初中數(shù)學(xué)幾何證明解題規(guī)范

李婧蕊 程曉亮

（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 吉林·四平 136000）

0 引言

幾何學(xué)是世界上最早出現(xiàn)的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，擁有悠久的研究歷史和重要的教育價(jià)值，圖形與幾何是初中數(shù)學(xué)課程中的四大領(lǐng)域之一，幾何證明又是該領(lǐng)域的重點(diǎn)。初中幾何證明在培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)、直觀能力上所起的作用是其他內(nèi)容不可替代的。然而，由于幾何證明的邏輯性強(qiáng)，表達(dá)要求高，導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)面臨困難。因此，為了提高初中生幾何證明題的解題效果，需要給出初中數(shù)學(xué)幾何證明若干解題規(guī)范。

1 初中數(shù)學(xué)幾何證明

1.1 數(shù)學(xué)證明

數(shù)學(xué)意義上的證明涵蓋了兩種截然不同的含義，一種是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖匀徽Z(yǔ)言的表達(dá)式，用來(lái)說(shuō)服他人接受某個(gè)結(jié)論，稱(chēng)之為非形式化證明。證明者所使用的證明語(yǔ)言是這種證明的關(guān)鍵所在，即證明語(yǔ)言本身以及他人對(duì)語(yǔ)言的理解決定了證明的嚴(yán)密性。這種形式的證明經(jīng)常出現(xiàn)在辯論、科學(xué)講座、教育等應(yīng)用型場(chǎng)景。但這并不是數(shù)理邏輯學(xué)家所使用的“正式的” 證明。數(shù)理邏輯學(xué)家所謂的“正式的”證明則是另一種截然不同的證明，稱(chēng)之為形式化證明。與非形式化證明不同的是，形式化證明所使用的并不是自然語(yǔ)言，而是使用形式化的證明語(yǔ)言進(jìn)行表述，證明過(guò)程是一個(gè)有限長(zhǎng)度序列表達(dá)的形式語(yǔ)言。這樣的定義方式使得形式化證明不存在任何邏輯上的歧義?；诖耍覀兡軌虬l(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)證明中無(wú)論是非形式化證明還是形式化證明，重要的都是運(yùn)用規(guī)范的語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)。

1.2 幾何證明的本質(zhì)

幾何證明作為數(shù)學(xué)證明的一個(gè)分支，證明思路與數(shù)學(xué)證明如出一轍，在一個(gè)特定的公理系統(tǒng)中，是由定理和公理為基礎(chǔ)按照一定的規(guī)則得出某些結(jié)論的過(guò)程，其必須運(yùn)用準(zhǔn)確無(wú)誤的形式化語(yǔ)言即幾何語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)。

歐幾里得是幾何證明的源頭，其證明的本質(zhì)，一個(gè)是將定理、公理以及定義作為證明的出發(fā)點(diǎn)；另一個(gè)則是證明的方法,即演繹方法或三段論方法。歐幾里得得出的467 個(gè)定理就是這樣將5 條公理和5 條公設(shè)作為證明的出發(fā)點(diǎn)按照演繹方法進(jìn)行證明。于是，歐氏幾何就這樣形成了被后人稱(chēng)之為公理化體系的一個(gè)系統(tǒng)。我們可以這樣理解，歐氏幾何證明就是以這5 條公理和5 條公設(shè)為證明的出發(fā)點(diǎn)即證明條件。對(duì)歐氏幾何證明的方法，早在古希臘時(shí)期，哲學(xué)家們就對(duì)其有過(guò)辯論，亞里士多德認(rèn)為：“推理是一種論證，其中有些被設(shè)為前提，另外的判斷則必然地由它們發(fā)生。當(dāng)推理由以出發(fā)的前提是真實(shí)的和原始的時(shí)，或者當(dāng)我們對(duì)于它們的最初知識(shí)是來(lái)自于某些原始的和真實(shí)的前提時(shí)，這種推理就是證明?！被诖耍梢园褞缀巫C明理解為一種推理。數(shù)學(xué)意義上的推理主要分為演繹推理和歸納推理。歸納推理的結(jié)果具有不確定性，即這就是波利亞所說(shuō)的“合情推理”，因而需要進(jìn)一步的演繹推理，《美國(guó)數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》將歸納推理稱(chēng)之為非直接證明，將演繹法稱(chēng)為直接證明。在幾何證明中經(jīng)常用到的則是演繹推理。演繹推理是一種由一般到特殊的證明方法，具有順序性和嚴(yán)密性?xún)蓚€(gè)特性。其中，順序性意味著，未被定義的概念和未被證明的命題不能被使用；嚴(yán)密性則是嚴(yán)格按照邏輯、按部就班的進(jìn)行證明，完全沒(méi)有直覺(jué)。這種證明方法能夠保證任何前提推出的結(jié)果都和前提一樣可靠，即前提的真實(shí)性能夠保證結(jié)論的真實(shí)性。這種證明方法成為數(shù)學(xué)證明的主要方法，稱(chēng)之為演繹邏輯。[1]

