賦值Banach代數(shù)的錐b-度量空間中的公共不動(dòng)點(diǎn)定理

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昭通 657000)

1 預(yù)備知識

不動(dòng)點(diǎn)理論已經(jīng)越來越廣泛的應(yīng)用于當(dāng)今科學(xué)技術(shù)的發(fā)展中，由古典的Banach壓縮映像原理所產(chǎn)生的不動(dòng)點(diǎn)理論已經(jīng)不能滿足發(fā)展的需求了，于是出現(xiàn)了各種推廣，尤其是錐度量空間[1]，錐b-度量空間[2]等. 然而，文獻(xiàn)[3，4]發(fā)現(xiàn)錐度量空間與度量空間之間存在等價(jià)關(guān)系. 直到2013年，文獻(xiàn)[5]定義了賦值Banach代數(shù)的錐度量空間，并舉例證明了這種空間與度量空間是不等價(jià)的. 因此，有關(guān)這類空間不動(dòng)點(diǎn)理論與應(yīng)用是非常有價(jià)值的. 本文主要是在賦值Banach代數(shù)的錐b-度量空間中，探究兩個(gè)單值擴(kuò)張映射的公共不動(dòng)點(diǎn)定理，本文的結(jié)論推廣了文獻(xiàn)中的許多重要定理.

假設(shè)A為實(shí)Banach 代數(shù)，即A是具有乘法運(yùn)算的實(shí)Banach空間，其運(yùn)算具有如下性質(zhì)， 對任意的x,y,z∈A,α∈R:(1)(xy)z=(yz)(2)x(y+z)=xy+xz以及(xy)z=xz+yz

(3)α(xy)=(αx)y(4)‖xy‖=‖x‖‖x‖[16].

本文總假設(shè)Banach代數(shù)A具有單位元 (即乘法單位元)e使得對?x∈A有xe=ex=x.元素x∈A稱為可逆的，如果存在一個(gè)元素(稱為它的一個(gè)逆元)y∈A使得xy=yx=e.x的逆元記為x-1，文[16].

注1[16]若r(x)<1，則‖xn‖→0(n→∞).

定義1[5]設(shè)A為Banach代數(shù)，θ和e分別是E中零元和單位元，P是A的一個(gè)非空閉子集，R+為非負(fù)實(shí)數(shù)集. 若滿足(1){θ,e}∈P;(2)?a,β∈R+?aP+βP?P; (3)P2=PP?P; (4)P∩(-P)={θ},則P稱A是中的錐. 對于錐P?A，定義≤半序如下:即?x,y∈A,y-x∈P,則x≤y;x0，使得θ≤X≤Y?‖x‖≤K‖y‖，則稱錐P為A中正規(guī)錐，其中滿足條件的最小正數(shù)K稱為P的正規(guī)常數(shù).

定義2[2,6]設(shè)X是一個(gè)非空集合，s≥1為給定的實(shí)數(shù)，若d:X×X→A映射滿足

(i)θ≤d(x,y)對一切x,y∈X.d(x,y)=θ當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

(ii)d(x,y)=d(y,x)?x,y∈X;

(iii)d(x,y)≤s[d(x,z)+d(z,y)],?x,y,z∈X.

則d稱X是的一個(gè)錐b-度量. (X,d)稱為賦值Banach代數(shù)的錐b-度量空間.

定義3[2,6]設(shè)(X,d)為賦值Banach代數(shù)的錐b-度量空間，x∈X且{xn}n≥1是X中的一個(gè)序列，則

(i) 若對任意的c∈intP，存在正整數(shù)N，使得對所有的n,m>N，d(xn,xm)?c，則稱{xn}n≥1為Cauchy列;

(iii) 若X中的每個(gè)Cauchy列都收斂，則稱(X,d)為完備的.

定義4[12]設(shè)P是體錐，對于任意c?θ，存在n0∈N當(dāng)n≥n0時(shí)有un?c，則稱{un}是P中的c-序列.

定義5[13]設(shè)f,g是集合X中的兩個(gè)自映射，若存在x∈X，使得w=fx=gx，則稱x是f和g的重合點(diǎn),w是f和g的耦合點(diǎn).

