均值-方差準(zhǔn)則下具有利率和通脹雙重風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)負(fù)債管理問題

潘堅(jiān),趙攀

(1.贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 贛州341000;2.皖西學(xué)院金融與數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 六安237012)

1.引言

1952年,諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)家Markowitz在他開創(chuàng)性的論文中提出了均值-方差模型[1],奠定了現(xiàn)代投資組合選擇理論的基石.經(jīng)典的Markowitz模型只考慮了單期靜態(tài)情形,后來學(xué)者們致力于把它推廣到更符合實(shí)際的多期和連續(xù)時(shí)間情形.然而,由于方差沒有可分性,導(dǎo)致多階段和連續(xù)時(shí)間均值-方差模型不能直接用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解.直到2000年,香港中文大學(xué)LI和Ng[2]以及ZHOU和LI[3]利用嵌入法和隨機(jī)線性二次控制方法分別給出了離散多階段和連續(xù)時(shí)間均值-方差問題的有效投資策略及有效前沿的解析表達(dá)式,更多滿足現(xiàn)實(shí)條件的動(dòng)態(tài)均值-方差模型才得到了解決.這其中,有不少學(xué)者研究了均值-方差準(zhǔn)則下的資產(chǎn)負(fù)債管理問題.如,Leippold等[4]運(yùn)用幾何方法和嵌入法得到了離散多周期資產(chǎn)負(fù)債管理問題有效投資策略及有效前沿的解析表達(dá)式; Chiu和LI[5]在文[4]的基礎(chǔ)上研究了連續(xù)時(shí)間的資產(chǎn)負(fù)債管理問題并得到有效投資策略和有效前沿的解析表達(dá)式,其中累積債務(wù)的演化過程服從幾何布朗運(yùn)動(dòng); 謝樹香和李仲飛[6]利用文[3]的方法研究了累積債務(wù)的演化過程服從算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)的資產(chǎn)負(fù)債管理問題并得到連續(xù)時(shí)間資產(chǎn)負(fù)債管理問題的資產(chǎn)配置策略; CHEN等[7]與XIE[8]分別將文[5-6]推廣至市場有機(jī)制轉(zhuǎn)換的情形并得到有效的投資策略; CHANG[9]在文[6]的基礎(chǔ)上考慮了具有利率風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)負(fù)債管理問題并在市場參數(shù)滿足某一條件下得到了有效投資策略的解析表達(dá)式.此外,YAO等[10]研究了利率風(fēng)險(xiǎn)下的多周期資產(chǎn)負(fù)債管理問題并得到了有效前沿的解析表達(dá)式.

眾所周知,對(duì)于具有較長投資期限的投資組合問題,通貨膨脹率的大小會(huì)直接影響投資組合財(cái)富的實(shí)際價(jià)值,越高的通貨膨脹率意味著財(cái)富的實(shí)際購買力水平會(huì)越低.近年來,也有不少學(xué)者研究了通脹風(fēng)險(xiǎn)背景下的投資組合選擇問題.例如,Brennan和XIA[11],Munk等[12],ZHANG和Ewald[13],HAN和Hung[14],GUAN和LIANG[15],鄭效晨等[16]等學(xué)者在期望效用最大化框架下利用Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方法[17]或鞅方法[18]得到了相應(yīng)投資組合選擇問題的最優(yōu)投資策略.姚海祥等[19?21]以及LIU等[22]則在均值-方差框架下利用HJB方法得到了相應(yīng)投資組合選擇問題有效的投資策略.需要指出的是:上述文獻(xiàn)所建立的組合選擇模型都沒有考慮負(fù)債.而在實(shí)務(wù)中,投資者的投資過程往往伴隨著負(fù)債.負(fù)債的引入使得所建立的模型更合符實(shí)際,但這個(gè)新增加的變量導(dǎo)致所建立的模型比較復(fù)雜,進(jìn)而求解困難.本文的主要工作是在均值- 方差準(zhǔn)則下研究具有利率和通脹雙重風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)負(fù)債管理問題.在已有基于均值-方差準(zhǔn)則研究資產(chǎn)負(fù)債管理的文獻(xiàn)中,還沒有學(xué)者將利率風(fēng)險(xiǎn)和通脹風(fēng)險(xiǎn)同時(shí)考慮進(jìn)來.除此之外,與以往大多數(shù)文[19-22]不同,為了對(duì)沖通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn),在投資產(chǎn)品中引入一種具有套期保值功能的通貨膨脹指數(shù)債券(TIPS,Treasury inflation protected bonds).發(fā)行通貨膨脹指數(shù)債券在西方一些國家(如美國,日本,英國,德國,加拿大和澳大利亞)和我國香港非常盛行.