1.3 初中數(shù)學(xué)幾何證明

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提出義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程要有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力，注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀。[2]幾何證明是初中幾何課程學(xué)習(xí)的重中之重，幾何證明的學(xué)習(xí)對(duì)中學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較困難的，這是由幾何問(wèn)題的層次、活動(dòng)、解法都具有多樣性所決定的。幾何問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型有幾何證明、幾何作圖和幾何應(yīng)用三大部分，而幾何證明是綜合性很高的問(wèn)題解決的過(guò)程。[3]幾何證明在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、認(rèn)識(shí)圖形、把握?qǐng)D形的能力，邏輯推理能力上具有獨(dú)一無(wú)二的作用。初中幾何證明考察的是學(xué)生的邏輯思維能力及幾何語(yǔ)言書(shū)面表達(dá)能力，能夠從已有的事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則進(jìn)行證明并將證明過(guò)程進(jìn)行規(guī)范表達(dá)。從數(shù)學(xué)的視角來(lái)看，初中幾何證明是根據(jù)已知的真命題推出新命題的邏輯推理過(guò)程；從認(rèn)知心理學(xué)的角度來(lái)看，初中幾何證明題是學(xué)生將未被證明的命題與自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已知的命題和概念建立認(rèn)知聯(lián)系，將未被證明的命題進(jìn)行證明。從初中生解題角度來(lái)看，幾何證明是將學(xué)生思維的推理證明過(guò)程書(shū)面化。初中幾何證明既能考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，又能展現(xiàn)學(xué)生的邏輯推理能力及幾何語(yǔ)言的表達(dá)能力。

2 初中數(shù)學(xué)幾何證明規(guī)范解題的重要性

2.1 數(shù)學(xué)中的規(guī)范

漢語(yǔ)詞典分別從名詞意義、動(dòng)詞意義、形容詞意義三個(gè)角度對(duì)“規(guī)范”一詞進(jìn)行解釋。明文規(guī)定或約定俗成的標(biāo)準(zhǔn)是名詞意義上的“規(guī)范”的意思，如：道德規(guī)范、技術(shù)規(guī)范等；動(dòng)詞意義上的“規(guī)范”是指按照既定的標(biāo)準(zhǔn)和要求進(jìn)行操作，使某一行為達(dá)到或超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)，如：規(guī)范管理、規(guī)范操作；形容詞意義上的“規(guī)范”只能用實(shí)例來(lái)詮釋?zhuān)?，企業(yè)的管理很規(guī)范等。[4]

根據(jù)“規(guī)范”一詞的詞義，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點(diǎn)，在初中數(shù)學(xué)中我們可以把“規(guī)范”一詞理解為“標(biāo)準(zhǔn)”的意思。在數(shù)學(xué)中我們對(duì)“標(biāo)準(zhǔn)”一詞并不陌生，例如，為了明確我國(guó)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)、課程基本理念、教學(xué)目標(biāo)等，為了科學(xué)指導(dǎo)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，根據(jù)我國(guó)的教育方針與培養(yǎng)目標(biāo)，教育部頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》。此后，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程的教學(xué)與學(xué)習(xí)就以該標(biāo)準(zhǔn)作為指導(dǎo)。在進(jìn)行數(shù)學(xué)考試時(shí)，為了讓評(píng)卷教師能夠進(jìn)行準(zhǔn)確、客觀地評(píng)分，則會(huì)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、考察目標(biāo)制定合理的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。幾何證明題在初中數(shù)學(xué)中具有重要意義，那么初中數(shù)學(xué)幾何證明解題也就十分重要，為了規(guī)范學(xué)生的幾何證明解題，提高學(xué)習(xí)效率，我們也有必要制定出幾何證明題解題規(guī)范，以此來(lái)指導(dǎo)學(xué)生的解題。

