分枝過程Lotka-Nagaev估計的中偏差

朱艷嬌,高振龍

( 曲阜師范大學統(tǒng)計學院,山東 曲阜273165)

1.引言

經典分枝過程的研究開始于1873年,由Galton和Waston在研究英國貴族姓氏的繼承與譜系消亡問題中建立,因此經典的分枝過程稱為Galton-waston(GW)過程,其定義為

定義1.1設 {pk,k ∈N}為一概率分布,{Zn,n ∈N}為取非負整數(shù)值的Markov鏈且Z0=1,其一步轉移概率滿足：

其中 {p.?i}為 {pk}的i重卷積，δi,j為Kronecker符號,則稱 {Zn}為GW過程.

GW過程的統(tǒng)計推斷中一個非常重要的問題是估計分枝律 {pk}的均值m,常用的統(tǒng)計量為Lotka-Nagaev估計:

我們主要關心的問題是Rn?m如下式偏差概率的衰減速度:

其中l(wèi)(n):NR+是單調遞增函數(shù).文獻中一般考慮以下三種情形.

若l(n)=O(1),稱(1.1)為大偏差事件.大偏差理論的主要工作就是確定這種事件概率的收斂速度.

若l(n)=O(),稱(1.1)為正態(tài)偏差事件.漸近正態(tài)性刻畫了這種事件概率的收斂速度.

若l(n)→∞,l(n)=o(),稱(1.1)為中偏差事件,特別地,可取l(n)=n1/2?δ,0< δ <1/2.

關于正態(tài)偏差概率的估計早在上世紀70年代就已經解決,分l(Zn)為非隨機和隨機變量兩種情況:

1)l(Zn)=mn/2,此時所得到極限分布不是正態(tài)分布,見文[8].

2)l(n)=,此時所得到極限分布是正態(tài)分布,見文[3].

大偏差概率的估計得到的稍晚,分別在分枝律為輕尾和重尾的兩種情形,由文[1]和文[9]得到.這兩個結果最近由文[7-10]推廣到了帶移民的情形.

對于中偏差概率的研究只見到l(Zn)為非隨機的情形,即,l(Zn)=an,其中an→∞且an=o(mn/2),見文[4-5].本文研究l(Zn)為隨機變量的情形,即,取l(n)滿足:

例如l(n)=nδ,δ ∈(0,0.5).本文恒設

設f為Z1的矩母函數(shù),則Zn的矩母函數(shù)為f的n重迭代,記為fn(見文[2]P2).若條件(1.3)滿足,則

其中Q(s)為滿足下述方程的唯一解(見文[2]P38):Zn+1可做如下分解:

其中 {Xk}相互獨立且有共同的分布 {pj},另外,Zn與 {Xk}相互獨立.記

首先,在分枝律為輕尾的條件下我們有:

定理1.1設f為Z1的矩母函數(shù),若存在θ0>1,使得f(θ0)<∞,則對任意的?>0有

此結果表明:分枝律的指數(shù)矩存在的條件下,中偏差概率是以指數(shù)速度pn1衰減的.

稱滿足p1mr0=1的常數(shù)r0為Shr?der指數(shù).定理1.1中對Z1具有指數(shù)矩的限制可減弱為

定理1.2若條件(1.5)滿足,則(1.4)式成立.

最后考慮分枝律為重尾的情形.

定理1.3假設分枝律滿足:

其中C >0,ω >3,g(j)～h(j)表示g(j)/h(j)→1,則n→∞時,有

其中δ ∈(0,0.5),r=?(1+(1?δ)(1?w)),B(r,δ,?)為常數(shù),

此結果表明:分枝律為重尾情形時,中偏差概率是以指數(shù)速度(An(r))?1衰減的且分枝律重尾程度的不同會導致中偏差概率衰減速度的不同,即,產生了所謂的“相變”現(xiàn)象.

2.主要結果的證明

定理1.1 的證明取α ∈(1,θ0),β ∈(0,1)則有

由Markov不等式知

記

有u(1)=v(1)=0且u′(1)<0,v′(1)>0.因此可選α0∈(1,θ0),β0∈(0,1)使得

記

由(2.1)式可得φ(n,?)≤2λn.再由全概率公式,

由控制收斂定理及p1?nfn(s)→Q(s)可得(1.4).

定理1.2和定理1.3的證明依賴于分枝過程的調和矩的漸近性質.

引理2.1[9](1.3)式成立的條件下,對任意的r >0,有

其中,An(r)的定義在(1.8)式,

Γ(·)為Γ函數(shù),?為鞅 {Wn=Zn/mn}的極限W的Laplace變換.

定理1.2的證明若(1.3)式成立,注意到其中 {Xk} 相互獨立且有共同的分布 {pj},于是

見文[6]P101.因此

由Markov不等式可知

再由全概率公式及Zn與 {Xj}的獨立性可得

因r >r0,由引理,控制收斂定理及p1?nfn(s)→Q(s)可得(1.4).

定理1.3 的證明因Zn+1可做如下分解:

其中 {Xk}相互獨立且有共同的分布 {pj},另外,Zn與 {Xk}相互獨立.記m|>?),由Heyde不等式[9]可知,?a>0,?j0(?)使得?j ≥j0

由(1.6)知存在常數(shù)C1,j1使得對j ≥j1時,有l(wèi)(j)且

記r=?(1+(1?δ)(1?ω)),則r >0,由全概率公式

其中,

若r ≤r0,由An(r)的定義有

于是

再由引理 可得

類似地,有

由a的任意性可知當r ≤r0時結論成立.

當r >r0時,An(r)=p?n1.由(2.2),存在常數(shù)C,

由引理2.1及控制收斂定理可得結論.

3.在假設檢驗中的應用

考慮檢驗

設拒絕域為:

則犯第一類錯誤和第二類錯誤的概率為:

由定理1.1知

另一方面,

注意到Zna.s.→∞,可知βn=o(pn1).

4.鞅收斂的中偏差

其中 {W(k)}相互獨立且與W有共同的分布 {pj},另外,Zn與 {W(k)}相互獨立.記

利用與定理1.1-1.3相同的方法可得:

定理4.1若存在θ0>1使得f(θ0)<∞,則對任意的?>0,有

定理4.2若存在常數(shù)r >max {r0,1},使得E|W?1|2r <∞,則有(4.1)式成立.

定理4.3假設W的分布滿足

其中C >0,ω >3,當j→∞,有

存在且為有限正數(shù),其中δ ∈(0,0.5).