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    Local Existence and Global Nonexistence Theorems for a Viscous Damped Quasi-Linear Wave Equations

    2020-01-10 05:48:06SONGRuili宋瑞麗WANGShubin王書(shū)彬
    應(yīng)用數(shù)學(xué) 2020年1期
    關(guān)鍵詞:瑞麗

    SONG Ruili(宋瑞麗),WANG Shubin(王書(shū)彬)

    ( 1.College of Information and Business,Zhongyuan University of Technology,Zhengzhou 450007,China; 2.School of Mathematics and Statistics,Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China)

    Abstract: In this paper,the existence and uniqueness of the local solution for the initial boundary value problem for a class of three-dimensional space of quasi-linear viscous damping wave equation are proved by the Galerkin method and compactness principle.The blow-up of the solution in limited time for this question is proved by means of the energy integral inequality.

    Key words: Viscous damped; Quasi-linear wave equation; Initial boundary problem;Local solution; Blow-up of solution

    1.Introduction

    In this paper,we consider the 3-dimensional initial boundary value problem:

    whereu(x,t)denotes the unknown function,α>0,β >0,p ≥1,q >1 are constants,f(s)is a given nonlinear function,the subscripttindicates the partial derivative with respect tot,?denotes the gradient operator,u0andu1are the given initial value function,?is a bounded domain in R3with a smooth boundary??.

    The equations of the type of(1.1)are a class of nonlinear development equations which are proposed to control the motion of a viscoelastic solid of the material of the rate type.[1?3,5?6]It can also be considered as the longitudinal field equation governing the viscoelastic bar obeying the nonlinear Voigt model.[4]Whenα=β=0,there have been a lot of results on the global existence and other natures of solutions of the equation(1.1).[1?2,7,10]In[8],YANG and CHEN have proved the global existence and uniqueness of the solution of (1.1)-(1.3)in one-dimensional space when the authors replacedα|ut|p?1utandβ|u|q?1ubyf(ut)andg(u).In [9],the authors have proved the existence and uniqueness of the local generalized solution and the local classical solution and given the conditions for blow-up of the solutions in finite time,but they were all in one-dimensional space.In the present paper,we overcame the design problem of embedding theorem and interpolation theorem index and proved the existence and uniqueness of the local solution of (1.1)-(1.3)under certain conditions in three-dimensional space.

    Throughout this paper,we use the notation:||·||p=||·||Lp(?)(1≤p ≤∞),||·||m(?)=||·||Hm(?),||·||Wm,p=||·||Wm,p(?).In particular,||·||=||·||2.Ci(i=1,2,···)are positive constants,and they don’t depend onNandt.

    2.The Existence and Uniqueness of Local Solution

    In this section we will prove the existence and uniqueness of local solution for the problem(1.1)-(1.3)by the Galerkin method and compactness principle.

    Let{yi(x)} be the orthonormal basis inL2(?),namely?2y+λy=0.

    Let

    be the Galerkin approximate solutions of the problem (1.1)-(1.3),whereφNi(t)are the undermined functions,Nis a natural number.Suppose that the initial value functionu0andu1can be expressed as

    whereηiandξiare constants,uN(x,t)is determined by the following system of ordinary differential equations

    Lemma 2.1Suppose thatf ∈C3(R),|f(s)|≤K|s|ν,|f′(s)|≤K|s|ν?1etc.,andf′′(0)=0,whereν ≥2 is natural number,K >0 is constant,q >1,p ≥1 and min {p+1,q+1}≥3.If

    then the initial value problem (2.1)-(2.2)admits the classical solutionφ(t)=(φN1(t),φN2(t),··· ,φNN(t))on [0,t1]and

    is uniformly bounded,wheret1,M1are positive constants independent of the boundM,and

    ProofThe local solution of the initial value problem(2.1)-(2.2)always exists according to ordinary differential equation theory.Let [0,TN]be the maximum time interval in which the solution exists.Now we are going to estimate the solution of the initial value problem(2.1)-(2.2).

