含多調(diào)和延拓算子的積分方程組的Liouville型定理

唐素芳

( 西安財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 西安710100)

1.引言

令Rn+={x=(x1,x2,...,xn)∈Rn | xn >0}是上半歐氏空間.對(duì)x ∈Rn+,y ∈?Rn+=Rn?1,2?n

為上半空間的Poisson核.對(duì)定義在?Rn+上的函數(shù)f,多調(diào)和延拓算子定義為:

2014年,CHEN[1]證明了上半空間一類帶邊界項(xiàng)的精確的積分不等式:

其中1< p ≤∞,n ≥2.并且,當(dāng)p=時(shí),他還證明了不等式的極值函數(shù)的存在性.2008年,在a=0的情形下,HANG等[2]建立了不等式(1.1),并利用移動(dòng)平面法對(duì)不等式的極值函數(shù)進(jìn)行了分類.

不等式(1.1)對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange 方程為

為了得到這個(gè)方程解的存在性,CHEN[1]采用了重排不等式和文[2]中的命題4.1來證明.

若記u(x)=(Paf)(x),v(y)=fp?1(y)及κ=則可把上面的Euler-Lagrange方程寫成如下的積分方程組:注意到此積分方程組在臨界指數(shù)的情形下關(guān)于Kelvin變換滿足共形不變性,因此我們?cè)谖腫3]中在臨界指數(shù)的情形下對(duì)方程組(1.2)的正解進(jìn)行了分類,在次臨界指數(shù)的情形下證明了正解的不存在性.

受上述工作的啟發(fā),本文考慮如下更一般的積分方程組:

其中f,g:[0,∞)→[0,∞)是非負(fù)的連續(xù)函數(shù),且滿足如下條件:

(i)f(t),g(s)在(0,∞)上非減;

(ii)F(t)=上非增,這里

本文的主要結(jié)果如下.

定理1.1假設(shè)f,g:[0,∞)→[0,∞)是非負(fù)函數(shù)且滿足條件(i)和(ii).若(u,v)是方程組(1.3)非負(fù)解,且滿足:

其中a1,a2>0,d>0,η0∈?Rn+.

當(dāng)a=0時(shí),DOU和ZHANG在文[4]中同樣利用積分形式的移動(dòng)球面法證明了方程組(1.3)的Li-ouville型定理.特別地,若a=0及f(v)=vκ,g(u)=uθ時(shí),方程組(1.3)恰好是文[2]中的積分不等式的極值函數(shù)滿足的Euler-Lagrange方程的變形.

近年來,一些研究者考慮了含調(diào)和核的積分方程組:

其中1< α < n.該方程組的正解與Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS)不等式的極值函數(shù)密切相關(guān).在f,g滿足類似于(i)和(ii)的某些自然結(jié)構(gòu)條件下,YU[5]利用移動(dòng)平面法討論了方程組(1.4)的Liouville型定理.當(dāng)f(v)=vq及g(u)=up時(shí),CHEN等[6?7]和HANG[8]分別在不同的指數(shù)條件下利用積分形式的移動(dòng)平面法證明了方程組(1.4)解的徑向?qū)ΨQ性和單調(diào)性等性質(zhì).特別地,當(dāng)u=v及p=q=時(shí),方程組(1.4)歸結(jié)為單個(gè)方程,CHEN等[9]和LI[10]分別利用積分形式的移動(dòng)平面法和積分形式的移動(dòng)球面法對(duì)方程的正解進(jìn)行分類.

同樣地,上半空間含調(diào)和核的積分方程組為:

其中1< α < n.注意到,當(dāng)f(v)=及g(u)=時(shí),DOU和ZHU[11]證明了方程組(1.5)恰好是上半空間相應(yīng)于HLS不等式的Euler-Lagrange方程,并利用積分形式的移動(dòng)球面法及Li-Zhu引理[12],對(duì)該方程組的正解進(jìn)行了分類.此外,DOU和LI[13]考慮了方程組(1.5)的Liouville型定理,且f,g滿足類似于(i)和(ii)的某些自然結(jié)構(gòu)條件.

若f(v(y))=vκ(y),g(u(x))=uθ(x),κ=則方程組(1.3)關(guān)于Kelvin變換具有共形不變性.因此,本文也采用積分形式的移動(dòng)球面法對(duì)方程組的正解進(jìn)行分類.此外,由于指數(shù)κ<1,所以在處理不等式的時(shí)候需要不同的估計(jì)技巧.

本文組織如下:第2節(jié)介紹本文要用到的一些記號(hào)和相關(guān)引理.第3節(jié)利用積分形式的移動(dòng)球面法證明定理1.1.

2.預(yù)備引理

首先介紹一些本文要用到的記號(hào).對(duì)于R>0,記

當(dāng)x=0時(shí),記BR=BR(0),Bn?1R=Bn?1R(0),B+R=B+R(0),ΣnR=Σn0,R,Σn?1R=Σn?10,R .

下面定義(1.1)式的對(duì)偶形式.令g是定義在Rn+上的函數(shù),記Pa的對(duì)偶算子為:

命題2.1[3]令1≤p

其中g(shù) ∈Lp(Rn+).

為了證明定理1.1,需要利用下面的正則性結(jié)果.

命題2.2設(shè)κ>0,1≤θ ≤?1,f,g:[0,∞)→[0,∞)是非負(fù)的連續(xù)函數(shù)且滿足條件(ii).令(u,v)是方程組(1.3)的一組正解,且(?Rn+),假設(shè)

成立,其中κ0=那么可推出v ∈C∞(?Rn+),u ∈C∞(Rn+).

