數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析

郁得環(huán)

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了直線和圓的位置關(guān)系后的一節(jié)習(xí)題課，旨在鞏固和提高學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想方法和通過轉(zhuǎn)化解決問題的能力.

例1.（2010江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓x +y =4上有且只有四個點到直線l：12x-5y+c=0的距離為1，求實數(shù)c的取值范圍.

設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)了直線和圓的位置關(guān)系后，更深一層次地解決問題.本題的關(guān)鍵是讓直線動起來，在動態(tài)過程中尋找滿足題意的位置.通過數(shù)形結(jié)合解決這個問題，同時也讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線在運動的過程中有三個點、兩個點和一個點時的c的取值范圍，讓學(xué)生自己動手動腦解決這個問題，以利于以后解本類題型的變式.

解析：由于圓上的點到直線的距離1恰好是半徑2的一半，當(dāng)直線l介于直線l 與l 之間時，在直線l的兩側(cè)各有一條與l平行的直線l到的距離為1，故而有四個點. <1，即-13

通過這道題提高學(xué)生的識圖及分析問題的能力.

變式1.圓x +2x+y +4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為 的點有幾個？

解析：將圓的方程化為標(biāo)準方程（x+1） +（y+2） =8，圓心（-1，-2）到直線x+y+1=0的距離d= = ，則與直線x+y+1=0的距離為 的兩條平行線與圓的公共點的個數(shù)即為所求.由于圓的半徑為2 ，因此與直線x+y+1=0的距離為 的平行線一條過圓心，另一條與圓相切，故這兩條直線與圓有兩個公共點.

變式2.設(shè)圓C：（x-3） +（y+5） =r （r>0），直線l：4x-3y-2=0：

①圓C上有且僅有一個點到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍；

②圓C上有且僅有兩個點到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍；

③圓C上有且僅有三個點到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍；

④圓C上有且僅有四個點到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍.

例2.如果x，y實數(shù)滿足方程（x-3） +（y-3） =6，求：

（1） 的最值；

（2）x+y的最值；

（3） 的最值；

（4）|3x+4y-36|的最值.

設(shè)計意圖：類比在線性規(guī)劃中解決此類問題的方法，先將所求的代數(shù)表達式賦予幾何意義，把問題轉(zhuǎn)化為求此幾何量的最值問題，再從幾何直觀出發(fā)，根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)觀察最值出現(xiàn)的時機和位置，從而解決代數(shù)表達式的最值問題.

解析：（1）設(shè)P（x，y），則P點的軌跡是已知圓C：（x-3） +（y-3） =6.而 的幾何意義就是直線OP的斜率k，依題可知當(dāng)OP與圓C相切時斜率取得最值.

（2）設(shè)x+y=b，則y=-x+b，將問題轉(zhuǎn)化為直線運動過程中的縱截距的最值，依題可知當(dāng)直線與圓相切時b取最值.

（3） 的幾何意義是圓上的點到定點（2，0）的距離，圓心到（2，0）的距離加半徑、減半徑即為最大和最小值.

（4）|3x+4y-36|的幾何意義是圓上的點到直線3x+4y-36=0的距離的5倍的最值.根據(jù)題意圓心到直線的距離加減半徑再乘5即為所求最值.

變式：已知實數(shù)x，y滿足x +y =9（y≥0），試求m= 與b=2x+y的取值范圍.

設(shè)計意圖：通過上道例題，很多學(xué)生認為都是在直線與圓相切時取得最值，故而做錯了.設(shè)計這道題讓學(xué)生明白在解決問題時要注意看圖及直線的運動情況再結(jié)合幾何意義給出結(jié)論，要真正地理解此類題的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想.

解析：這道題是易錯題.此題的圓是一半圓，根據(jù)圓上動點及m，b的幾何意義可知m的取值范圍是（-∞， ）∪[ ，+∞），b∈[-6，3 ].

通過這節(jié)課讓學(xué)生充分理解數(shù)形結(jié)合的重要性，以及由一個知識點引申出的一類題型的做法.