深入挖掘 發(fā)展思維 提升素養(yǎng)

盧培 孔偉偉 郝四柱

摘要：尺規(guī)作圖是初中平面知識的重要內(nèi)容，近年來用“無刻度直尺”作圖也是中考的熱門考點.本文研究了用“無刻度”直尺作圖問題，過圓內(nèi)接正多邊形頂點如何僅用直尺作圓的切線？通過構造中點，實現(xiàn)轉化作平行四邊形，獲得了一個通解通法作法.

關鍵詞：圓的內(nèi)接正多邊形、切線、作圖.

最近我們在《等弧問題再探究》公開課的磨課過程中提出：能否僅用無刻度直尺過圓內(nèi)接正八邊形的頂點作圓的切線？研究發(fā)現(xiàn)僅用直尺可以作出它的切線;進一步思考發(fā)現(xiàn)過所有的正n邊形的頂點都可以用直尺作出它的外接圓的切線.現(xiàn)把想法寫出來，與大家共享.1 提出問題，探究證明

問題 僅用無刻度直尺過正八邊形頂點作它的外接圓切線，并證明.

作圖方法1：（如圖1）

①連接GB并延長交DC延長線于M;

②連接AM，直線AM即為所求.

證明 由正八邊形知每一個內(nèi)角為135°，易得∠BCM=45°，

在四邊形AHGB中可得∠ABG=45°，所以∠CBG=90°.

易證△BCM為等腰直角三角形，可得AB=BC=BM，即∠BAM=∠BMA=22.5°.

連接AO，BO，得∠AOB=45°，易證∠OAB=67.5°，∠OAM=90°，

即OA⊥AM，故直線AM為⊙O的切線.

作法分析：在此作法中，學生采用假設法，假設切線的位置，通過圖形的特殊性分析得到∠MAB=22.5°，即構造等腰△ABM，M點即為直線BG，CD的交點.

在此作法的基礎上，有同學提出證明切線可以通過導角，也可以通過位置關系，由正八邊形的對

稱性可得OA⊥BH，那能否通過構造過點A且與BH平行的直線呢？在此學生想法的基礎上，通過構造中點，證明平行四邊形從而得到切線.

作圖方法2：（如圖2）

①延長BA，GH交于點I，連接OI交AH于點J;

②連接CH，BJ，并延長交于點K;

③連接KA，直線KA即為所求.

證明 連接OA，BH，由正八邊形的對稱性易證：OA⊥BH，AB∥CH，AJ=HJ.

由平行易得∠1=∠2，又∠3=∠4且AJ=HJ，易證△HJK≌△AJB（ASA），

即KH=AB且KH∥AB，易證四邊形ABHK是平行四邊形.

又OA⊥BH，所以OA⊥AK，故直線AK為⊙O的切線.

反思 圓內(nèi)接正八邊形可以利用其對稱性采用方法2僅用直尺作出切線，而所有的圓內(nèi)接正多邊形均是軸對稱圖形，那么其它正n邊形是否也能用第二種方法作出切線？下面將繼續(xù)研究圓內(nèi)接正n邊形作切線的方法.2 深入探究，方法歸一

由于正六邊形的角度具有一定的特殊性，下面將先研究過圓內(nèi)接正六邊形頂點作切線的作法.

2.1 過圓內(nèi)接正六邊形頂點作切線

作圖方法：（如圖3）

①延長EF，BA交于點G，連OG交AF于點H;

②連接CF，BH并延長交于點I;

③連接AI，直線AI即為所求.

證明 連接OA，BF，由正六邊形的軸對稱性易得：OA⊥BF，AB∥CF，AH=HF.

證明方法同正八邊形作圖方法2得：四邊形ABFI是平行四邊形，

易證直線AI為⊙O的切線.

反思 正六邊形與正八邊形均是正偶數(shù)邊形，完全可采取圓內(nèi)接正八邊形過頂點作切線的方法.有同學提出，正奇數(shù)邊多邊形也具有對稱性，是否也能采取類似的方法？

下面研究圓內(nèi)接正五邊形和正七邊形過頂點作切線的作圖方法與證明.

2.2 過圓內(nèi)接正五邊形頂點作切線

作圖方法：（如圖4）

①延長DE，BA交于點G，連接OG交AE與點F;

②連接CE，BF并延長交于點H;

③連接HA，直線HA即為所求.

證明 連接OA，BE，由正五邊形的軸對稱性可得：OA⊥BE，AF=EF，AB∥CE.

證明方法同正八邊形作圖方法2得：四邊形ABEH是平行四邊形，

易證直線AH為⊙O的切線.

2.3 過圓內(nèi)接正七邊形頂點作切線

作圖方法：（如圖5）

①延長BA，F(xiàn)G交于點I，連接OI交AG于點H;

②連接BH，CG，并延長交于點J;

③連接JA，直線JA即為所求.