定義6[13]設(shè)是集合X中的兩個(gè)自映射，若存在x∈X且fx=gx,有fgx=ggx，則稱f和g是弱相容的.

引理1[6]設(shè){un}與{vn}是錐P中的兩個(gè)c-序列，且α,β∈P，則{αun+βvn}也是c-序列.

引理 2[7,8](i)若u≤v,v?w，則u?w.

(ii) 若a≤ha，其中a,h∈P且r(h)<1，則a=θ.

(iii) 設(shè)對每一個(gè)c∈intP,θ≤u?c成立，則u=θ.

(iv) 設(shè)c∈intP且un→θ(n→∞)，則存在N使得當(dāng)n>N時(shí)有un?c.

引理 3[13]設(shè)f,g是集合X中的兩個(gè)弱相容自映射，若f,g有唯一的耦合點(diǎn)w=fx=gx，則w是f和g唯一的公共不動(dòng)點(diǎn)(即w=fw=gw).

2 主要結(jié)果

定理1[13]設(shè)(X,d)是賦值Banach代數(shù)的錐b-度量空間，且常數(shù)≥1，P是A中的體錐. 設(shè)映射f,g:X→X，對任意的x,y∈X滿足條件:

d(fx,fy)≥kd(gx,gy)+ld(fx,gy), (1)

證明:設(shè)x0∈X，由g(X)?f(X)，可得序列{gxn}?X：fxn=gxn-1，n=1,2...,從而由(1) 式得

d(gxn,gxn-1)=d(fxn+1,fxn)≥kd(gxn+1,gxn)+ld(fxn+1,gxn)

=kd(gxn+1,gxn)+ld(gxn,gxn)

=kd(gxn+1,gxn)

由于k-1∈P，則有

d(gxn+1,gxn)≤k-1d(gxn,gxn-1).

d(gzn+1,gxn)≤hd(gxn,gxn-1)≤…≤hnd(gx1,gx0).

d(gxn.gxm)≤s[d(gxn,gxn+1)+d(gxn+1,gxm)]

≤sd(gxn,gxn+1)+s2[d(gxn+2,gxn+2)+d(gxn+2,hxm)]

≤sd(gxn,gxn+1)+s2d(gxn+2,gxn+2)+[d(gxn+2,gxn+3)+d(gxn+3,gxm)]

≤sd(gxn,gxn+1)+s2d(gxn+1,gxn+2)+…+sm-nd[(gxm-10,gxm)]

≤(shn+s2hn+1+…+sm-nhm-1)d(gx1,gx0)

≤[e+sh+(sh)2+…+(sh)m-n-1]shnd(gx1,gx0)

=(e-sh)-1shnd(gx0,gx1),

d(u,gxn+1)=d(fv,fxn)≥kd(gv,gxn)+ld(fv,gxn)=kd(gv,gxn)+ld(u,gxn),

而d(u,gxn+1)≤s[d(u,gxn)+d(gxn,gxn+1]，代入上式得

kd(gv,gxn)≤(se-l)d(u,gxn)+sd(gxn,gxn+1).

由se-l,k-1∈P即得

d(gv,gxn)≤k-1(se-l)d(u,gxn)+sk-1d(gxn,gxn+1).

因?yàn)閧d(u,gxn)}和{d(gxn,gxn+1)}都是c-序列，由引理1知{d(gv,gxn)}也是c-序列. 故gxn→gv(n→∞).根據(jù)極限的唯一性知gv=u，即fv=gv=u.

下證耦合點(diǎn)u是唯一的. 假設(shè)fw=gw=r，則有

d(u,r)=d(fv,fw)kd(gv,gw)+ld(fv,gw)≥kd(u,r).

即d(u,r)≤k-1d(u,r)，根據(jù)r(k-1)<1及引理2(ii)得d(u,e)=θ. 因此u=r. 得證.

