一類特殊的一元二次方程的解法

王依帆

【摘要】含有“x”的一元二次方程問題在競(jìng)賽題中經(jīng)常出現(xiàn)，本文利用一道例題著重講解解答這類型問題的方法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);一元二次方程;解法分析

只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是二（二次）的整式方程為一元二次方程，一般形式為.教材中歸納的一元二次方程的解法主要有公式法、配方法、因式分解法等，解題時(shí)需要學(xué)生靈活運(yùn)用.含有“[x]”的一元二次方程問題在競(jìng)賽題中經(jīng)常出現(xiàn)，本文利用一道例題著重講解解答這類型問題的方法，以供參考.

題目 用x表示不大于x的最大整數(shù)，則方程x2-2x-3=0的解的個(gè)數(shù)為（? ）

（A）1.? （B）2.? （C）3.? （D）4.

1 定義法

定義法，顧名思義就是利用定義求解，x稱為高斯符號(hào)，讀作“x的整數(shù)部分”，且x滿足：①x是整數(shù);②x≤x;③x

在實(shí)際計(jì)算過程中，運(yùn)用定義“對(duì)于實(shí)數(shù)x，若有整數(shù)n，使得n≤x≤n+1，則有x=n”.解題時(shí)，首先利用定義轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)一元二次方程的求根公式進(jìn)行解答即可.

思路 本題中運(yùn)用到x=x+α（0≤α<1），整理得到0≤x-x<1，這個(gè)變形對(duì)解題十分重要.首先利用x=x+α0≤α<1將含x的方程轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)α的一元二次方程（不含x），并利用求根公式，結(jié)合0≤α<1求出方程中兩根的取值范圍，借此解得x的值.

解 設(shè)x=x+α0≤α<1，

即x=x-α，

代入原式，可得x2-2x-α-3=0，

即x2-2x+2α-3=0，

故Δ=44-2α，

因?yàn)?≤α<1，

所以2<4-2α≤4，

又x=1± 4-2α，

所以1+ 2≤x≤3或-1≤x<1- 2，

所以x只能取值-1，2，3，

當(dāng)x=-1時(shí)，原方程為x2-1=0，

所以x=-1;

當(dāng)x=2時(shí)，原方程為x2-7=0，

所以x= 7;

當(dāng)x=3時(shí)，原方程為x2-9=0，

所以x=3;

因此原方程存在三個(gè)解，故正確選項(xiàng)為（C）.

2 性質(zhì)法

性質(zhì)法，就是利用x的性質(zhì)求解，而x的主要性質(zhì)包括：①x-1

利用性質(zhì)解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用正確的性質(zhì)將原式變形，得到新的式子并求解，即可得到x的解，進(jìn)而使問題得解.

思路 本題可分析方程得到2x=x2-3，并將其代入x-1

解 由方程可知，2x=x2-3，

代入x-1

可得2x-1

所以x2-2x-3≤0x2-2x-1>0，

解得1+ 2

所以x只能取值-1，2，3，

當(dāng)x=-1時(shí)，原方程為x2-1=0，

所以x=-1x=1舍;

當(dāng)x=2時(shí)，原方程為x2-7=0，

所以x= 7x=- 7舍;

當(dāng)x=3時(shí)，原方程為x2-9=0，

所以x=3x=-3舍;

故原方程有三個(gè)解，則正確選項(xiàng)為（C）.

3 圖象法

數(shù)形結(jié)合思想對(duì)解題有化抽象為具體的作用，故而利用圖象法也是求解的一種思路.根據(jù)已知方程的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，結(jié)合圖象的直觀性，使問題快速得解.總的來說，首先根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，然后在坐標(biāo)系中表示出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，找出函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為方程解的個(gè)數(shù).

思路 本題利用圖象法會(huì)更加簡(jiǎn)單、直觀，分別構(gòu)造函數(shù)y=x2-3和y=2x，并在同一直角坐標(biāo)系中表示出來，兩條函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為它們的解個(gè)數(shù).

解 由題意得，構(gòu)造函數(shù)y=x2-3和y=2[x]，

如所示，為兩個(gè)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖象，

由可得，兩個(gè)函數(shù)圖象共存在三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，

因此，原方程有三個(gè)解，即正確選項(xiàng)為（C）.

4 分情況討論

分情況討論的方法本質(zhì)上是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的共同性和差異性，將其區(qū)分為不同情況的思想方法.對(duì)于題目中缺少部分條件，看上去無法解答，此時(shí)分幾種情況進(jìn)行討論，綜合起來便可以找到題目的完整答案.

思路 由于x≥x，所以可把方程x2-2x-3=0寫成2x=x2-3，可得不等式2x≥x2-3，求得x的取值范圍.再將x的取值范圍分為5類求解即可進(jìn)行選擇.

解 因?yàn)閤≥x，方程變形為2x=x2-3→2x≥x2-3，

解此不等式得-1≤x≤3，現(xiàn)將x的取值范圍分為五類進(jìn)行討論：

-1≤x≤0，則x=-1，原方程化為：x2-1=0，解得x=-1，

0≤x≤1，則x=0，原方程化為：x2-3=0，無解，

1≤x≤2，則x=1，原方程化為：x2-5=0，無解，

2≤x≤3，則x=2，原方程化為：x2-7=0，解得x=7，

（5）x=3顯然是原方程的解.

綜上所述，原方程的解為-1，7，3

因此原方程有三個(gè)解，即正確選項(xiàng)為（C）.

5 結(jié)語

含x的一元二次方程雖然在平時(shí)練習(xí)題中出現(xiàn)不多，但也值得我們學(xué)習(xí)，有助于拓展解題思維.結(jié)合本文可以看出，圖象法在解答一元二次方程方面具有巧妙的作用，在解題時(shí)不妨多考慮這種方法;此外，運(yùn)用性質(zhì)法解方程時(shí)，還要考慮代入x后得到的不等式求解是否容易，要具體問題具體分析.

參考文獻(xiàn)：

[1]王雪娥.初中數(shù)學(xué)一元二次方程的解題教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)之友，2022，36（1）：22-24.

[2]王偉.與一元二次方程的解有關(guān)的問題探析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)：初中版，2022（3）：37-38.