證明 連接OA，BG，由正七邊形的對稱性易證：OA⊥BG，AB∥CG，AH=GH.

證明方法同正八邊形作圖方法2得：四邊形ABGJ是平行四邊形.

易證直線AJ為⊙O的切線.

反思 通過探究發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接正五邊形和正七邊形也能通過這種方法得到切線，猜想所有的圓內(nèi)接正多邊形均可以通過此方法獲得圓的切線.在學生的不斷嘗試下，發(fā)現(xiàn)作圓內(nèi)接正方形邊的中點較復雜，而圓內(nèi)接正三角形則可以轉化為圓內(nèi)接正六邊形.下面將呈現(xiàn)這兩種正多邊形的特殊作法：

2.4 過圓內(nèi)接等邊三角形頂點作切線

作圖方法：（如圖6）

由于正六邊形頂點間隔相連即可得等邊三角形，那么過圓內(nèi)接等邊三角形

頂點作切線，只需將等邊△ABC轉化成圖6所示的正六邊形即可.

2.5 過圓內(nèi)接正方形頂點作切線

這里的作法不同于上述的方法，并不是利用對稱性得到AB邊的中點，而是利用相似得到AB邊的中點.

作圖方法：（如圖7）

①在⊙O外任取一點E，連接AE，BE分別交CD于點F，G;

②連接AG，BF交于點I;

③連接EI并延長交AB于點J;

④連接DJ交CB延長線于K;

⑤連接AK，直線AK即為所求.

證明 因為CD∥AB，所以△EFH∽△EAJ，△EHG∽△EJB，

所以FHAJ=EHEJ，HGBJ=EHEJ，所以FHAJ=GHBJ.

同理：△FHI∽△BJI，△GHI∽△AJI得：FHBJ=GHAJ，所以AJ=BJ，即J為AB中點.

易證四邊形AKBD為平行四邊形，從而得到直線AK為切線.

反思 正五邊形的作法與上述略有不同，但找到一邊中點后，仍然可以轉化為證平行四邊形得切線，由于正八邊形的頂點隔點相連就可以變成正方形，所以正方形也可以轉化為圓內(nèi)接正八邊形研究.

除了上述過圓內(nèi)接正多邊形頂點作切線的方法，猜想所有的正n邊形（n≥5），均可采用正八邊形的第二種方法得到切線，下面將給出作圖方法.

2.6 過圓內(nèi)接正n邊形（n≥5）頂點作切線

構圖：（以頂點A為例，只需要用到點A兩側的四條邊，如圖8）

①延長B′A′，BA交于點K，連接OK交AA′于點M，M即為AA′中點;

②連接BM，CA′（與AB平行），并延長交于點N;

③連接NA，直線NA即為所求.

證明 參考正八邊形作圖方法2的證法.

通過上述作法探究得到了過圓內(nèi)接正n邊形（n≥5）頂點作切線的通解通法，而且所有的正奇數(shù)邊形均可以轉化成正偶數(shù)邊形來作圖.

3 回顧反思，感悟提升

3.1 直尺的作用

尺規(guī)作圖是常用的作圖方法.圓規(guī)的作用是畫任意圓（或?。?、截取任意長度，而“無刻度直尺”功能卻只能用來連線.對于僅用直尺作圖的問題，無刻度直尺作圖解題步驟與尺規(guī)作圖的思維方法一樣：通過畫假想圖、分析、確定構圖方法、完成構圖.

羅增儒教授講過：“沒有理解的操作是傻練，越練越傻;沒有操作的理解是空想，越想越空.”在教學中，找到切線之前，需要學生首先通過想象切線的大致位置，利用邏輯推理判斷出切線與正多邊形相關線段的位置關系，建構基本幾何模型.

3.2 切線作法的有趣嘗試

圓的切線問題是一個熱門話題，過圓外一點作切線和過圓上一點作切線深受每一位老師關注.僅用直尺能夠解決一些特殊圖形的作圖問題.本文中過正多邊形的頂點作外接圓的切線問題是作圖大家庭中一個有趣的問題.

3.3 感悟數(shù)學思想，提升學生核心素養(yǎng)

化歸思想是數(shù)學的靈魂，能夠完成從未知到已知、由繁到簡、由難到易的轉化.筆者發(fā)現(xiàn)直接作過圓內(nèi)接等邊三角形、正方形頂點的切線作法相對復雜，但是它們卻可以轉化為圓內(nèi)接正六邊形和圓內(nèi)接正八邊形研究，大大降低了難度.總之，

僅用無刻度的直尺作圖，可以更好地體現(xiàn)出學生對于幾何相關知識的綜合運用能力，通過自己的實踐操作，達到最終目的.在問題解決的過程中，提升學生的空間觀念、幾何想象、推理能力，發(fā)展直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng).