高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合途徑分析

劉素華

【摘要】本文簡(jiǎn)單概述了數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵，并且從不等式、圓的問題兩個(gè)方面分析了數(shù)形結(jié)合思想在幾何解題中的應(yīng)用，也分析了其與輔助線在題目中的結(jié)合應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);幾何解題;數(shù)形結(jié)合

引?言

數(shù)形結(jié)合是非常關(guān)鍵的解題思路，尤其在幾何題目的解答中有良好的應(yīng)用效果，對(duì)于復(fù)雜的幾何題目，有時(shí)需要借助輔助線來明晰圖像的已知條件，發(fā)現(xiàn)解題的突破口，達(dá)到快速解題的效果.

一、數(shù)形結(jié)合思想

這是分析數(shù)學(xué)題目的常見思路，數(shù)形作為最基本的數(shù)學(xué)要素，在解題中結(jié)合應(yīng)用，能夠?qū)崿F(xiàn)最佳的解題效果.這是因?yàn)閿?shù)形間具有緊密的關(guān)聯(lián)，能夠相互轉(zhuǎn)化和補(bǔ)充，共同支持?jǐn)?shù)學(xué)題目的解答過程.尤其是對(duì)于幾何類的題目，我們借助于數(shù)形兩種要素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可以將復(fù)雜難解的數(shù)學(xué)關(guān)系轉(zhuǎn)化為具象的幾何圖像，通過分析圖像中各數(shù)學(xué)要素間的空間關(guān)系來達(dá)到簡(jiǎn)化題目的目的，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)高效的解題過程.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的用途

數(shù)形結(jié)合思想在高中階段的教學(xué)中有著非常廣泛的用途.從宏觀上來講，數(shù)形結(jié)合的思想方法是作為數(shù)學(xué)課程教學(xué)的主線存在的，具體來說，數(shù)形結(jié)合思想的主要應(yīng)用領(lǐng)域包括了以下幾個(gè)方面.

（一）集合問題的解決

集合部分的知識(shí)在高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中屬于基礎(chǔ)層面的內(nèi)容，也是函數(shù)部分知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).在集合的運(yùn)算環(huán)節(jié)，可借助的內(nèi)容包括數(shù)軸、圖像.無論是需要經(jīng)過繪制發(fā)揮作用的數(shù)軸還是直觀的圖像形式，都可以非常直觀地將集合之間的關(guān)系進(jìn)行清晰的顯示，簡(jiǎn)化語言文字描述中所包含的復(fù)雜信息內(nèi)容，從而提升運(yùn)算過程的簡(jiǎn)潔性和有效性.

（二）函數(shù)問題的解決

在解決函數(shù)問題的過程中，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用主要體現(xiàn)在函數(shù)圖像與函數(shù)數(shù)量關(guān)系方面.函數(shù)性質(zhì)的體現(xiàn)通常都是以函數(shù)圖像作為支撐的.幾何圖形的呈現(xiàn)形式往往反映著非常鮮明的數(shù)量關(guān)系.這也是數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)得最為顯著的一部分內(nèi)容.除了常規(guī)的函數(shù)知識(shí)，三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)中也包含了數(shù)形結(jié)合的思想，不同的三角函數(shù)關(guān)系可以通過圖形直接進(jìn)行觀察，這在函數(shù)關(guān)系的判定方面有非常重要的作用.

（三）絕對(duì)值問題

絕對(duì)值問題的解決中，最好繪制數(shù)軸，并且利用絕對(duì)值的基本性質(zhì)方面的理論知識(shí)在圖像中找到一個(gè)宏觀上的取值范圍，最終解答出絕對(duì)值的具體范圍.在解答絕對(duì)值問題的過程中，數(shù)軸的繪制是通過繪圖的方式將抽象的求值問題簡(jiǎn)單化的過程，是數(shù)形結(jié)合思想實(shí)際應(yīng)用中提高解題效率和準(zhǔn)確性的一個(gè)典型體現(xiàn).

三、數(shù)形結(jié)合的解題思路

該方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較為廣泛，主要體現(xiàn)在集合問題、三角函數(shù)以及幾何題目的解決中.就幾何解題而言，先是仔細(xì)地審題，清晰幾何題目所描述的位置或者數(shù)量關(guān)系，這是實(shí)現(xiàn)數(shù)形兩個(gè)要素相互結(jié)合與對(duì)應(yīng)的前提，借此確定問題的突破口，然后進(jìn)行解題.如果學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解較為深入，可以自由地實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，就會(huì)達(dá)到舉一反三的思維狀態(tài)，快速解決任何幾何題目.

四、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用原則

雖然從上文的分析中可知大部分的數(shù)學(xué)問題解決在不同的階段和對(duì)應(yīng)的內(nèi)容中都會(huì)涉及數(shù)形結(jié)合的思想，但在實(shí)際應(yīng)用中，這種思想的應(yīng)用要想取得預(yù)期的應(yīng)用效果需要把握住以下幾方面基本原則.

（一）找準(zhǔn)知識(shí)內(nèi)容

在實(shí)際應(yīng)用中要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容判斷其是否適合于應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想來解決.只有具備匹配性的知識(shí)內(nèi)容，才能取得更好的實(shí)際應(yīng)用效果.

