分?jǐn)?shù)除法計(jì)算中的探究工具

駱良豪

【摘要】分?jǐn)?shù)除法是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)中一個(gè)重要的組成部分.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》指出，不僅會(huì)根據(jù)法則、公式等正確地進(jìn)行運(yùn)算，而且理解運(yùn)算的算理，能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運(yùn)算途徑，稱(chēng)為運(yùn)算能力.只有理解了運(yùn)算算理的運(yùn)算能力才是真正具有生產(chǎn)性的.

【關(guān)鍵詞】算理;工具;策略

“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”是“分?jǐn)?shù)除法”這一單元的起始課，是學(xué)生在掌握了分?jǐn)?shù)乘法以及倒數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的知識(shí).分?jǐn)?shù)除法不僅與分?jǐn)?shù)乘法的意義、計(jì)算及其應(yīng)用有著密切聯(lián)系，而且還和商不變的性質(zhì)有聯(lián)系.

對(duì)于“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”一課的教學(xué)，大部分教師都感到很困難，困難的并不是計(jì)算的算法，而是讓學(xué)生理解計(jì)算的算理.很多時(shí)候因?yàn)閷W(xué)生不理解算理，最終導(dǎo)致算法錯(cuò)誤，因此大部分教師的解決辦法只是讓學(xué)生死記硬背，但這樣顯然沒(méi)有達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)提出的要求.學(xué)生在進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算時(shí)，還是經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)把被除數(shù)的分子和分母顛倒再和除數(shù)相乘的錯(cuò)誤，而且這樣的錯(cuò)誤很普遍，這說(shuō)明學(xué)生沒(méi)有理解分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算算理.只有理解了算理，學(xué)生在算法上才不容易出錯(cuò).

既然在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的過(guò)程中學(xué)生有那么大的困難，那么學(xué)生是否可以進(jìn)行自主探究呢？學(xué)生自己參與課堂，自己探究，是不是可以更好地理解算理呢？他們需要什么樣的探究工具來(lái)實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)？

計(jì)算分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的一種思考方式是與分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行類(lèi)比推理，即分子除以分子，分母除以分母;另一種思考方式是利用平均分和分?jǐn)?shù)乘法的意義，把“除以一個(gè)整數(shù)”轉(zhuǎn)化為“乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”.當(dāng)然，不論哪種方法都是利用以前學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決分?jǐn)?shù)除以整數(shù)這個(gè)問(wèn)題，因此“平均分和分?jǐn)?shù)乘法的意義”是學(xué)生探究分?jǐn)?shù)除以整數(shù)不可或缺的工具.

另外，六年級(jí)學(xué)生的思維已經(jīng)開(kāi)始從具象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變，代數(shù)思維逐步形成.學(xué)生除了可以畫(huà)圖驗(yàn)證，并聯(lián)系平均分與分?jǐn)?shù)乘法之外，也可用“商不變的性質(zhì)”來(lái)轉(zhuǎn)化，這可以讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)其實(shí)就是利用舊知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題，并且可讓學(xué)生在推導(dǎo)的過(guò)程中理解“除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，掌握分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法.“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的學(xué)習(xí)也是為接下來(lái)學(xué)習(xí)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”做鋪墊，是一節(jié)教結(jié)構(gòu)的課，學(xué)生要在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理和算法，并把所學(xué)方法應(yīng)用到下個(gè)課時(shí)的學(xué)習(xí)中.下面是筆者在上課時(shí)的部分教學(xué)片段：

一、片段教學(xué)

（一）借助情境，探究算理

教師借助情境，把一張紙的 4 5 平均分成2份，問(wèn)：每份是這張紙的幾分之幾？列式： 4 5 ÷2= 2 5 .

師：請(qǐng)你們?cè)囍?huà)一畫(huà)，算一算.

生1：把 4 5 平均分成2份，就是把4個(gè) 1 5 平均分成2份，每份是2個(gè) 1 5 ，就是 2 5 .

畫(huà)圖：

列式： 4 5 ÷2= 4÷2 5 = 2 5 .