2.問題描述

假設(shè)金融市場中有四個(gè)可連續(xù)交易的金融資產(chǎn)：無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(現(xiàn)金),無違約的零息票債券(國債),對(duì)沖通脹風(fēng)險(xiǎn)的指數(shù)債券(TIPS)和股票.無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格C(t)滿足如下微分方程：

其中R(t)是名義上的無風(fēng)險(xiǎn)利率且滿足可匹配初始期限結(jié)構(gòu)的Hull-White利率模型[21]：

這里θ0(t)是一個(gè)確定性的函數(shù),表示名義利率的長期平均值;a0(>0)表示名義利率的均值回復(fù)速度;σR >0表示名義利率的波動(dòng)水平;WR(t)是自然概率測度P下關(guān)于利率的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

假設(shè)B(t,T)表示在到期日T支付1元的無違約零息票債券在t時(shí)刻的價(jià)格.在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度Q下,B(t,T)滿足如下偏微分方程終值問題：

其中λR(t)是利率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格.除此之外,B(t,T)具有如下解析表達(dá)式：

其中

在金融市場中,利率不是可交換資產(chǎn).但在利率風(fēng)險(xiǎn)管理和利率衍生產(chǎn)品定價(jià)中,作為利率的載體-無違約零息票債券在隨機(jī)利率研究中起著獨(dú)特的作用.另外,正如Boulier,HUANG和Taillard[23]的研究中所討論的,投資者很難找到到期日恰好是T的零息票債券.本文考慮一個(gè)到期日為T1的滾動(dòng)債券(rolling bond)B(t,T1),為了防止T時(shí)刻套利,假定T1≥T.對(duì)(2.4)利用It?公式,可推導(dǎo)出B(t,T1)滿足如下隨機(jī)微分方程：

眾所周知,通貨膨脹會(huì)影響投資者的財(cái)富,特別是對(duì)具有較長期限的投資項(xiàng)目(如養(yǎng)老金計(jì)劃和社會(huì)保險(xiǎn)基金).在金融經(jīng)濟(jì)中,消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)通常用來反映市場通貨膨脹的水平,其變動(dòng)率在一定程度上反映了通貨膨脹或緊縮的程度.類似于大多數(shù)文獻(xiàn)(如文[13,16]),假設(shè)物價(jià)指數(shù)水平I(t)滿足如下隨機(jī)微分方程：

其中r(t)是t時(shí)刻的實(shí)際利率.在現(xiàn)實(shí)中由于存在通貨膨脹,實(shí)際利率可能是負(fù)的且是隨機(jī)的.因此本文假定r(t)服從如下微分方程:

這里參數(shù)的金融意義見方程(2.2).除此之外,記v(t)=R(t)?r(t)+σI1λR(t)+σI2λI(t),表示物價(jià)指數(shù)水平I(t)的通貨膨脹率.

金融市場的第三個(gè)資產(chǎn)是通貨膨脹指數(shù)債券(一種特殊的零息票債券).通貨膨脹指數(shù)債券的發(fā)行在西方一些國家(如美國,日本,英國,德國,加拿大和澳大利亞)和我國香港非常盛行,它被用來沖通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn).參照文[13,16]的設(shè)置,假定通貨膨脹指數(shù)債券的價(jià)格過程B(t,T2)滿足如下隨機(jī)微分方程：

第四個(gè)資產(chǎn)為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如股票),其價(jià)格過程S(t)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)

其中λS(t)是風(fēng)險(xiǎn)源WS(t)的市場價(jià)格,常數(shù)σSS,σSR和σSI分別是股票價(jià)格關(guān)于WS(t),WR(t)和WI(t)的波動(dòng)水平.除此之外,我們假定標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)WS(t)分別獨(dú)立于WR(t)和WI(t).

