借助數(shù)學(xué)模型引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)知識體系

【摘要】本文以《小數(shù)的初步認(rèn)識》教學(xué)為例，論述借助數(shù)學(xué)模型引領(lǐng)小學(xué)生構(gòu)建知識體系的途徑，提出運用計數(shù)器構(gòu)建十進制模型、通過不同圖形表征強化學(xué)生對概念本質(zhì)的理解、借助數(shù)軸模型拓展數(shù)系結(jié)構(gòu)等教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型 《小數(shù)的初步認(rèn)識》 小學(xué)數(shù)學(xué)

知識體系

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）41-0106-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程，就是不斷地抽象、概括、模式化，并在此過程中建立數(shù)學(xué)模型的過程。教師在教學(xué)中將抽象的數(shù)學(xué)概念與直觀的數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，揭示概念體系的知識框架，能幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，讓概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)化。那么，如何用模型理論來指導(dǎo)教學(xué)實踐呢？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐，分享在《小數(shù)的初步認(rèn)識》教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念不斷形成和擴張的過程，借助直觀、半直觀的模型，使學(xué)生建構(gòu)比較清晰的小數(shù)概念、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方法。

一、聚焦計數(shù)器，建構(gòu)十進制模型

小數(shù)是怎么產(chǎn)生的？鞏子坤教授曾在文中提出：“《九章算術(shù)》里面用的都是分?jǐn)?shù)，沒有出現(xiàn)小數(shù)。人類的測量活動，最早產(chǎn)生的也是分?jǐn)?shù)、無理數(shù)，而不是小數(shù)。小數(shù)的出現(xiàn)，要比分?jǐn)?shù)晚得多。小數(shù)可以說是人類按照自然數(shù)的十進制計數(shù)原則創(chuàng)造出來的數(shù)，它具有十進制自然數(shù)的所有特征，也滿足十進制自然數(shù)的運算法則，因而用起來十分方便。”計數(shù)器作為小數(shù)“滿十進一”的進制模型，能較好地體現(xiàn)小數(shù)和整數(shù)的聯(lián)系，其中小數(shù)和整數(shù)的本質(zhì)一樣，滿十進一，退一當(dāng)十。筆者嘗試?yán)糜嫈?shù)器研究小數(shù)，從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)到小數(shù)的產(chǎn)生與形成過程，溝通小數(shù)和十進分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。

