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    探究性學習培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)

    2020-01-18 02:25:49唐金波林丹
    數學教學通訊·高中版 2020年11期
    關鍵詞:提出問題數學核心素養(yǎng)探究性學習

    唐金波 林丹

    [摘? 要] 數學核心素養(yǎng)是在數學的學習和探索過程中形成的,具有持久性和綜合性.文章基于核心素養(yǎng)下的課堂實踐,結合核心素養(yǎng)有效的形成過程,以高三一輪復習課的探究性學習為載體,具體探究了在高中數學課堂中發(fā)展學生核心素養(yǎng)的過程和方法.

    [關鍵詞] 數學核心素養(yǎng);探究性學習;提出問題;解決問題

    隨著新課改的深入,課程理念提出了全面發(fā)展學生的核心素養(yǎng). 《普通高中數學課程標準(2017年版)》將高中數學核心素養(yǎng)定義為:具有基本數學特征、適應個人終身發(fā)展的人的思維品質與關鍵能力,其中數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算、數學建模和數據分析被確定為高中學生的六大核心素養(yǎng)[1]. 同時課程標準也指出:數學教學應創(chuàng)設合理的問題情境,引導學生主動、積極探究的學習方式,力求通過不同形式的探究性活動,讓學生經歷數學的再創(chuàng)造過程,讓學生體驗發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的樂趣. 實踐表明:數學的探究性學習是有效教學,是構建高效課堂的重要途徑,它有助于發(fā)展學生的核心素養(yǎng)和提升數學思維品質,有助于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力.

    數學核心素養(yǎng)應該是融入日常的課堂之中的. 我們如何構建課堂的內容和形式進而有效培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng),是廣大數學教師關注的焦點和核心問題. 結合上面的思考,筆者針對自己對新課標的學習和理解,加上長期從教于高三的數學教學,并進行了多次探索,頗有一些收獲和感悟. 下面是筆者所執(zhí)教的一節(jié)高三一輪復習課“正、余弦定理在解三角形中的應用”的部分教學實錄以及啟示,以期為同仁們提供參考和幫助.

    ■背景與意圖

    1. 授課背景

    本課是高三一輪復習課,授課對象的學生數學基礎較好,課堂氛圍活躍,有較強的自主學習能力,喜歡思考問題和提出問題.

    2. 設計意圖

    本課是以探究性學習的形式設計和實施教學內容,從不同的視角探究如何運用正弦、余弦定理解決平面圖形中求值和求范圍的問題. 我們的設計理念是:在問題的探究中培養(yǎng)學生邏輯推理、觀察分析、數學運算、轉化與化歸的能力.

    ■課堂實錄

    1. 提出問題,引發(fā)數學探究

    師:之前我們學習了在一個三角形中利用正弦、余弦定理解三角形的問題,這節(jié)課我們要探究平面幾何圖形中解三角形的問題. 請同學們就下面解三角形的問題展開研究,從不同的角度解決問題和提出新的問題. (投影問題)

    問題:在△ABC中,AD是BC邊上的中線且AD=1,若∠BAC=60°,AC=■,求AB的值.

    學生開始思考、討論.

    評析:學生數學核心素養(yǎng)的形成依賴于數學活動經驗的積累,因此教學設計中,創(chuàng)設合適的情境,提出富有思維深度和有探究價值的數學問題,啟發(fā)學生獨立思考,鼓勵與他人交流,掌握知識技能的同時理解數學的本質. 知識、方法問題化,以問題來理解知識的本質,是我們有效教學的策略. 學生是課堂的主體,只有讓學生充分地、有效地參與,尤其是學生的思維參與,才能有效地培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng).

    2. 突出本質,開拓數學視野

    師:研究近幾年全國卷高考真題,我們發(fā)現(xiàn)解三角形問題有一部分是以多個三角形的平面幾何圖形為背景的. 在問題所給的幾何圖形中,如果我們抓住一些三角形的邊角關系,就能解決問題. 同學們有哪些想法呢?