這個(gè)關(guān)于正則性的命題的證明,可類似于文[3]中的定理2.3或文[4]中的定理2.3推得,此處略.

本文還需要下面三個(gè)關(guān)鍵引理,這三個(gè)引理在移動(dòng)球面的過程中至關(guān)重要.第一個(gè)引理和第二個(gè)引理由文[10]給出,并且在更強(qiáng)假設(shè)下的結(jié)論由LI,ZHU[12]及LI,ZHANG[14]給出.第三個(gè)引理由DOU和ZHU在文[11]中給出,它把文[10]中的結(jié)果推廣到了上半空間.

引理2.1[10]對(duì)n ≥1及μ∈R,若f是定義在Rn上的實(shí)值函數(shù)且滿足:

則f(x)=C是常函數(shù).

引理2.2[10]令n ≥1,μ∈R,及f ∈C0(Rn).假設(shè)對(duì)任意的x ∈Rn,存在λ>0使得

那么,存在a ≥0,d>0及∈Rn,使得

引理2.3[11]對(duì)n ≥1 及μ∈R,若f是定義在Rn+上的實(shí)值函數(shù)且滿足:

則我們有

3.定理1.1的證明

本節(jié)利用積分形式的移動(dòng)球面法證明定理1.1.為方便使用移動(dòng)球面法,定義變換:

其中λ>0,ξ ∈Rn+{x},η ∈?Rn+{x},及

分別是ξ和η關(guān)于球Bλ(x)和(x)的Kelvin變換.簡(jiǎn)記ωkx,λ(ξ):=(ωx,λ(ξ))k.

現(xiàn)在證明下面幾個(gè)引理.

引理3.1令(u,v)是方程組(1.3)的一組正解,則有

其中x ∈?Rn+.并且,有

這里

可推出P1(x,λ;ξ,η)>0,P2(x,λ;η,ξ)>0,對(duì)任意的0.

證這個(gè)引理的證明過程類似于文[3-4,10-11]中相應(yīng)引理的證明,但是我們需要更繁瑣的計(jì)算.為方便起見,記

其中x ∈?Rn+,λ>0.那么有

令y=ηx,λ,則有

并且,根據(jù)第n個(gè)變量的Kelvin變換有

則有

同理,可得

同理可證(3.2)式成立.將ux,λ(ξ)與u(ξ)相減,可得

注意到

及

將上面兩個(gè)式子相減后,再帶入到(3.5)式中,可得(3.3)式.同理,可推出(3.4)式成立.

類似于文[13]中的證明,可證得P1(x,λ;ξ,η)>0,P2(x,λ;ξ,η)>0,其中及λ>0.

為下文敘述方便,記

引理3.2在假設(shè)(H′)成立的條件下,令(u,v)是方程組(1.3)的一組正解,則對(duì)任意的x ∈?Rn+,存在λ0(x)>0使得對(duì)任意的0<λ<λ0(x),有

證當(dāng)時(shí),顯然有v(ηx,λ)≥vx,λ(η),根據(jù)條件(ii)可知F(v(ηx,λ))≤F(vx,λ(η)).另一方面,根據(jù)條件(i)可知對(duì)有f(vx,λ(η))≤f(v(η)).從(3.3)可知,對(duì)有

上式用到了中值定理,且r ∈[,θ].令f+(x)=:max {f(x),0},及s>則從(1.1)式及H?lder不等式有

其中()C是的余集,

根據(jù)引理3.1的推導(dǎo)過程,有

另一方面,我們有

HANG在文[8]中證明了基本不等式:

其中0< s ≤1,a ≥b >0及c ≥0.類似于文[15]中的方法,對(duì)η ∈Σvx,λ,從(3.7)式,(3.8)式及(3.9)式,推出

從(2.1)式推出

在(H′)的假設(shè)條件下,存在充分小的λ0使得對(duì)0<λ<λ0,有

將上式帶入到(3.12)式中,有

令

引理3.3對(duì)某個(gè)x0∈?Rn+,若=:(x0)<∞,則

證這個(gè)引理的證明思路與文[11]中的引理3.4或文[3]中的引理3.3的證明思路類似.根據(jù)的定義,有

從(3.3)式及(3.4)式推出,對(duì)λ ∈[,+ε),存在充分小的?<δ使得

這表明

記

當(dāng)R→∞時(shí),ε1=λ/R任意小.令

分別為和在Kelvin 變換下關(guān)于球 {x:|x?x0|=λ}的反射.類似于(3.12)式的推導(dǎo),有

根據(jù)假設(shè)(H),∫ 有

選取充分小的ε0,使得對(duì)λ ∈[,+ε)有

類似地,有

其中λ ∈[,+ε),這與的定義矛盾.從而引理3.3得證.

定理1.1的證明情形1 若存在某個(gè)x0∈?Rn+使得(x0)< ∞,則類似于文[16]中的引理4.2的證明過程可以表明(x)<∞,?x ∈?Rn+.再根據(jù)引理3.3有

從引理2.2推出

這里a1,d>0及η0∈?Rn+.

將上式帶入到方程組(1.2)的第一個(gè)方程中,并類似于文[10]中引理6.1的證明過程,有

其中a2,d>0.

情形2 若對(duì)任意的x ∈?Rn+都有(x)≡∞,那么有

從引理2.1可推出v >0是一個(gè)常函數(shù).另一方面,

根據(jù)引理2.3可知u只與變量t有關(guān).因此,有

顯然,u(0,t)不依賴于變量t.因此,u也是一個(gè)常函數(shù).定理1.1得證.