定義X(t)為投資者在t時(shí)刻的總資產(chǎn),πi(t),i=1,2,3分別為t時(shí)刻投資在無違約零息票債券,通貨膨脹指數(shù)債券和股票的資產(chǎn)比例.稱π(t)=(π1(t),π2(t),π3(t))T為投資者的決策過程,這里及下文出現(xiàn)的T表示向量或矩陣的轉(zhuǎn)置.因此,在一個(gè)無摩擦可賣空的金融市場上,相應(yīng)于投資策略π(t)下的總資產(chǎn)過程Xπ(t)可表示為

為了簡便仍記Xπ(t)=X(t).由式(2.1),(2.5),(2.9)和(2.10),上式可表示為

為了簡化計(jì)算,令μ1(t)=σB(t)λR(t),μ2(t)=σI1λR(t)+σI2λI(t),μ3(t)=σSSλS(t)+σSRλR(t)+σSIλI(t),σ1(t)=(σB(t),0,0),σ2(t)=(σI1,σI2,0),σ3(t)=(σSR,σSI,σSS)和W(t)=(WR(t),WI(t),WS(t))T,則式(2.11)可簡化為

這里μ(t)=(μ1(t),μ2(t),μ3(t))T,σ(t)=(σ1(t);σ2(t);σ3(t))且假定σ(t)σ(t)T是可逆的.

假設(shè)投資者在投資過程中存在負(fù)債L(t),其變化過程服從如下幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

其中R(t)?r(t)+α(t)表示累積債務(wù)L(t)的預(yù)期增長率且是隨機(jī)的,β(t)=(β1(t),β2(t),β3(t))是累積債務(wù)L(t)關(guān)于WR(t),WI(t)和WS(t)的波動(dòng)水平.除此之外,假設(shè)α(t),β1(t),β2(t)和β3(t)都是連續(xù)有界的確定性函數(shù).

在通貨膨脹影響下的資產(chǎn)負(fù)債管理問題中,投資者關(guān)心的是剩余財(cái)富的實(shí)際價(jià)值.定義(t)=(t)(t)表示投資者在t時(shí)刻的實(shí)際財(cái)富,其中(t)=表示投資者在t時(shí)刻的實(shí)際資產(chǎn),(t)=表示投資者在t時(shí)刻的實(shí)際負(fù)債.在(2.12)和(2.13)中分別利用It公式,可推導(dǎo)出(t)和(t)滿足如下隨機(jī)微分方程：

其中

在具有利率風(fēng)險(xiǎn)和通脹風(fēng)險(xiǎn)的背景下,投資者的目標(biāo)是尋找到最優(yōu)投資策略π?(t),使得終端實(shí)際財(cái)富的期望E[(T)]達(dá)到最大,同時(shí)使得終端實(shí)際財(cái)富的方差Var[(T)]達(dá)到最小,即求解如下雙目標(biāo)優(yōu)化問題：

其中Π為所有可允許策略組成的集合,即存在一個(gè)可測的隨機(jī)過程f(t)使得

在均值-方差投資組合選擇問題中,幾乎不可能找到方差最小而均值最大的最優(yōu)投資策略π?(t),轉(zhuǎn)而尋求均值-方差有效投資策略(見文[3]),即如果不存在可允許策略π(t)使得

為了得到優(yōu)化問題(2.17)的有效前沿,根據(jù)文[3]的研究,可首先考慮如下方差最小的優(yōu)化問題,即先固定終端實(shí)際財(cái)富的期望值使得E[(T)]=K,然后再選擇可允許策略使得終端實(shí)際財(cái)富的方差Var[(T)]達(dá)到最小.更加具體地,是求解如下均值-方差有效問題：

因?yàn)?/p>

其中u=K?λ,所以最優(yōu)問題(2.19)等價(jià)于

3.問題(2.20)的求解

問題(2.20)的值函數(shù)V(t,r,y,l)∈C1,2,2,2([0,T]×R×R×R+)可定義為

其中邊界條件為V(T,r,y,l)=(y?u)2.除此之外,根據(jù)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理,V(t,r,y,l)滿足如下HJB方程：

其中Vt,Vr,Vy,Vl,Vrr,Vry,Vrl,Vyy,Vyl和Vll分別是關(guān)于t,r,y和l的一階和二階(混合)偏導(dǎo)數(shù).除此之外,記σTr=(σr1,σr2,0)T.