    生1:在△ABC中,設AB=c,BC=a,由余弦定理可得a2=c2+(■)2-2■·ccos60°,化簡得a2=c2-■c+3①. 注意到∠ADB與∠ADC互補,余弦值互為相反數,即cos∠ADB=-cos∠ADC,于是在兩個小三角形中由余弦定理可得■=-■,從而a2=2c2+2②. 由①②得 c=■,因此AB=■.

    師:表達得很清楚,觀察到了兩角互補在不同的三角形中利用余弦定理建立方程組,從而解決問題. 還有其他的方法嗎?

    生2:我也是通過方程組來解決的,可以把∠B(或∠C)放在兩個不同的三角形中利用余弦定理求出,即cosB=■=■,化簡得a2=2c2+2,接下來同生1.

    師:上面兩位同學都是通過建立方程組解決問題,而建立方程的方法是在不同的三角形中應用余弦定理,同時注意到兩角互補、同一個角(或同一條邊)可以放在不同的三角形中應用. 重新分析問題發(fā)現(xiàn),已知三角形中三個獨立的條件可以求值,但此問題的三個條件不在同一個三角形中,能否利用轉化與化歸的思想把這三個條件轉化到同一個三角形中呢?

    生3:如圖2,構造平行四邊形ABEC,由平行四邊形的性質知,∠ACE=120°,AE=2,AC=■,直接在△ACE中利用余弦定理解出CE=AB. (此時教室里一片掌聲)

    師:你是怎么想到構造平行四邊形的?

    生3:我注意到AD是中線,就聯(lián)想到了平行四邊形. 經過一番嘗試,從而將條件轉化到了一個三角形中,應用余弦定理建立一個方程得到了答案.

    生4:我也是利用轉化的想法,由中點聯(lián)想到中位線. 如圖3,作AB的中位線DF,在△ADF中利用余弦定理得出答案.

    師:很好,生3、生4運用模型的思想經過探究和構造,將條件轉化到同一個三角形中來解決問題,體現(xiàn)了轉化和化歸的數學思想.

    生5:我是利用向量求出的,由于AD是中線,則2■=■+■,兩邊同時平方得4=c2+3+■c……

    生6:由于△ABC的一個角是已知的,我考慮通過建立平面直角坐標系的方法來研究,以下是我的解法:建立圖4所示的直角坐標系,設B(c,0),由AC=■,可得C■,■,于是D■+■,■. 因為AD=1,所以■+■2+■=1,即c=■.

    教室里出現(xiàn)了洪亮的掌聲,學生感受到了數學思維的深刻,只要勇于思考就能找到簡潔優(yōu)美的方法,同時也感悟到了數學的美和學習數學的樂趣.

    師:非常好,生5利用向量等式兩邊同時平方,將向量等式轉化為邊角的數量關系. 這一思想體現(xiàn)了向量在解三角形中的應用. 生6通過建立坐標系,得到了AB長度的表達式,解法非常簡潔. 說明只要我們用心深入探究,就會有新的發(fā)現(xiàn)和新的收獲.

    評析:著名的數學教育家G.波利亞說過:“觀察可能導致發(fā)現(xiàn),觀察將揭示某種規(guī)律、模式或定律.”這句話啟示我們:要想學會數學,加強數學能力,就需要觀察,從不同的角度去思考,發(fā)現(xiàn)問題,探索問題的規(guī)律性. 教師在教學中要充分發(fā)揮引領者的作用,給他們創(chuàng)造條件,從問題的不同角度和方法進行探究. 這是數學思維的本質,是理解知識、解決問題、發(fā)現(xiàn)問題的關鍵,也是有效落實核心素養(yǎng)的一種途徑. 上面的探究活動,就是教師創(chuàng)設合適的情境幫助學生從不同的視角去理解三角形中最基本、最本質的東西. 通過從代數(方程、方程組、坐標)和幾何(轉化到一個三角形中)的角度,建立起求解的模型,發(fā)現(xiàn)解決問題的方法,點燃了數學思維的火花.

    3. 類比拓展,深化探究學習

    師:剛才我們已經研究了中線的問題,你能通過類比,提出并探究新的問題嗎?

    生7:我提出兩個問題:(1)將D點改為BC邊上的三等分點,其他條件不變,探究如何求AB的值;(2)將中線AD改為BC邊上的高,其他條件不變,探究如何求AB的值.