定理2設(shè)(X,d)是賦值Banach代數(shù)的錐b-度量空間，且常數(shù)s≥1，P是A中的體錐. 設(shè)映射T:X→X是滿射且對任意的x,y∈X滿足條件:

d(fx,fy)≥kd(gx,gy)+ld(gx,fx)+pd(gy,fy), (2)

證明:設(shè)x0∈X，由g(X)?f(X)，可得序列{gxn}?X：fxn=gxn-1,n=1,2...，從而由(1) 式得

d(gxn,gxn-1)=d(fxn+1,fxn)

≥kd(gxn+1,gxn)+ld(fxn+1,gxn)+pd(gxN,fxN)

=kd(gxn+1,gxn)+ld(fxn+1,gxn)+pd(gxn,gxn-1),

則有

(k+l)d(gxn+1,gxn)≤(e-p)d(gxn,gxn-1).

d(gxn+1,gxn)≤hd(gxn,gxn-1)≤...≤hnd(gx1,gx0).

d(gxn,gxm)≤s[d(gxn,gxn+1)+d(gxn+1,gxm)]≤sd(gxn,gxn+1)+s2[d(gxn+1,gxn+2)+d(gxn+2,gxm)]

≤sd(gxn,gxn+1)+s2d(gxn+1,gxn+2)+s3[d(gxn+2,gxn+3)+d(gxn+3,gxm)]

≤sd(gxn,gxn+1)+s2d(gxn+1,gxn+2)+...+sm-nd(gxm-1,gxm)]

≤(shn+s2hn+2+...+sm-nhm-1)d(gx1,gx0)

≤[e+sh+(sh)2+...+(sh)m-n-1]shnd(gx1,gx0)

=(e-sh)-1shnd(gx0,gx1),

由r(h)<1知‖hn‖→0(n→∞)，于是{hn}是c-序列. 根據(jù)引理1得{(e-sh)-1shnd(gx0,gx1)}是c-序列，由引理2(i)知{d(gxm,gxn)}是c-序列，所以由定義3(i)得{gxn}是Cauchy列. 由于f(X)完備，存在u∈f(X)使得，且使得fxn+1=gxn→u(n→∞),且?v∈X，使得fv=u(若g(X)完備，因?yàn)間(X)?f(X)，則上式同樣成立). 下證gv=u. 由(2)式及注2有

d(u,gxn)=d(fx,fxn+1)≥kd(gv,gxn+1+ld(gv,fv)+pd(gxn+1,fxn+1)=kd(gv,gxn+1)+ld(gv,u)+pd(gxn+1,gxn)

而d(u,gxn)≤s[d(u,gxn+1)+d(gxn+1,gxn)]，代入上式得

由se-p,(k+l)-1∈P即得

d(gv,gxn+1)≤s(k+l)-1[(se+l)d(u,gxn+1)+(se-p)d(gxn+1,gxn)].

因?yàn)閧d(u,gxn+1)}和{d(gxn+1,gxn)}都是c-序列，由引理1知{d(gv,gxn+1)}也是c-序列. 故gxn→gv(n→∞)根據(jù)極限的唯一性知gv=u，因此gv=fv=u.

進(jìn)一步，若r(k-1)<1，則可證明耦合點(diǎn)u是唯一的. 假設(shè)fw=gw=r，則有

d(u,r)≤d(fv,fw)≥kd(gv,gw)+ld(gv,fv)+pd(gw,fw)=kd(u,r).

即d(u,r)≤k-1d(u,r)，根據(jù)r(k-1)<1及引理2(ii)得d(u,r)=θ. 因此u=r. 得證.

推論1設(shè)(X,d)是賦值Banach代數(shù)的錐b-度量空間，且常數(shù)s≥1，P是A中的體錐. 設(shè)映射f,g:X→X是滿射且對任意的x,y∈X滿足條件:

d(fx,fy)≥kd(gx,gy),

注3由于本文在賦值Banach代數(shù)的錐b-度量空間得出了不動(dòng)點(diǎn)的唯一性,故定理1,2，推論1改進(jìn)了文獻(xiàn)[11]中的定理2.1，2.2以及推論2.3,定理2改進(jìn)了文獻(xiàn)[14]中的定理2.1. 同時(shí)，定理2和推論1分別推廣了文獻(xiàn)[9]的推論3.11，推論3.10,以及文獻(xiàn)[15]的推論2.1,2.2.

注4由于賦值Banach代數(shù)的錐b-度量空間是不等價(jià)于b-度量空間(見文[3,4])，故本文中的結(jié)論改進(jìn)文獻(xiàn)[17-20]中的結(jié)論.