生2：把 4 5 平均分成2份，其中1份是 4 5 的 1 2 .

畫(huà)圖：

列式： 4 5 ÷2= 4 5 × 1 2 = 2 5 .

通過(guò)畫(huà)圖，學(xué)生可以理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)相當(dāng)于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù).

（二）對(duì)比分析，優(yōu)化算法

教師再次通過(guò)情境，把紙的 4 5 平均分成3份，問(wèn)：每份是這張紙的幾分之幾？

列式： 4 5 ÷3.

師：請(qǐng)你們?cè)僭囍?huà)一畫(huà)，算一算.

列式： 4 5 ÷3= 4 5 × 1 3 = 4 15 .

師：為什么大家都用第二種方法，而不再用第一種方法？

生：因?yàn)榈谝环N方法不能正好整除.

師：通過(guò)這兩道題目，你們覺(jué)得哪一種方法更適用所有的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)？

生：第二種方法.

師：根據(jù)上面的兩個(gè)算式，請(qǐng)你們?cè)囍偨Y(jié)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算法，并用字母表示：

b[]a ÷c= b[]a × 1[]c

（三）驗(yàn)證推理，揭示本質(zhì)

師：是不是所有的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成乘整數(shù)的倒數(shù)？請(qǐng)你們以 6 7 ÷4為例進(jìn)行說(shuō)明.

生1：用畫(huà)圖進(jìn)行證明.

生2：說(shuō)理解釋 6 7 ÷4相當(dāng)求 6 7 的 1 4 .

師：數(shù)學(xué)都是用以前的知識(shí)來(lái)解決現(xiàn)在的問(wèn)題，因此你們能不能用商不變的性質(zhì)來(lái)解釋呢？同桌討論，并且動(dòng)筆試一試.

生1：兩邊同時(shí)乘7.

師：大家認(rèn)為哪種方法好，為什么？

生：第三種方法好，可以把除數(shù)變?yōu)?.

師：這樣的變式可以有無(wú)窮無(wú)盡個(gè)，我們可以用什么式子來(lái)表示？動(dòng)手寫(xiě)一寫(xiě).

二、教學(xué)策略

（一）動(dòng)手畫(huà)圖，探究算理

在實(shí)際的情境中，學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，把自己的想法通過(guò)圖表達(dá)出來(lái)，這是最符合學(xué)生當(dāng)前學(xué)情的方法.在小學(xué)階段，學(xué)生處于由具象思維向邏輯思維轉(zhuǎn)化的時(shí)期，大部分學(xué)生還沒(méi)有辦法憑借思考來(lái)理解算理，因此他們?cè)诋?huà)圖的過(guò)程中可以感受到平均分和分?jǐn)?shù)乘法的意義是一致的，同時(shí)體會(huì)到這是探究分?jǐn)?shù)除以整數(shù)不可或缺的工具，并為接下來(lái)理解“除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”打下扎實(shí)的基礎(chǔ).通過(guò)這種直觀的方式，學(xué)生可以更好地理解計(jì)算算理.

（二）對(duì)比概括，總結(jié)算法

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)有兩種計(jì)算方法：第一種方法是用分?jǐn)?shù)的分子直接除以整數(shù);第二種方法是用分?jǐn)?shù)乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù).但是在實(shí)際情境中，當(dāng)“分子除以整數(shù)”無(wú)法整除時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)第一種方法雖然算得快，卻存在一定的限制，不適用所有分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，由此可以體會(huì)到第二種方法的普遍性.學(xué)生在對(duì)比的過(guò)程中體會(huì)不同方法的特征，從而會(huì)在不同的情況下用不同的方法，使自己的思維更靈活.