【教學(xué)片段1】

師：你們會在計數(shù)器上表示53嗎？請在練習(xí)紙的計數(shù)器上畫一畫。

生1：我在十位畫了5個珠子，個位畫了3個珠子。

師：5和3分別表示什么？

生1：5表示5個十，3表示3個一。

師：對，不同的計數(shù)單位是有它自己的位置的，個位上的珠子表示幾個一，十位上的珠子表示幾個十，百位上的珠子表示幾個百。

師：1.2是我們今天新認(rèn)識的數(shù)，1.2元表示什么呢？你能在這個計數(shù)器上表示1.2嗎？請大家動手畫一畫。

（學(xué)生動手操作，全班反饋）

師：誰來給大家介紹一下，你是怎么表示的？

生2：我在個位畫了一個珠子，在個位的右邊畫了兩個珠子，表示1.2元。

師：為什么這么畫呢？

生2：個位的1個珠子表示1元，還有這個2沒有地方放，我就放在了個位的右邊。

師：你們有疑問嗎？

生3：為什么要放在個位的右邊，而不是放在左邊呢？

生2：個位的左邊是十位、百位，不能放了呀。

生4：1元已經(jīng)在個位表示了，還剩0.2元，0.2元就是2角，比1元小，不能放在個位的左邊，個位的左邊是越來越大的計數(shù)單位。

生5：0.2元比1元小，原有的個位、十位、百位等這些位置是不可以用的，就需要找一個新的位置。

生6：這個位置要在個位的右邊，才能表示比1元小的錢數(shù)。

生7：在這個位置上1顆珠子表示0.1元，2顆珠子就表示0.2元。

師：這個新的位置與個位有什么關(guān)系呢？

生8：個位的1表示1元，0.2元就表示2角，1元=10角，就是把1元平均分成10份，1份就是0.1元。

師：把1元平均分成10份，這樣的1份是[110]元，就是0.1元。如果我在這個位置上再添1顆珠子，是多少？

生9：0.3。

師：繼續(xù)，再添1顆，是多少？一直繼續(xù)添……發(fā)現(xiàn)了嗎？2個0.1是0.2，3個0.1是0.3……10個0.1就是1。

生10：也就是滿十進一。

師：個位滿十，向十位進一;十位滿十，向百位進一;百位滿十，向千位進一……看來小數(shù)部分跟我們原來的整數(shù)部分一樣，也是滿十進一的?，F(xiàn)在我們反過來，從千位往下看。

生11：從千位往下，到百位，是退一作十;從百位往下，到十位，是退一作十;從十位往下，到個位，是退一作十;從個位往下，還是退一作十。

師：從個位退一作十，就是把1再平均分成十份，所以這個數(shù)位就是十分位。十分位上的每個珠子表示0.1。

師：通過研究，你們發(fā)現(xiàn)這個新位置與之前的數(shù)位有什么關(guān)系了嗎？

生12：我發(fā)現(xiàn)在計數(shù)器上，越往左表示的數(shù)就越大，越往右表示的數(shù)就越小。

生13：而且相鄰兩個數(shù)位之間都是十進關(guān)系。

生14：十分位與個位之間還應(yīng)該有一個小數(shù)點。

師：對，小數(shù)是由“1”進一步細(xì)分得到的。小數(shù)點把數(shù)位順序表分成兩部分，小數(shù)點左邊是整數(shù)部分，小數(shù)點右邊是小數(shù)部分。

以上教學(xué)環(huán)節(jié)，借助計數(shù)器表示小數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程。學(xué)生通過創(chuàng)造、思考、推理、合作、交流，發(fā)現(xiàn)原有的位置已經(jīng)不夠用了，就需要有一個新的位置，而且這個位置要在個位的右邊，表示比1元更小的錢數(shù)。在尋找這個新位置的過程中，學(xué)生借助原有的人民幣的知識經(jīng)驗，在不斷地探索、對比中認(rèn)識到，小數(shù)是由“1”進一步細(xì)分得到的，相鄰計數(shù)單位間的進率也是十。接著，順向觀察和逆向觀察計數(shù)器，發(fā)現(xiàn)小數(shù)和整數(shù)一樣，從低到高也是“十進”的，從高到低也是“十分”的。學(xué)生回顧學(xué)習(xí)的過程，發(fā)現(xiàn)認(rèn)識整數(shù)時，是從“1”開始一個一個地往大數(shù);認(rèn)識小數(shù)，也是從1開始，往小分，從而直觀體會整數(shù)與小數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，即小數(shù)也適用十進制計數(shù)法。

二、不同圖形表征，強化對概念本質(zhì)的理解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果?！睂W(xué)生能夠憑借圖形的直觀性，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機地結(jié)合起來，直觀地理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。借助“幾何直觀”，引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)十進分?jǐn)?shù)與一位小數(shù)的聯(lián)系是認(rèn)識一位小數(shù)的關(guān)鍵。在課堂教學(xué)中，教師要盡可能多地提供不同的圖形給學(xué)生觀察、比較、分析和概括，用豐富的模型去揭示概念的本質(zhì)屬性以及外延，幫助學(xué)生掌握多維度的小數(shù)的概念。