2.2 幾何證明解題

所謂“解題”，中文字典對(duì)其含義是這樣解釋的，即對(duì)所提出的問(wèn)題做出解答。在數(shù)學(xué)中幾何證明的解題就是對(duì)提出的所要證明的結(jié)論進(jìn)行證明，并將證明過(guò)程進(jìn)行書(shū)面表達(dá)。初中數(shù)學(xué)幾何證明題主要包括對(duì)條件、目標(biāo)的分析、證明思路的確定、書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程三個(gè)步驟。而對(duì)條件、目標(biāo)的分析和證明思路的確定是學(xué)生獨(dú)立在頭腦中進(jìn)行思維的過(guò)程，因此呈現(xiàn)出差異性。幾何證明最重要的就是應(yīng)用形式化的語(yǔ)言即幾何語(yǔ)言將證明過(guò)程準(zhǔn)確地進(jìn)行書(shū)寫(xiě)。換句話(huà)說(shuō)，盡管每個(gè)人的思維過(guò)程不同，但是在書(shū)寫(xiě)表達(dá)即解題時(shí)應(yīng)該是統(tǒng)一、規(guī)范的。

2.3 初中數(shù)學(xué)幾何證明規(guī)范解題的重要性

（1）規(guī)范解題是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》思想的有效體現(xiàn)。規(guī)范解題是展現(xiàn)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感的有效載體，課標(biāo)中對(duì)數(shù)感、符號(hào)感這些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心概念提出了明確的學(xué)習(xí)要求，而考察學(xué)生是否達(dá)到這些要求的最有效的方式就是考察學(xué)生的解題是否規(guī)范。同時(shí)，課標(biāo)對(duì)學(xué)生的抽象思維以及邏輯推理能力也都提出了相應(yīng)的培養(yǎng)目標(biāo)，而對(duì)這種基本技能和基本思想掌握情況的考察也只能通過(guò)考察學(xué)生的卷面解題。

（2）規(guī)范解題能夠啟發(fā)學(xué)生思維，提高解題速度。華羅庚教授曾提出在數(shù)學(xué)解題上要做到“想得清楚，說(shuō)得明白，寫(xiě)得干凈”。由于幾何證明題的解題與代數(shù)解題有所不同，學(xué)生沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)的公式進(jìn)行套用，也就沒(méi)有統(tǒng)一的解題步驟進(jìn)行臨摹，因此，學(xué)生對(duì)幾何證明過(guò)程的清楚把握很大程度上是通過(guò)規(guī)范解題來(lái)實(shí)現(xiàn)的。在規(guī)范解題中學(xué)生的證明思路變得清晰、規(guī)范，解題速度就會(huì)有所提高。同時(shí)，幾何證明解題又是學(xué)生運(yùn)用邏輯思維進(jìn)行推導(dǎo)的直觀體現(xiàn)，能夠直觀地反映學(xué)生掌握的空間觀念、邏輯推理能力。只有規(guī)范解題，才能體現(xiàn)思維路徑的清楚，才能做到“言之有理，落筆有據(jù)”。

（3）規(guī)范解題是客觀評(píng)價(jià)知識(shí)水平的重要載體。由于中學(xué)數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?，因此?duì)課標(biāo)中提出的“四基”“四能”的考察只能通過(guò)卷面測(cè)驗(yàn)的形式來(lái)進(jìn)行。基于此，規(guī)范解題是進(jìn)行客觀考核、評(píng)價(jià)、反饋知識(shí)水平的前提，只有規(guī)范解題才能把學(xué)生真實(shí)的知識(shí)水平、技能掌握水平顯現(xiàn)出來(lái)，才能對(duì)學(xué)生的知識(shí)水平進(jìn)行客觀地評(píng)價(jià)。

3 初中數(shù)學(xué)幾何證明解題規(guī)范

3.1 初中數(shù)學(xué)幾何證明題的考察要求

一般地，幾何證明的考察要求包括：能夠通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)初步得出幾何結(jié)論，進(jìn)一步尋求證據(jù)，給出證明或者舉出反例；能夠條理清晰地表達(dá)推理證明過(guò)程，言之成理，落筆有據(jù)；與他人進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的時(shí)候，能夠準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言合乎邏輯地進(jìn)行討論。[5]