    生8:我將中線AD改為∠BAC的角平分線,其他條件不變,探究如何求AB的值.

    評析:教師沒有直接給出問題,而是引導學生通過類比提出新的問題,以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

    師:對于將D點改為BC邊上的三等分點的問題,我們可以仿照前面的幾種解法,不難得出答案. 接下來我們先從高的問題開始探究.

    生9:我研究了生7提出的第二個問題,我的解法如下:在△ABC中,設AB=c,BC=a,由余弦定理得a2=c2+(■)2-2■ccos60°,化簡得a2=c2-■c+3①. 又AD是BC邊上的高,由等面積法可得■AB·AC·sin60°=■BC·AD,化簡得a=■c②. 由①②得?搖c=■,進而得到結果.

    師:很好,利用等面積法和方程組,輕松地解決了問題,體現(xiàn)了條件基本的用法.

    生10:我研究了生8提出的問題,如圖5所示,在△ADC中,由余弦定理得DC2=1+3-2■cos30°=1,即DC=1,從而∠ACD=30°,∠ADB=60°,于是∠ABD=90°,因此AB=AD·sin∠ADB=■.

    師:從給出的已知數據的角度來說,可以把問題分為求值和求取值范圍. 我們知道,已知三角形中三個獨立的條件可以求值,如果只已知三角形中兩個獨立的條件呢?請同學們通過研究,提出并探究新的問題.

    生11:我提出下面兩個問題:已知AD是BC邊上的中線,若∠BAC=60°,AD=1,(1)求△ABC面積的最大值;(2)求△ABC周長的最大值.

    評析:在教師的引導下,學生通過減少已知條件,將確定性問題轉化為求最大值的問題. 而三角形中的面積和周長是聯(lián)系邊、角關系基本的要素,通過轉化的思維創(chuàng)造性地提出新的問題,這些問題既合情合理,又具有深度,更重要的是在深刻理解三角形本質的基礎上,充分發(fā)揮研究數學、做數學等核心素養(yǎng).

    師:這兩個問題的提出讓我們眼前一亮,自己要提出新的數學問題并不是那么難. 這兩個問題是如此的簡潔和深刻,體現(xiàn)了數學的簡潔美. 本節(jié)課我們先研究三角形面積的問題,周長的問題留給大家課后探究.

    生12:如圖6,在△ABC中,設AB=c,BC=a,AC=b,由余弦定理得a2=b2+c2-bc①;因為cos∠ADB=-cos∠ADC,所以a2=2b2+2c2-4②. 由①②得bc=4-(b2+c2),由基本不等式知bc≤■,當且僅當“b=c”時取等號. 所以△ABC的面積S=■bcsin60°=■bc≤■,當b=c=■時△ABC的面積取最大值■.

    生13:我也是利用基本不等式的方法,但是我運用了向量解法更加簡潔. 我的解法是:2■=■+■,兩邊同時平方得4=b2+c2+bc,由基本不等式得3bc≤4,下面的步驟同生12.

    師:非常精彩,剛才兩位同學都是通過基本不等式來理解問題,但是從不同的角度(一個是方程組,一個是向量)來構建不等式模型,使問題得到了解決.說明我們只有掌握方法的本質,就有新的發(fā)現(xiàn)和收獲.

    生13:我還有一種處理方法,如圖7,作平行四邊形,則∠ABE=120°,AE=2,設∠BAE=α,∠BEA=β. 在△ABE中,由正弦定理得■=■=■=■,b=■sinα,c=■sinβ,α+β=60°. 所以S=■bcsin60°=■bc=■sinαsinβ=■sinαsin■-α=■sin2α+■-■. 因為α∈0,■,所以2α+■∈■,■,利用三角函數求出最大值.

    生14:根據生13的方法,我可以得到更簡單的做法. 易知△ABC的面積等于△ABE的面積,在△ABE中已知一個角和其對邊,則它的外接圓是確定的,點B在劣弧AE上運動,當B在最高點時,即△ABE是頂角為120°的等腰三角形時,△ABE的面積最大為■.

    同學們興奮起來了……

    生15:我受之前同學的啟發(fā),通過建立平面直角坐標系的方法來研究,以下是我的解法:建立圖8所示的直角坐標系,因為AD=1,可知點D在以A為圓心、半徑等于1的圓上,由圓的參數方程可設D(cosθ,sinθ),由題意得C■sinθ,2sinθ,B2cosθ-■sinθ,0,AC=■sinθ,AB=2cosθ-■sinθ,故S=■AC·ABsin60°=■sin2θ+■-■,下面的做法同生14.

    此時教室里出現(xiàn)了掌聲,同學們感覺非常的振奮,完全是在享受探究問題的樂趣.

    師:這兩位同學分別從不同的角度思考問題,不同解法的提出源于他們對問題的觀察和對模型深刻的理解. 生13運用補形將問題轉化為我們最基本的三角形模型:已知一角和對邊,這是解決問題的關鍵. 生15通過建立直角坐標系,運用軌跡的思想將AD=1的靜態(tài)問題理解為點D在圓弧上運動的軌跡,彰顯了靜中有動的數學理性精神.

    評析:開放性的教學,引導學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是有效落實核心素養(yǎng)的關鍵,也是提高學生對數學學習興趣的重要途徑. G.波利亞說過:“提出問題比解決問題更重要.”這句話啟發(fā)我們:要想加強數學能力,就要善于思考,去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,探索問題的根源和規(guī)律. 作為教師,就是要在必要的時候對學生加以引導,放手讓學生去探究,體會知識的本質.以上的探究過程,是教師創(chuàng)設條件,幫助學生學習數學抽象、數學運算、數學建模的過程,核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng).

    ■結語

    探究性學習是指學生親身經歷提出問題和解決問題的學習過程[2]. 筆者認為,重視探究性學習是對傳統(tǒng)數學學習認識上的一個提升,不僅有利于形成“四基”,也是提高“四能”的有效手段,還是落實“三會”(會用數學的眼光觀察世界,會用數學的思維思考世界,會用數學的語言表達世界)的重要途徑,更是培養(yǎng)數學核心素養(yǎng)具體實踐的方法,對學生的可持續(xù)發(fā)展具有重大意義.

    問題是知識的載體,問題是數學的心臟,一切思維都是從問題開始的. 教學中教師要精心設計有探究價值的問題背景供學生研究,但是很多時候教師給出的問題背景,學生往往不能很好地進行探究,所以選擇合適的素材和合理的情境是探究性學習的前提[3]. 素材可來源于一些具有拓展性的、典型性的基本問題和基本結論,也可以是教材的例題、課后習題、探究思考以及一些高考題. 此時教師還應搭建研究平臺,讓學生充分參與思考和討論,引導學生從不同的角度去觀察和分析,讓問題在學生的最近發(fā)展區(qū)內,創(chuàng)造機會使得學生從中發(fā)現(xiàn)新的問題,提出新的問題. 本課能取得比較好的效果得益于:學生比較活躍,勇于表達自己的想法,他們已經初步掌握了高中所學的知識,有了一定的數學探究意識,積累了一些數學學習經驗. 采用探究性學習的方式對問題進行拓展,對學生的學習方式和能力的提高具有良好的示范.本課的探究主要分為兩個方面:一是靜態(tài)地求值,通過從不同的視角探究、解決問題,同時又提出新的問題;二是動態(tài)地求最大值,從不同的角度構建基本不等式、函數、軌跡等基本數學模型,彰顯了動靜結合的數學之美.

    實踐證明:教師創(chuàng)設有效的問題情境,有意識地培養(yǎng)學生探究性學習的能力,多留給學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的機會,多讓學生去表達自己的想法和見解. 長期下來,學生的數學核心素養(yǎng)也就得到了落實和發(fā)展. 這大概就是探究性學習的教育價值所在.

    參考文獻:

    [1]? 中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數學課程標準(2017年版)[S]. 北京:人民教育出版社,2018.

    [2]? 蔡欣.探究性學習的實踐與感悟——以一道課本習題為例[J]. 數學通報,2018,57(05).

    [3]? 董榮森. 讓探究成為數學課堂的常態(tài)[J]. 數學通報,2014,53(01).

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