用Hirota雙線性方法構(gòu)造一種(3+1)維高維孤子方程的多孤子解

彭亞麗,套格圖桑

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特010022)

1.引言

求解非線性發(fā)展方程的精確解,是孤子理論的重要研究?jī)?nèi)容之一.最近,對(duì)于非線性發(fā)展方程提出多種求解方法.比如：Hirota雙線性方法,是直接引進(jìn)雙線性導(dǎo)數(shù)的概念,將非線性發(fā)展方程轉(zhuǎn)化成雙線性形式的發(fā)展方程.在此基礎(chǔ)上,利用多種函數(shù)變換與計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)相結(jié)合的方法,可獲得多種新解.這種方法,在高維非線性發(fā)展方程的求解與相關(guān)問(wèn)題的研究中被廣泛應(yīng)用.文[1]利用Hirota雙線性方法和試探函數(shù)相結(jié)合的方法,研究了一個(gè)(3+1)維非線性演化方程的求解與約化問(wèn)題,獲得了新結(jié)論.文[2-4]利用Hirota雙線性方法構(gòu)造了(3+1)維NLEE方程和(2+1)維Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程等非線性發(fā)展方程的Lump 解等多種新解.文[5-6]利用Hirota雙線性方法,研究了(3+1)維高維孤子方程的求解與解的性質(zhì)問(wèn)題.

文[5]利用Hirota雙線性方法,研究了高維孤子方程(1.1)的Lump解與線孤子解的相互作用等問(wèn)題.文[6]利用B?cklund變換,獲得了高維孤子方程(1.1)的雙線性形式的B?cklund變換,由此獲得特殊的孤子解.

本文基于文[5-9],首先,通過(guò)一種函數(shù)變換與對(duì)數(shù)變換,將(3+1)維高維孤子方程化成雙線性方程.然后,用級(jí)數(shù)擾動(dòng)法,給出了多孤子解.最后,用有理多項(xiàng)式試探函數(shù)法,獲得了怪波解,并分析解的性質(zhì).

2.(3+1)維高維孤子方程的多孤子解與怪波解

下列求解方程(1.1)的多孤子解：

在方程(1.1)中令

其中ξ=αx+βy+γt,而且α,β,γ是任意非零常數(shù).

將(2.1)式代入方程(1.1)后得到如下方程：

方程(2.2)經(jīng)對(duì)ξ積分可得到：

在方程(2.3)中設(shè)

其中ω0是任意非零常數(shù).

將(2.4)式代入方程(2.3)整理得：

基于文[3-5]中的定義E(q)=3αPξz+(2αβω0+2α3βω0?2βγ)P2ξ?α3βP4ξ=0,再利用文[3-5]獲得的結(jié)論和定義q=ln(f(ξ,z))?ω=ω0+3qξ=ω0+3[ln(f(ξ,z))]ξ,把方程(2.5)寫(xiě)為如下雙線性方程：

則有：

將(2.7)式代入方程(2.6)得到：

利用雙線性形式及文[10-12]中的小參數(shù)擾動(dòng)法,下面求解方程(1.1)的多孤子解.設(shè)

這里f是關(guān)于ξ,z的待定函數(shù).

將(2.9)式代入雙線性方程(2.6),并比較ε的同次冪系數(shù)得到線性微分方程組：

情形1 單孤子解.為了求解單孤子解,設(shè)

這里λ,σ,δ為常數(shù).

將(2.13)式代入方程(2.10)后得到

令?=1時(shí),得到單孤子解：

情形2 雙孤子解.為了求解雙孤子解,設(shè)

其中f1=eθ1+eθ2,θi=λiξ+σiz+δi,且λi,σi,δi(i=1,2)都是非零常數(shù).

將(2.16)式代入(2.10)式得到:

將(2.17)式代入(2.11)式求得:

令ε=1時(shí),得到雙孤子解：

情形3 N-孤子解.根據(jù)單孤子解和雙孤子解,用數(shù)學(xué)歸納法推斷N-孤子解：

為了求解方程(1.1)的怪波解,設(shè)方程(2.8)中的f為

其中ci,j是任意非零常數(shù).

將(2.21)式代入方程(2.8),并ξizj(i,j=0,1,2,3,4)的系數(shù)為零后得到一組非線性代數(shù)方程組.當(dāng)

時(shí),借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica,求出方程組的如下七組解：

將以上七組解代入(2.21)式中得到f的七組結(jié)論:

將以上七種結(jié)論分別代入ω=ω0+3 ln(f)ξ,在利用ξ=αx+βy+γt得到方程(1.1)的以下怪波解：

當(dāng)c0,0=2,c0,1=3,ω0=8,c1,1=4,c0,2=2,c1,2=1,β=2,γ=2,α=2,c2,0=2,c2,1=2,c1,0=3時(shí),怪波解(2.37)的三維圖如圖1所示,平面圖如圖2所示.怪波解(2.42)的三維圖如圖3所示,平面圖如圖4所示.圖1與圖3都呈現(xiàn)出上下尖峰波.

3.結(jié)語(yǔ)

基于文[1-6]給出一種函數(shù)變換與對(duì)數(shù)變換,將(3+1)維高維孤子方程化為雙線性形式.在此基礎(chǔ)上,用級(jí)數(shù)擾動(dòng)法,給出方程(1.1)的多孤子解.基于文[13-14],用廣義有理多項(xiàng)式的試探函數(shù)法,獲得了方程(1.1)的怪波解.

圖1

圖2

圖3

圖4