（二）注重教學(xué)組織

這一點(diǎn)主要強(qiáng)調(diào)教學(xué)組織的科學(xué)性.為了提高學(xué)生的實(shí)際教學(xué)體驗(yàn)，在展示圖像的過程中，教師可酌情選用多媒體工具或先進(jìn)的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)軟件對(duì)傳統(tǒng)的、具有固定性和抽象性的圖像內(nèi)容進(jìn)行靈活化和生動(dòng)化的處理，從學(xué)生參與學(xué)習(xí)的主觀感受維度實(shí)現(xiàn)優(yōu)化和完善.

五、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

（一）不等式問題的解決

不等式是非常重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，復(fù)雜的不等式問題，就必須要借助圖像思維來解決，在數(shù)形結(jié)合的指導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)不等式的轉(zhuǎn)化，最終實(shí)現(xiàn)求解過程.

圖1針對(duì)該題目，我們就需要先根據(jù)題目作出實(shí)際的可行域，如圖1所示.

在解決該題目時(shí)，關(guān)鍵是要按照題目所提供的數(shù)學(xué)要素將可行域作出來，將復(fù)雜的不等式問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，變成簡(jiǎn)單的距離問題，然后再借助數(shù)形結(jié)合的思路來推理題目的答案.

（二）圓類問題的解決

圓類問題是數(shù)形結(jié)合思路的主要應(yīng)用形式，這是由于圓類的問題基本都涉及很多位置關(guān)系.例如為了明晰直線和圓的關(guān)系，往往會(huì)構(gòu)建相應(yīng)的坐標(biāo)系，這時(shí)就能清晰地看到兩者間的位置關(guān)系，但是這類題目也會(huì)涉及解題，這就需要學(xué)生明確解題的思路和步驟，也就需要發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，達(dá)到以數(shù)變形的目的.

針對(duì)該題目，利用數(shù)形結(jié)合的方法，也就是根據(jù)題目的要求做出相關(guān)的圖形，如圖2所示.

在該問題的解決中，最關(guān)鍵的思路就是數(shù)形結(jié)合思想，我們?cè)谠敿?xì)分析題目條件的前提下，結(jié)合圓與直線的相關(guān)知識(shí)，最終確定出邊界位置，這樣就能高效地判斷出實(shí)際的取值范圍.

（三）與輔助線結(jié)合應(yīng)用

這是數(shù)形結(jié)合思路的基本運(yùn)用形式，很多幾何題目的空間感較為復(fù)雜，如果單純依賴于空間想象力就很難快速解題，所以就需要發(fā)揮輔助線的價(jià)值.尤其是對(duì)于條件較少的題目，學(xué)生無法立刻發(fā)掘出題目中的各項(xiàng)信息，就可以利用輔助線來凸顯圖像的特征，為解題提供思路和突破口.

圖3例如：在如圖3所示的圖形中，CB與CA相等，DA與DB相等，而AB邊的中點(diǎn)是E，請(qǐng)證明過點(diǎn)E，D，C的平面與BA間的垂直關(guān)系.

針對(duì)該問題，由于題目中提供的條件較少，而且圖像的空間關(guān)系較為復(fù)雜，因此學(xué)生在閱讀題目時(shí)會(huì)無所適從，很難依靠想象來解題.但是利用輔助線就能快速地解題，也就是連接ED，EC，這時(shí)學(xué)生就能清晰地看到平面EDC，再借助等腰三角形的知識(shí)就能夠推導(dǎo)出相關(guān)的結(jié)論，也就是CE與DE這兩條線與BA間具有明顯的垂直關(guān)系，也就可以繼續(xù)推導(dǎo)出題目中的結(jié)論.

經(jīng)由該題目可知，雖然很多幾何圖像所呈現(xiàn)的解題信息非常有限，比較容易形成學(xué)生的思維障礙，但是在輔助線的支持下，能夠讓圖像的已知條件清晰起來，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)化，消除了學(xué)生潛在的思維混亂，然后再配合一定的數(shù)學(xué)理論就可以達(dá)到快速解題的目的.

（四）取值范圍問題中的應(yīng)用

這類問題主要集中在曲線方程中的取值范圍問題的解決上.對(duì)曲線方程來說，數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵在于題目的條件中會(huì)設(shè)置曲線與直線交點(diǎn)位置的實(shí)際情況，以此為基礎(chǔ)提出相關(guān)數(shù)據(jù)取值范圍的要求.在求取值范圍的過程中，學(xué)生對(duì)于相關(guān)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的理解能力也會(huì)得到相應(yīng)的提升.

（五）函數(shù)幾何性質(zhì)判斷中的應(yīng)用

到了高中階段，函數(shù)知識(shí)的難度提升主要體現(xiàn)在函數(shù)與幾何問題的結(jié)合.這也為數(shù)形結(jié)合思想的融合應(yīng)用提出了一定的要求.尤其是在判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用能夠得到最為典型的體現(xiàn).下面通過具體的例題分析函數(shù)幾何性質(zhì)判斷中數(shù)形結(jié)合思想的滲透應(yīng)用方法.

六、結(jié)束語

幾何問題是高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵內(nèi)容，涉及的知識(shí)點(diǎn)較為復(fù)雜，學(xué)生必須借助于科學(xué)的思路和策略才能快速地解題，而數(shù)形作為非常重要的數(shù)學(xué)元素，相互之間可以轉(zhuǎn)化和補(bǔ)充，所以復(fù)雜的幾何題目就可以借用數(shù)形結(jié)合來解，實(shí)現(xiàn)數(shù)形間的轉(zhuǎn)化，保障解題的效率.

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