lp-值Wiener過程增量在H?lder范數(shù)下的局部Strassen重對數(shù)律

劉永宏,劉海國,周霞

(桂林電子科技大學數(shù)學與計算科學學院,廣西高校數(shù)據分析與計算重點實驗室,廣西 桂林541004)

1.引言與主要結果

Wiener過程及其增量的極限定理是一個廣泛研究的話題,已有許多深刻結果.危啟才在文[3-4]中研究了lp-值Wiener過程在H?lder范數(shù)下的泛函極限問題.對局部情形的極限定理人們也有研究,例如Gantert[1]研究了Brown運動局部Strassen重對數(shù)律,高付清等[2]研究了Brown運動增量的局部泛函極限定理.本文我們研究了lp-值Brown運動增量在H?lder范數(shù)下的局部Strassen 重對數(shù)律,文[3-4]中的有關結果可作為本文結果的推論.

設 {W(t);t ≥0}={Wk(t);t ≥0}是一列獨立的Wiener過程序列,e={ek}是一列實數(shù)序列.記序列 {ekWk(t);t ≥0}為 {e·W(t);t ≥0}(簡記為e·W).對p ≥1,記

為了敘述我們的結果,需要引入如下概念.

定義如果下列條件滿足,則稱(X,B,j,μ)為一抽象Wiener空間

(a)X是一實可分的Banach空間;

(b)B是一實可分的Hilbert空間;

(c)j:B→X是連續(xù)線性映射,且j(B)在X中稠密;

(d)μ是(X,B(X))上的概率測度,滿足：對任意x′ ∈ X′,有其中X′是X的共軛空間,表示X與X′之間的二元關系,j?:X′→B′=B是j的伴隨算子.

易知

設(1.2)式成立.記C0[0,1]為所有滿足e·f(0)=0的連續(xù)函數(shù)向量e·f=(e1f1,e2f2,···):[0,1]→R∞組成的集合.在空間C0[0,1]上,賦予H?lder范數(shù)||·||lp,α,記[0,1]為C0[0,1]中所有滿足的向量e·f組成的子空間.易知,[0,1]關于H?lder范數(shù)||·||lp,α構成一可分的Banach空間.因此,由文[3]中定理A可將e·W看作一在Cp,α0 [0,1]中取值的隨機變量.

現(xiàn)在設(1.2)式關于p=2成立.設

那么H關于如下內積構成Hilbert空間,

設j為[0,1]的自然嵌入映射,P為l2-值Wiener過程在([0,1],B([0,1]))上生成的概率測度.由文[3]中的討論,l2-值Wiener過程可看成是抽象Wiener空間([0,1],H,j,P)上的隨機變量.

定義映射I:[0,1]→[0,∞]如下

記K= {f=(f1,f2,···);f絕對連續(xù),

全文中,設au,bu是兩個從(0,1)到(0,e?1)非減連續(xù)函數(shù),滿足

(i)au ≤bu,u ∈(0,1),并且

對u ∈(0,1),0≤t ≤bu?au,?(t,u)記下面軌道:

設

本文的主要結果陳述如下:

定理1.1如果條件(i)和(ii)被滿足,那么以概率1,{βue ·?(t,u);u ∈(0,1)}(u→0)在[0,1]中相對緊,且其極限點集是e·K.即,

且

如果條件

也成立,那么,我們有

2.大偏差公式

引理2.1[4]設(X,B,j,μ)是抽象Wiener空間,則對任何Borel集E ?X,我們有

其中Λ(E)=inff∈E Λ(f).Λ:X→[0,∞]定義如下

引理2.2設(1.2)成立,p=2.則對任意閉集F ?C20,α[0,1],我們有

其中I(F)=inff∈F I(f),0

證參看文[4]中引理3的證明.

3.定理1.1的證明

我們證明定理1.1需要分三種情形:(I)p=2,(II)1≤p<2,(III)2

情形(II)和(III)的證明分別參看文[4]中定理1證明的Case II和Case III.

下面給出引理,證明當p=2時定理1.1成立.

引理3.1存在非增序列 {un ∈(0,1),n ∈N} 滿足limn→∞un→0,使得對任何ε>0,

{un}在后面證明中分情形定義.

證設A= {[0,1]:||φ?e·K||l2,α ≥ε}.顯然,A是閉集,I(A)>故存在充分小δ >0,使由引理2.2,當n充分大時,我們有

我們討論如下：

由(3.1),(3.2)和Borel-Cantelli引理,我們得到

引理3.2如果條件(i)和(ii)成立,那么我們有

證設

則

我們得到

又由文[4]中(3.6)的證明,存在常數(shù)c>0,有

為完成本引理證明,我們分情形討論：

由引理3.1,故(3.3)獲證.

由引理3.2,當p=2時,(1.4)獲證.

引理3.3如果條件(i),(ii)成立,則對任何f ∈K,我們有

證設u1=1,并且ρ=

若ρ <1且bu→b≠0,(u→0),那么在這種情形由下面引理3.5可得到(1.5).故此處只考慮兩種情形：1)ρ<1且bu→0,(u→0); 2)ρ=1.情形1)若ρ<1且bu→0,(u→0).我們選uk使得

對任意ε>0,由scaling性,我們有

其中A= {e·g;||e·g?e·f||l2,α <ε}.因為e·K為緊集,故只需證明,對g ∈K,當2I(e·g)<1時,結論成立即可.若2 infe·g∈A I(e·g)<1,則可選η >0,使σ′=2 infe·g∈A I(e·g)+η <1.由引理2.1(大偏差),當k足夠大時,

存在常數(shù)k0≥1,c>0,使得

因此,

因為 {||βune·?(bun?aun,un)?e·f||l2,α ≤ε}獨立(n ≥1),由Borel-Cantelli引理得到

情形2)ρ=1.若ρ=1,則au=bu,在這種情形參看文[3]中定理2.

由引理3.3,當p=2時,(1.5)獲證.

引理3.4如果條件(i),(ii)和(iii)皆成立,則對任何f ∈K,我們有

證由于故存在遞減子列 {un;n ≥1}使設ti=iaun,i=且h(n)則且h(n)→∞,(n→∞).而且,對任何小的我們得到

其中A= {g;||g?e·f||l2,α <ε}.若則可選δ >0,使μ=由引理2.1(大偏差),對n足夠大

選適當?shù)膒,使由Borel-Cantelli引理

引理3.5假設條件(i),(ii)和(iii)皆成立,對f ∈K,設?t,u(s)=βue ·(W(t+aus)?W(t)),s ∈[0,1],t ∈[0,bu?au].若

則

其中aun,bun如引理3.4定義.

證因為我們有

又由文[4]中(3.6)的證明,存在常數(shù)c>0,有

注意到

故引理3.5獲證.

由引理3.5,當p=2時,(1.6)獲證.從而對p=2情形,定理1.1獲證.