應(yīng)用極小值的必要條件可以得到最優(yōu)投資策略π?(t)

將(3.3)代入HJB方程(3.2)并經(jīng)過較為繁瑣的計(jì)算后,得到如下非線性偏微分方程：

其中

方程(3.4)是一個(gè)復(fù)雜的非線性拋物型方程,在一般情況下沒有解析解.但根據(jù)邊界條件V(T,r,y,l)=(y?u)2,可以猜測(3.4)具有如下形式的解：

其中g(shù)(t,r)和h(t,r,l)是兩個(gè)待定的函數(shù).將(3.5)代入(3.4)并經(jīng)過繁瑣的計(jì)算后,得到如下等式：

消除對(duì)變量y+l?h的依賴,得到如下兩個(gè)偏微分方程：

由邊界條件V(T,r,y,l)=(y?u)2得到g(T,r)=1和h(T,r,l)=u+l.因此,g(t,r)和h(t,r,l)分別滿足如下偏微分方程終值問題：

下面利用函數(shù)變換技巧和偏微分方程方法得到(3.9)和(3.10)的解析解,進(jìn)而得到輔助問題的值函數(shù)和最優(yōu)投資策略.首先求解問題(3.9).注意到(3.9)的結(jié)構(gòu)類似于(2.3).因此,猜測問題(3.9)的解具有如下指數(shù)形式：

其中A1(t)和A2(t)為兩個(gè)待定的函數(shù)且滿足A1(T)=0以及A2(T)=0.將(3.11)代入(3.9)并整理:A1(t)和A2(t)分別滿足如下兩個(gè)常微分方程定解問題

通過簡單的計(jì)算后,可以得到

下面求解問題(3.10).令

其中M(t,r)=eA3(t)r+A4(t),A3(t)和A4(t)為兩個(gè)待定的函數(shù).

將(3.11)和(3.16)代入(3.10)并化簡得到

由邊界條件h(T,r,l)=u+l,得到M(T,r)=1和P(T,l)=u+l.因此,(3.10)可分解為如下兩個(gè)偏微分方程定解問題：

完全類似于(3.9)的求解,可以得到(3.18)的解,即

其中

注意到問題(3.19)中的偏微分方程完全類似于標(biāo)準(zhǔn)的Black-Scholes方程[24],而標(biāo)準(zhǔn)的Black-Scholes方程可通過作函數(shù)變換得到解析解.為此,作自變量變換

為了得到(3.21)的解,繼續(xù)作變換

通過簡單的計(jì)算后,(3.21)簡化為如下熱傳導(dǎo)方程的初值問題：

由Poisson公式(見文[25]),得到

返回原函數(shù)和原變量,(3.19)的解可表示為

進(jìn)一步地,由(3.16),可以得到問題(3.10)的解析解，即

最后,由(3.11)和(3.25),得到優(yōu)化問題(2.20)的值函數(shù)

和最優(yōu)投資策略

4.原問題的有效投資策略及有效前沿

本節(jié)將根據(jù)第3節(jié)的結(jié)果以及Lagrange對(duì)偶定理[3]得到原問題的有效投資策略及有效前沿.

定義V1(0,r0,y0,l0)=infπ(t)∈ΠE[(T)?u]2?λ2表示(2.19)的值函數(shù).根據(jù)(2.19)與(2.20)的等價(jià)性以及(3.26),可以得到

其中

注意到(4.1)是一個(gè)關(guān)于參數(shù)λ的二次函數(shù),而二次函數(shù)在系數(shù)滿足某一條件下有最大值(或最小值).基于此,下面給出如下引理:

引理4.1如果σrA3(t)+b(t)σ(t)?1≠0,則有

證根據(jù)A1(t),A2(t),A3(t)和A4(t)的表達(dá)式,得到

因此,引理4.1得證.

引理4.1表明優(yōu)化問題(2.19)最大值存在.因此,由一階條件可得最大值點(diǎn)

將(4.3)代入(3.27),得到優(yōu)化問題(2.19)的最優(yōu)投資策略

這里u?=K?λ?.除此之外,可以得到(2.19)的最優(yōu)值,即

來選擇投資策略.至此,本文得到如下結(jié)果.

定理4.1均值-方差準(zhǔn)則下具有利率和通脹雙重風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)負(fù)債管理問題相對(duì)于真實(shí)終端財(cái)富期望E[(T)]=K的有效投資策略由(4.4)給出,有效前沿由(4.6)給出,其中

從式(4.4)和式(4.6)可以看出債務(wù)影響投資者的投資決策。因此,由定理4.1可以得到相應(yīng)沒有負(fù)債的投資策略和有效前沿，即令l0=0,(t)=0,則有

推論4.1均值-方差準(zhǔn)則下具有利率和通脹雙重風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)分配問題相對(duì)于真實(shí)終端財(cái)富期望E[(T)]=K的有效投資策略和有效前沿分別是

5.數(shù)值算例

本節(jié)針對(duì)本文的理論結(jié)果給出一些數(shù)值算例以分析模型主要參數(shù)對(duì)投資策略的影響.為了簡化計(jì)算并不失一般性,假定所有的參數(shù)均為常數(shù),即選擇如下基本參數(shù)：

基于上面的基本參數(shù),可以得到

下面以初始負(fù)債,利率波動(dòng)和通貨膨脹波動(dòng)為代表討論它們對(duì)投資策略的影響.

表5.1 初始負(fù)債對(duì)投資策略的影響

表5.2 利率波動(dòng)對(duì)投資策略的影響

表5.3 通貨膨脹波動(dòng)對(duì)投資策略的影響

我們首先分析表5.1中的數(shù)據(jù).隨著初始負(fù)債的增大,投資在高風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票的比例是逐步上升的,而投資到債券類資產(chǎn)(國債和通脹指數(shù)債券)的比例是下降的.這也說明在面對(duì)比較高的初始負(fù)債時(shí),投資者在投資決策時(shí)變得比較激進(jìn).除此之外,我們需要指出的是當(dāng)L0=0時(shí),我們所考慮的模型將退化成眾多學(xué)者考慮的資產(chǎn)分配模型(不考慮負(fù)債).除此之外,從表5.2-5.3中的數(shù)據(jù)可以看出,當(dāng)σr1或σI2發(fā)生很小的波動(dòng)時(shí),投資策略需作很大的調(diào)整.

圖5.1,圖5.2分別給出了t=0時(shí),有效前沿隨利率波動(dòng)σr1和通貨膨脹波動(dòng)σI2的變化圖.從圖5.1可以看出：當(dāng)利率的波動(dòng)值從σr1=0.195上升到σr1=0.21時(shí),均值-方差有效前沿向右下方移動(dòng),即在終端真實(shí)財(cái)富方差Var[(T)]一定時(shí),終端真實(shí)財(cái)富均值E[(T)]是減少的.圖5.2顯示,在終端真實(shí)財(cái)富均值E[(T)]一定的條件下,終端真實(shí)財(cái)富方差Var[(T)]對(duì)通貨膨脹波動(dòng)參數(shù)σI2比較敏感,如均值為4時(shí),方差從5.629上升到6.2459.這說明通貨膨脹波動(dòng)參數(shù)極度影響投資邊界(有效前沿).

圖5.1 利率波動(dòng)對(duì)有效前沿的影響

圖5.2 通貨膨脹波動(dòng)對(duì)有效前沿的影響

6.結(jié)論

利率風(fēng)險(xiǎn)和通脹風(fēng)險(xiǎn)是投資者在投資決策過程中面臨的主要背景風(fēng)險(xiǎn).鑒于此,本文在均值-方差準(zhǔn)則下考慮了具有利率和通脹雙重風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)負(fù)債管理問題.利用Lagrange對(duì)偶定理,HJB方法,偏微分方程方法和一些函數(shù)變換技巧得到了此問題的有效投資策略和有效前沿的解析表達(dá)式.解析表達(dá)式為模型計(jì)算的有效性和參數(shù)估計(jì)提供了方便,是本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn).除此之外,作為模型的直接應(yīng)用,通過數(shù)值算例分析了模型主要參數(shù)對(duì)有效投資策略和有效前沿的影響.結(jié)果表明：有沒有負(fù)債以及利率風(fēng)險(xiǎn)和通脹風(fēng)險(xiǎn)會(huì)對(duì)投資策略產(chǎn)生本質(zhì)的影響.因此,本文所得結(jié)論為個(gè)體投資者以及銀行,保險(xiǎn)公司,養(yǎng)老保險(xiǎn)基金等金融機(jī)構(gòu)進(jìn)行資產(chǎn)負(fù)債管理提供決策依據(jù).