【教學(xué)片段2】

師：看，老師將計數(shù)器變換了方向，由豎著擺放變成水平擺放，再變成一個長方形。這個長方形表示1元，你還能找到0.2元、0.5元嗎？

生1：只要是其中的任意兩份都可以表示0.2元，5份就表示0.5元。

師：為什么呢？

生1：因為每份是1角，2份就是2角，2角就是0.2元。

生2：1元等于10角，把1元平均分成10份，每份就是[110]元，也就是0.1元。

師：用式子表示就是，1角=0.1元。

生3：2份就是0.2元，5份就是0.5元。

師：除了0.2、0.5，你們還能找到其他的小數(shù)嗎？

（學(xué)生在圖中尋找其他的小數(shù)）

師：看，長方形里的圖形繼續(xù)發(fā)生了變化，變成了我們常見的米尺。如果這個長方形表示1米的長度，那么這里的1格又表示多少呢？

生4：1米等于10分米，把1米平均分成10份，每份就是[110]米，表示1分米。

生5：把1米平均分成10份，每份就是[110]米，也就是0.1米，1分米就是0.1米。

師：我們可以用一個式子來表示，1分米=0.1米。2格、3格呢？

生6：有幾格就是零點幾米，也就是幾分米。

師：長方形繼續(xù)變化。現(xiàn)在它表示1，你們能找到其中的小數(shù)嗎？

生7：把1平均分成10份，每份就是[110]，也就是0.1，幾份就是零點幾。

師：如果長方形變成一條線段，這條線段表示1，你還能找到小數(shù)嗎，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：[110]就是0.1……十分之幾就是零點幾。

師：仔細(xì)觀察，圖形不同，表示的單位不同，有什么相同的嗎？

生9：相同的地方是，都是把1平均分成10份，其中的幾份就是十分之幾，也就是零點幾。

師：對啊，用什么單位并不重要，關(guān)鍵在于我們是否把1平均分成10份，這樣才能用小數(shù)表示其中的若干份。

以上環(huán)節(jié)，教師將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的直觀模型結(jié)合，先將計數(shù)器放倒，變成隱藏有人民幣模型的長方形，再由人民幣模型變化到米尺模型，然后抽象到長方形、線段圖等，讓學(xué)生在多種圖形中找小數(shù)，并結(jié)合直觀圖形表達小數(shù)的意義，逐步抽象。在此過程中，學(xué)生感受到變化的是計量單位，不變的是十進制度量衡，學(xué)生對小數(shù)的理解由具體的量上升到抽象的數(shù)，溝通了小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系，抽象小數(shù)概念的本質(zhì)。學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，對概念的理解由具體慢慢過渡到比較理性的認(rèn)知階段，經(jīng)歷了從直觀數(shù)學(xué)模型到抽象數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。

三、借助數(shù)軸模型，拓展數(shù)系結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展有兩個途徑，第一個是抽象，從生活中提煉而來，第二個是推理。抽象產(chǎn)生了數(shù)學(xué)，推理發(fā)展了數(shù)學(xué)。兩位小數(shù)可以在一位小數(shù)的認(rèn)識的基礎(chǔ)上，根據(jù)前面的經(jīng)驗自然而然地推理出來。數(shù)軸是一種介于直觀和抽象之間，又非常具有結(jié)構(gòu)化功能的優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)模型。教師可以創(chuàng)設(shè)在數(shù)軸上表示小數(shù)的活動，讓學(xué)生感受小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。