（三）驗(yàn)證推理，理解本質(zhì)

本節(jié)課最大的難點(diǎn)在于如何讓學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算法.學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖和對(duì)比，并結(jié)合平均分和分?jǐn)?shù)乘法的意義發(fā)現(xiàn)了除以整數(shù)相當(dāng)于乘它的倒數(shù)的計(jì)算方法.以前，教師講授到這一步也就結(jié)束了，接下來(lái)就是讓學(xué)生通過(guò)大量做題來(lái)鞏固知識(shí)，加深印象，但是這種教學(xué)方式的最大問(wèn)題就是學(xué)生是通過(guò)記憶來(lái)計(jì)算的，雖然可能有些學(xué)生會(huì)理解算理和算法，但是他們經(jīng)過(guò)一段時(shí)間之后就會(huì)忘記算理和算法，開(kāi)始出現(xiàn)混亂.因此，在學(xué)生學(xué)會(huì)算法之后，教師還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)算法進(jìn)行合情推理，使之適用于所有的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，從而加深印象.學(xué)生的推理解釋一般都是通過(guò)前面所學(xué)的畫(huà)圖和算理進(jìn)行說(shuō)明的，但是這是不夠的，教師還要讓六年級(jí)的學(xué)生學(xué)會(huì)用邏輯思維進(jìn)行轉(zhuǎn)化驗(yàn)證，從而鍛煉他們的邏輯思維能力.教師要引導(dǎo)學(xué)生利用商不變的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單證明.學(xué)生在轉(zhuǎn)化驗(yàn)證的過(guò)程中，自己選擇合適的分?jǐn)?shù)，并將分?jǐn)?shù)除法中的除數(shù)變?yōu)?.在選擇的過(guò)程中，學(xué)生可以再一次體會(huì)算理.只要學(xué)生知道為什么要把除數(shù)變?yōu)?，他們就能更好地理解為什么除以一個(gè)數(shù)相當(dāng)于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).教師還要給學(xué)生提出更高的要求，從而做好中小學(xué)銜接.

通過(guò)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”這節(jié)課，我們就可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生可以很容易發(fā)現(xiàn)并且掌握算法，而且按照以前的教學(xué)方法，我們都是直接教給學(xué)生算法，最多也就是應(yīng)用畫(huà)圖和對(duì)比讓學(xué)生理解算理，使學(xué)生都用“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)相當(dāng)于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”這個(gè)算法.但是通過(guò)這節(jié)課，我們不僅要讓學(xué)生在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)算法，還要讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并且有意識(shí)地讓學(xué)生運(yùn)用代數(shù)的方法總結(jié)算法，鍛煉學(xué)生的邏輯思維.而在這個(gè)過(guò)程中，“平均分和分?jǐn)?shù)乘法的意義”是學(xué)生探究分?jǐn)?shù)除以整數(shù)不可或缺的工具.在教學(xué)中，筆者要先了解學(xué)生的學(xué)情，因?yàn)榱昙?jí)學(xué)生的思維還沒(méi)辦法完全抽象，所以要先讓學(xué)生畫(huà)圖，通過(guò)具體的圖，讓學(xué)生直觀地理解算理，接著利用“對(duì)比”來(lái)進(jìn)一步幫助他們體會(huì)為什么除以整數(shù)相當(dāng)于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).這節(jié)課我們的創(chuàng)新之處就在于讓學(xué)生自己運(yùn)用商不變的性質(zhì)，把分?jǐn)?shù)除以整數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，并用字母進(jìn)行表示.

學(xué)生通過(guò)本節(jié)課，先解決了分?jǐn)?shù)的分子能夠被整數(shù)整除的特殊情況，再結(jié)合意義進(jìn)行思考，寫(xiě)出自己的想法，并借助畫(huà)圖進(jìn)行理解;之后，教師引出分?jǐn)?shù)的分子不能被整數(shù)整除的情況，讓學(xué)生體會(huì)哪一種方法更具有普遍性，感受分?jǐn)?shù)除以整數(shù)可以利用分?jǐn)?shù)的意義轉(zhuǎn)化為乘整數(shù)的倒數(shù).教師再要求學(xué)生利用商不變的性質(zhì)進(jìn)行證明，并用字母證明普遍性，使學(xué)生在一步一步的教學(xué)中體會(huì)為什么除以整數(shù)就相當(dāng)于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù).教師教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法后，學(xué)生就學(xué)會(huì)了如何學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法，也為接下來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)打下基礎(chǔ)，有利于學(xué)生今后的學(xué)習(xí).

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