3.2 初中數(shù)學(xué)幾何證明解題規(guī)范

根據(jù)幾何證明的本質(zhì)以及考察要求，初中數(shù)學(xué)幾何證明解題規(guī)范主要涉及以下幾個(gè)方面。

（1）幾何定理、公理使用規(guī)范。幾何定理、公理是進(jìn)行幾何證明的出發(fā)點(diǎn)，是正確進(jìn)行證明的前提和理論依據(jù)，也是幾何證明題規(guī)范解題的基礎(chǔ)。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教科書(shū)會(huì)向?qū)W生提供一系列已經(jīng)證實(shí)其準(zhǔn)確性的幾何定理、公理并將其使用規(guī)范也一并進(jìn)行說(shuō)明、示范，因此初中生在進(jìn)行幾何證明解題時(shí)首先要保證的就是這些幾何定理、公理的使用是規(guī)范的。例如，書(shū)中給出的“邊角邊（SAS）定理”，對(duì)于這個(gè)定理的使用，書(shū)中已經(jīng)明確給出使用規(guī)范，即按照一組對(duì)應(yīng)邊相等、兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等、另一組對(duì)應(yīng)邊相等的順序進(jìn)行證明。這就要求我們?cè)谑褂眠@個(gè)定理進(jìn)行兩個(gè)三角形全等的證明時(shí)，對(duì)于該定理的使用要按照給出的規(guī)范進(jìn)行。在進(jìn)行幾何證明題解題時(shí)，只有幾何定理、公理使用規(guī)范才能確保下一步證明的準(zhǔn)確性。

（2）證明邏輯要規(guī)范。幾何證明用到的主要是演繹推理，其邏輯是演繹邏輯。進(jìn)行幾何證明解題時(shí)就要嚴(yán)格遵守演繹邏輯的兩個(gè)基本特性：順序性和嚴(yán)密性。順序性要求我們?cè)趲缀巫C明題解題時(shí)要按照由已知推導(dǎo)未知的邏輯順序進(jìn)行證明，嚴(yán)格按照“因?yàn)椤浴钡倪壿嬯P(guān)系，不能出現(xiàn)循環(huán)論證，因果不符；嚴(yán)密性則是要求在幾何證明解題時(shí)要按照邏輯，一步一步進(jìn)行證明，每一個(gè)結(jié)論的得出都要有準(zhǔn)確的公理、定理作為依據(jù)，合理的證明作為支撐，不能憑空得出結(jié)論，公理、定理的使用也要有理有據(jù)。只有這樣，證明中才不會(huì)出現(xiàn)循環(huán)論證，前因后果不搭配，邏輯混亂不清的情況，才能確保幾何證明的邏輯是規(guī)范的。

（3）幾何語(yǔ)言使用規(guī)范。語(yǔ)言是思維的主要工具，學(xué)生思維的發(fā)展和他們語(yǔ)言的發(fā)展分不開(kāi)。對(duì)于數(shù)學(xué)證明，最重要的是運(yùn)用規(guī)范的證明語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)。同樣的，對(duì)于幾何證明最重要的也是證明過(guò)程的表達(dá)，而幾何證明的表達(dá)則是應(yīng)用幾何語(yǔ)言。初中數(shù)學(xué)幾何證明解題規(guī)范在本質(zhì)上就是要表達(dá)規(guī)范即幾何語(yǔ)言使用規(guī)范。幾何語(yǔ)言是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的一個(gè)分支，按照其語(yǔ)言特征，我們把幾何語(yǔ)言分為以下三種形式：幾何文字語(yǔ)言，幾何符號(hào)語(yǔ)言、幾何圖形語(yǔ)言。[6]

幾何文字語(yǔ)言是指運(yùn)用文字來(lái)描述幾何對(duì)象之間的空間形式和數(shù)量關(guān)系，如幾何定理、公理的表述。其優(yōu)點(diǎn)是便于理解，缺點(diǎn)是語(yǔ)言不夠簡(jiǎn)潔且不利于證明和推理。例如，用文字語(yǔ)言敘述平行線(xiàn)的一個(gè)判定定理“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行”。這樣的文字表達(dá)學(xué)生能夠容易理解，但在證明過(guò)程中并不運(yùn)用它的文字語(yǔ)言進(jìn)行證明，更多的是運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行證明；幾何符號(hào)語(yǔ)言就是人們常說(shuō)的幾何符號(hào)。例如“//”“⊥”“△”,這些常見(jiàn)的幾何符號(hào)在幾何學(xué)中都有特定的含義。符號(hào)語(yǔ)言具有準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)潔性的優(yōu)點(diǎn)；幾何圖形語(yǔ)言是指幾何中的圖形，優(yōu)點(diǎn)是直觀、形象，缺點(diǎn)是不易描述。幾何證明的解題過(guò)程常常是這三種語(yǔ)言的有機(jī)融合，幾何語(yǔ)言使用規(guī)范實(shí)質(zhì)包括這三種語(yǔ)言的規(guī)范使用。