【教學(xué)片段3】

師：我們在線段圖上找到了0.2、0.5，那么1.2、6.4、3.58又該怎么表示呢？

生1：在這條線段中找不到這些小數(shù)，線段中的小數(shù)都是零點幾的。

生2：1.2是由數(shù)字1和0.2組成的，比1大?？梢匝娱L這條線段。

（教師延長線段的長度）

師：線段往箭頭方向延長，我們就可以表示更多的數(shù)，這樣就得到了數(shù)軸?，F(xiàn)在能找到1.2了嗎？

生3：1.2就是在1和2之間。

生4：把1和2之間的線段平均分成10份，第二份對應(yīng)的就是1.2。

生5：1.2比1多了0.2。

師：6.4可能在哪兩個數(shù)之間？

生6：6.4比6大，比7小，應(yīng)該在6和7之間。

生7：把6和7之間的線段平均分成10分，從6數(shù)過去4份，就是6.4。

師：在數(shù)軸上你還能找到其他的小數(shù)嗎？

（學(xué)生小組互相交流）

師：我們在數(shù)軸上找到了這么多的小數(shù)，按從左往右的順序讀一讀，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：數(shù)軸上的數(shù)越往右越大;反之，越往左數(shù)就越小。

生9：每兩個相鄰的整數(shù)之間都有很多小數(shù)。

生10：小數(shù)都有順序地排在相鄰的兩個整數(shù)之間。

生11：在0和1之間的小數(shù)都是零點幾，在1和2之間的小數(shù)都是一點幾，在2和3之間的小數(shù)都是二點幾。

師：對，數(shù)軸上任意兩個相鄰整數(shù)之間的一段都可以平均分成10份，其中的每一個點都表示1個小數(shù)。小數(shù)與整數(shù)密密麻麻地排列在數(shù)軸上，無論小數(shù)還是整數(shù)，在數(shù)軸上都是越往右，這個數(shù)就越大。

師：最后，我們來挑戰(zhàn)一下，你能不能在數(shù)軸上找到3.58？

生12：3.58應(yīng)該在3.5和3.6之間。

生13：3.58元就是3元5角8分，1元等于10角，1角等于10分，我們只要把1角再平均分成10份，其中的8份就是8分。

生14：把3.5和3.6之間這一段再平均分成10份，3.5之后再數(shù)8小格，就是3.58。

師：你們太厲害了！3.5和3.6之間還可以平均分，其中的每一個點也表示某一個小數(shù)，就是兩位小數(shù)。

學(xué)習(xí)小數(shù)之前，在學(xué)生的認(rèn)知中，數(shù)軸上任意兩個自然數(shù)之間的自然數(shù)個數(shù)是有限的;認(rèn)識小數(shù)以后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在數(shù)軸上任意兩個數(shù)之間還有很多很多數(shù)，這就是數(shù)結(jié)構(gòu)的一種拓展。以上教學(xué)片段中，教師引導(dǎo)學(xué)生先去尋找1.2，學(xué)生在數(shù)軸上繼續(xù)平均分1和2之間的線段找到1.2，對小數(shù)的認(rèn)識從純小數(shù)向帶小數(shù)擴展;然后尋找6.4，在此過程中學(xué)生發(fā)現(xiàn)無論小數(shù)還是整數(shù)，在數(shù)軸上都是越往右，數(shù)就越大，學(xué)生在類比中不斷完善數(shù)系結(jié)構(gòu);最后讓學(xué)生尋找3.58，因為小數(shù)也是十進制數(shù)，學(xué)生再次借助人民幣的經(jīng)驗，自主探索出3.5和3.6之間還可以平均分，其中的每一個點也表示某一個兩位小數(shù)。教師對靜態(tài)的線段進行設(shè)計，把數(shù)的分類、數(shù)的大小、數(shù)的范圍、數(shù)的無窮性等知識都滲透到動態(tài)的數(shù)軸中，學(xué)生對數(shù)軸上“點”的理解更深刻、更到位的同時，將小數(shù)納入數(shù)系中，拓展了認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一個重要的內(nèi)容。教師在課堂教學(xué)中要從長遠(yuǎn)的角度設(shè)計教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念不斷形成和擴張的過程，讓學(xué)生能夠借助數(shù)學(xué)模型深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)概念知識的基本結(jié)構(gòu)，構(gòu)建知識體系，更好地發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

作者簡介：鄧星華（1977— ），女，瑤族，廣西賀州人，一級教師，研究方向為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 劉小瑗）