    Multiplying both sides of the equation (2.1)by 2(1+λs+λ2s)(t)and summing up fors=1,2,··· ,N,adding 2[(uN,uNt)?(?2uN,uNt)+(?3uN,?3uNt)]to both sides of(2.1)and integrating by parts ofx,we have

    Using the Gagliardo-Nirenberg interpolation theorem and (2.5),we can get

    where 0≤≤m?1≤4,0≤≤m?2≤3.Using the Hlder inequality,(2.7),(2.8)and the assumption of Lemma 2.1,we obtain

    By using of the differentiation and the assumptions off(s),we have calculation that

    Making use of the H?lder inequality,the Cauchy inequality,from (2.5)and (2.11),we obtain that

    Using differential method and simple calculation,we arrive at

    We obtain from (2.11),(2.13)and (2.14)that

    From (2.5)and the H?lder inequality,we conclude that

    Substituting (2.9)(2.10)(2.12)and (2.15)-(2.18)into (2.6),we get

    whereM1>0 is a constant independent ofN,for anyt ∈(0,TN).It follows from (2.19)that

    If we take the appropriatet1to make 0<1+(1?δ)M1t1Aδ?1< ηtrue,where 0< η <1,then (2.4)holds on [0,t1].This means thatTNhas the positive lower bound independent ofN.Lemma 2.1 is proved.

    It is easy to deduce the following lemma is true from Lemma 2.1

    Lemma 2.2Under the conditions of Lemma 2.1,the approximate solutionuNof the question (1.1)-(1.3)has estimation as follows

    Theorem 2.1Suppose thatf ∈C3(R),|f(s)|≤K|s|ν,|f′(s)|≤K|s|ν?1etc.,andf′′(0)=0,whereν ≥2 is natural numbers,K >0 is constant,q >1,p ≥1 and min {p+1,p+1}≥3.Ifu0∈H2(?),u1∈H2(?),then the initial boundary value problem (1.1)-(1.3)has a unique local generalized soluteu(x,t).

    ProofMultiplying both sides of the equation (2.1)by 2?N,sand summing up fors=1,2,··· ,N,we arrive at

    Using the H?lder inequality and the Cauchy inequality,using (2.11)(2.13)(2.14)(2.21)and(2.22),we obtain

    Using the Sobolev imbedding theorem and (2.21),we obtain

    where 0< λ ≤0.5.It follows from (2.24)and the Ascoli-Arzel′a theorem that there exists a functionu(x,t)and a subsequence of{uN(x,t)},still labeled by{uN(x,t)},such that whenN→∞,{?iuN(x,t)}(i=0,1,2)and{uNt(x,t)} uniformly converge to?iu(x,t)(i=0,1,2)andut(x,t)on,respectively.The subsequence{?iut(x,t)}(i=1,2)weakly converge to?iut(x,t)(i=1,2)inL(Qt1).Thus the initial boundary value problem (1.1)-(1.3)has a local generalized solution.

    We now demonstrate the uniqueness of local generalised solutions.Suppose thatu(x,t)andv(x,t)are two generalized solutions of the initial boundary value problem(1.1)-(1.3).Let

    Thenω(x,t)satisfies the initial boundary value problem

    Multiplying both sides of equation (2.25)by?2?2ωt,increasing 2ωωt?2?4ωωtto the both sides and integrating on?,using the Cauchy inequality,we arrive at

    The Gronwall inequality yields

    Thereforeu(x,t)=v(x,t).This completes the proof of the theorem.

    To prove the local classical solution of the question (1.1)-(1.3),we estimate the approximate solution furtherly.

    Lemma 2.3Suppose that the conditions of Lemma 2.2 hold,andf ∈C7(R),f(2l?1)(0)=0,l=1,2,3,4,u0∈H7(?),u1∈H6(?),then the approximate solution of the problem (1.1)-(1.3)has the following estimates

    ProofMultiplying both sides of equation(2.1)by 2(1+λ6s)(t)and summing up fors=1,2,··· ,N,adding 2[(uN,uNt)+(?2uN,?12uNt)]to both sides of (2.1)and integrating by parts ofx,we obtain that

    where

    Making use of the H?lder inequality,the Cauchy inequality,analogous to (2.9)(2.10),we get

    By virtue of the H?lder inequality,the Cauchy inequality and (2.30),we have

    Substituting (2.31)-(2.34)into (2.30),we infer

    Multiplying both sides of the equation (2.1)by(t)and summing up fors=1,2,··· ,N,making use of H?lder inequality and Cauchy inequality,similarly to(2.31)-(2.33),we conclude that

    Differentiating(2.1)with respect tot,multiplying both sides byλ2s...αN,s(t)and summing up fors=1,2,··· ,N,we can find

    By means of Cauchy inequality and H?lder inequality,from (2.37)we arrive at

    It is easy to see that (2.29)is valid from (2.35)(2.36)(2.38).This completes the proof of the lemma.