①幾何文字語(yǔ)言使用規(guī)范。雖然，幾何證明的解題過(guò)程用幾何符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)，但這并不代表在幾何證明解題時(shí)不需要文字語(yǔ)言。在幾何證明解題中，經(jīng)常會(huì)遇到現(xiàn)有的圖形條件無(wú)法滿(mǎn)足證明的情況，此時(shí)，我們要根據(jù)情況添加輔助線(xiàn)，對(duì)于輔助線(xiàn)的添加，除了要在圖形中描繪出輔助線(xiàn)，同時(shí)還要將添加輔助線(xiàn)的方法用規(guī)范的文字語(yǔ)言進(jìn)行表述，例如經(jīng)常使用的添加輔助線(xiàn)詞語(yǔ)，如“連接…”，“延長(zhǎng)…到…使得…”，“作…與…平行”“過(guò)…作…與…垂直，垂足為…”諸如此類(lèi)描述輔助線(xiàn)畫(huà)法的文字語(yǔ)言在初中數(shù)學(xué)幾何證明解題中要根據(jù)實(shí)際情況使用規(guī)范。

②幾何符號(hào)語(yǔ)言使用規(guī)范。無(wú)論是幾何定理、公理的使用，還是“因?yàn)椤浴钡倪壿嬯P(guān)系，都離不開(kāi)幾何符號(hào)語(yǔ)言。為了規(guī)范大家的幾何符號(hào)語(yǔ)言，教科書(shū)中給出的幾何概念、幾何位置關(guān)系及幾何公理、定理，都用明確的符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行了示范，例如用符號(hào)“”來(lái)表示三角形，用符號(hào)“⊥”來(lái)表示垂直的位置關(guān)系。除此之外，幾何證明中最常見(jiàn)的“因?yàn)椤薄八浴币梅?hào)“∵”“∴”來(lái)表示，正確地使用“∵”“∴”是幾何證明解題規(guī)范的關(guān)鍵。一般來(lái)說(shuō)，由一個(gè)條件得出一個(gè)結(jié)論時(shí)，只需進(jìn)行簡(jiǎn)單的“∵”“∴”的交替使用，但是當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)條件并列陳述、前面已經(jīng)陳述過(guò)的條件或者需要連續(xù)使用“∴”時(shí)，這兩個(gè)符號(hào)的使用也有規(guī)范，多個(gè)條件并列陳述時(shí)只需使用一個(gè)“∵”，其余的可以連續(xù)寫(xiě)上條件或者用文字“且”進(jìn)行連接；前面已經(jīng)陳述過(guò)的條件一般無(wú)需重復(fù)陳述；連續(xù)使用“∴”則是表示前面已經(jīng)獲得的結(jié)論作為下一個(gè)結(jié)論的條件。在幾何證明解題中要嚴(yán)格按照教科書(shū)中給出的幾何符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)。

③幾何圖形語(yǔ)言使用規(guī)范。添加輔助線(xiàn)時(shí)既要用規(guī)范的文字語(yǔ)言將輔助線(xiàn)的畫(huà)法表達(dá)出來(lái)，又要將輔助線(xiàn)在圖形中畫(huà)出來(lái)，即幾何圖形語(yǔ)言。幾何圖形語(yǔ)言是對(duì)幾何文字語(yǔ)言和幾何符號(hào)語(yǔ)言的補(bǔ)充，為幾何證明提供了直觀載體。幾何圖形語(yǔ)言在幾何證明中起著開(kāi)拓證明思路的作用，規(guī)范的幾何圖形語(yǔ)言才能使證明思路清晰明了。對(duì)于輔助線(xiàn)的畫(huà)法教科書(shū)給出了一定的規(guī)范，例如，為了區(qū)別輔助線(xiàn)與原圖形，輔助線(xiàn)要用虛線(xiàn)進(jìn)行描繪、在作垂線(xiàn)或者高線(xiàn)時(shí)要在垂足的位置標(biāo)出直角符號(hào)、對(duì)于原圖中沒(méi)有標(biāo)記字母的點(diǎn)要標(biāo)記字母。這些雖然都是看似不起眼的地方，但是決定了幾何圖形語(yǔ)言是否規(guī)范。