)為P1，如圖2. 結(jié)合點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=-■x-■，聯(lián)立直線BC和拋物線的解析式后可求得P1（1，-1）. 過點(diǎn)P1作x軸的垂線，垂足為M，在Rt△MCP1中使用勾股定理，可得CP1=■=■，所以CP1=AC. 又易知∠ACP1=90°，所以此時(shí)△ACP1為等腰直角三角形，滿足條件. ②如果AC為直角邊，且點(diǎn)A為直角頂點(diǎn). 過點(diǎn)A作BC的平行線，與拋物線的交點(diǎn)設(shè)為P2，如圖2，則可得直線AP2的解析式為y=-■x+2，聯(lián)立直線AP2和拋物線的解析式后可求得P2（2，1）. 過點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足為N，在Rt△ANP2中使用勾股定理，可得AP2=■=■，所以AP2=AC. 此時(shí)△ACP2為等腰直角三角形，滿足條件. 綜上可知，拋物線上存在滿足條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（1，-1），（2，1）.

（方法二：幾何視角）①如果AC為直角邊，且點(diǎn)C為直角頂點(diǎn). 延長BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，則所得的△ACP1為等腰直角三角形. 過點(diǎn)P1作x軸的垂線，垂足為M. 因?yàn)镃P1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，所以△MP1C≌△DBC. 所以CM=CD=2，P1M=BD=1. 于是可確定點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（1，-1），此時(shí)點(diǎn)P1在拋物線上，滿足條件. ②如果AC為直角邊，且點(diǎn)A為直角頂點(diǎn). 過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使AP2=AC（點(diǎn)P2在y軸右側(cè)），則所得的△ACP2為等腰直角三角形. 再過點(diǎn)P2作y軸的垂線，設(shè)垂足為N，同理可證△AP2N≌△CAO，所以AN=OC=1，NP2=OA=2. 于是可確定點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（2，1），此時(shí)點(diǎn)P2在拋物線上，滿足條件. 綜上可知，拋物線上存在滿足條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（1，-1），（2，1）.

■ 總結(jié)歸納

上述問題結(jié)合等腰直角三角板，以其為基礎(chǔ)構(gòu)建了二次函數(shù). 上述求解第（3）問時(shí)，從函數(shù)解析和幾何推理兩大視角進(jìn)行了假設(shè)論證，總體上采用“假設(shè)→驗(yàn)證”的策略.

1. 思路構(gòu)建

函數(shù)解析時(shí)通常的做法是延長線段，作平行線或垂線，利用直線與曲線相交來確定動(dòng)點(diǎn)的位置，然后聯(lián)立直線與曲線的方程確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo). 直線解析式的求解通常利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)，借助斜率與幾何關(guān)系的關(guān)聯(lián)來構(gòu)建，一般的思路為“構(gòu)形→函數(shù)定點(diǎn)→特性驗(yàn)證”. 幾何推理法則側(cè)重幾何特性推導(dǎo)，直接構(gòu)建相應(yīng)的等腰直角三角形，利用相似、全等來求解相關(guān)的線段長，從而確定動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，后續(xù)只需確定動(dòng)點(diǎn)是否位于曲線上即可，即一般思路為“構(gòu)形→特性定點(diǎn)→函數(shù)驗(yàn)證”.

2. 解析步驟

函數(shù)與幾何法是探究函數(shù)動(dòng)點(diǎn)等腰直角三角形存在性問題的兩大有效策略. 實(shí)際解析時(shí)可以綜合使用，即利用數(shù)形結(jié)合的方法，利用幾何特性，推導(dǎo)動(dòng)點(diǎn)位置，借助函數(shù)解析確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，該方式可有效排除干擾，減少討論內(nèi)容，具體步驟如下.

第一步——?jiǎng)狱c(diǎn)假設(shè)：假設(shè)圖像中存在滿足條件的動(dòng)點(diǎn).

第二步——設(shè)定分類：根據(jù)題干信息確定可能出現(xiàn)的情形.

第三步——?jiǎng)狱c(diǎn)定位：作圖構(gòu)形，利用直線、曲線的相交確定動(dòng)點(diǎn)的大致位置.

第四步——確定坐標(biāo)：采用數(shù)形結(jié)合的方式，綜合函數(shù)與幾何方法進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化，求解動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).

第五步——驗(yàn)證猜想：驗(yàn)證所求動(dòng)點(diǎn)是否滿足條件，可利用兩種方法驗(yàn)證，即，一，滿足幾何特性的點(diǎn)是否位于直線與曲線上;二，位于直線或曲線上的點(diǎn)是否滿足幾何特性.

■ 教學(xué)反思

函數(shù)動(dòng)點(diǎn)特殊三角形存在性問題有著極高的教學(xué)價(jià)值，有助于學(xué)生融合知識(shí)，提升能力，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 歸納問題特點(diǎn)，探尋問題本質(zhì)

涉及函數(shù)動(dòng)點(diǎn)的特殊三角形問題是拋物線、直線、幾何相結(jié)合的重要表現(xiàn)形式，該類問題往往借助動(dòng)點(diǎn)來構(gòu)建特殊的三角形，具有函數(shù)與幾何相融的特點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)是串聯(lián)兩大知識(shí)模塊的紐帶. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)問題中函數(shù)與幾何相融的本質(zhì)，歸納特殊三角形的性質(zhì)特點(diǎn)，總結(jié)兩大知識(shí)聯(lián)系緊密的性質(zhì)、定理，如勾股定理、三角形相似性質(zhì)、銳角三角函數(shù)知識(shí)等，幫助學(xué)生奠定該類問題求解的知識(shí)基礎(chǔ).

2. 總結(jié)問題解法，形成解題策略

上述所探究的問題屬于函數(shù)與幾何相結(jié)合的典型代表，其解析方法具有一定的研究?jī)r(jià)值，其中的函數(shù)解析與幾何推理方法是常見的突破思路，實(shí)際上也是問題條件轉(zhuǎn)化的基本策略. 教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)兩種方法的解析特點(diǎn)，從函數(shù)與幾何的聯(lián)系點(diǎn)出發(fā)，總結(jié)解題思路，幫助學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合解析思維. 實(shí)際教學(xué)中，可采用一題多解的方法設(shè)置典型例題，從不同的視角開展問題探索，使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)問題，形成解題策略.

3. 滲透思想方法，提升數(shù)學(xué)思維

函數(shù)與幾何綜合題同樣也是對(duì)數(shù)學(xué)思想的考查，因此，教學(xué)中需要合理滲透思想方法，使學(xué)生體驗(yàn)利用思想方法探究問題的過程. 如上述綜合題教學(xué)中，需重點(diǎn)滲透數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模、化歸與轉(zhuǎn)化思想，通過數(shù)學(xué)建模降低思維難度、設(shè)定分類標(biāo)準(zhǔn)，綜合轉(zhuǎn)化思想來轉(zhuǎn)化條件，構(gòu)建解題思路. 教學(xué)過程中重視知識(shí)與方法相融，思想與思維激發(fā)，利用思想方法教學(xué)來拓展學(xué)生的視野，提升學(xué)生的思維.