    Theorem 2.2Suppose thatf ∈C7(R),|f(s)|≤K|s|ν,|f′(s)|≤K|s|ν?1etc.,f2l(0)=0,l=1,2,3,4,whereν ≥2 is natural numbers,K >0 is constant,q >1,p ≥1 andmin{p+1,p+1} ≥3.Ifu0∈H7(?),u1∈H6(?),then the initial boundary value problem(1.1)-(1.3)has a unique local classical solutionu(x,t).

    ProofIt follows from (2.29)and Sobolev embedding theorem that

    where 0< λ ≤0.5.It follows from (2.24)and the Ascoli-Arzel′a theorem that the initial boundary value problem (1.1)-(1.3)has local classical solutionu(x,t).It is easy to see the classical solution of the initial boundary value problem (1.1)-(1.3)is unique.This completes the proof of the theorem.

    3.The Global Nonexistence Theorem of the Solution

    In this section,to acquire the global nonexistence theorem of the solution for the initial boundary value problem (1.1)-(1.3),we quote the following lemma.

    Lemma 3.1[9]Suppose that a positive differentiable functionM(t)satisfies the inequality

    with

    whereM(0),˙M(0),r >1,C >0 are constants and

    Then there is a constant ?Tsuch thatI(t)→∞ast→.

    Theorem 3.1Suppose thatp=1,q >1,u0∈H10(?)∩Lq+1(?),u1∈H10(?),f(s)∈C1(?),sf(s)≤KG(s),G(s)≤?η|s|r+1,G(?u0)∈L1(?)and

    whereG(s)=f(y)dy,K >2,η >0,r >1,

    are constants.Then the generalized solution or the classical solution of the initial boundary value problem (1.1)-(1.3)blows-up in finite time,i.e.,

    whent→.

    ProofAssume that the maximal time of existence of the initial boundary value problem (1.1)-(1.3)is infinite.Multiplying both sides of (1.1)by 2u(t),integrating over?and integrating by parts,we get(t)=0,t>0,where

    ThusE(t)=E(0),t>0.

    Let

    We get

    Further we infer by the assumptions of Theorem 3.1 that

    Making use of the Cauchy inequality,the H?lder inequality and the Young inequality,we have

    Substituting (3.3)into (3.2),we can find

    where

    It follows from (3.4)that

    Further

    From (3.1)(3.4)-(3.6)and the Cauchy inequality,we obtain

    Since 2(u,ut)≤||u||2+||ut||2and>0,I(t)>0,from (3.7)we deduce

    Using the H?lder inequality and the Poincarinequality,we assert

    Using the inequality

    and substituting (3.9)-(3.11)into (3.8),we find

    whereA2=η(k?2)22?r.

    It follows from (3.5)and (3.6)that ˙I(t)→∞ast→∞.Therefore ,there exist at0≥1 such that ˙I(t)>0,I(t)>0 whent ≥t0.Multiplying both sides of (3.12)by 2 ˙I(t)and using(3.5),we obtain

    Integrating (3.13)over (t0,t),we infer that

    We observe that the right-hand side of(3.14)approach to positive infinity ast→∞,so there is at1≥t0such that the right-hand side of (3.14)is large than or equal to zero whent ≥t1.We thus get

    Further from (3.15)we conclude that

    By virtue of Lemma 3.2 there exists a constant,such that

    ast→.The theorem is proved.

    Similarly to Theorem 3.1,we can prove

    Theorem 3.2Suppose thatH10(?),f(s)∈C1(?),sf(s)≤KG(s),G(s)≤?η|s|r+1,G(?u0)∈L1(?)and

    where

    are constants.Then the generalized solution or the classical solution of the initial boundary value problem (1.1)-(1.3)blows-up in finite time,i.e.,

    whent→.

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