在估算的過程中培養(yǎng)和提高估算能力

李樹臣 張開民

【摘 要】 數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心構(gòu)成要素，加強(qiáng)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)至關(guān)重要.估算能力是數(shù)學(xué)能力不可或缺的重要組成成分.數(shù)學(xué)估算能力是在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識解決問題的過程中形成、發(fā)展和提高的，離開“過程”無法培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，這些過程主要指掌握知識的過程、形成能力的過程和問題解決的過程.

【關(guān)鍵詞】 估算能力;數(shù)學(xué)概念;方程解法;問題解決

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）指出“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)”[1].數(shù)學(xué)教學(xué)必須立足和落腳于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要舉措.

估算的意思是大致推算，近義詞是預(yù)算、估計等，估算是一種能力，是計算能力的重要組成部分.《課標(biāo)（2011年版）》）非常重視對學(xué)生“估算”能力的培養(yǎng)，共提及“估算”13次，“估計”61次.估算意識的形成、估算能力的培養(yǎng)和發(fā)展都離不開“過程”，這里的過程可概括為下面三個.1 掌握數(shù)學(xué)知識的過程

《課標(biāo)（2011年版）》界定的“課程內(nèi)容”，主要包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)論證，我們不妨把這些內(nèi)容統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)知識”，教材對這些知識的設(shè)計展現(xiàn)了“知識背景—知識形成—揭示聯(lián)系”[1]的過程，教學(xué)中也要努力體現(xiàn)這個過程，這樣有助于學(xué)生理解知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，揭示出知識之間的相互聯(lián)系，從而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)[2].

數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式[3].數(shù)學(xué)概念是重要的基礎(chǔ)知識，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，學(xué)生對概念的掌握情況直接影響著學(xué)習(xí)的效果.

初中數(shù)學(xué)教材中的很多概念都有其產(chǎn)生的過程，教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，以此引導(dǎo)學(xué)生在探索活動的過程中學(xué)習(xí)概念，學(xué)生在經(jīng)歷這些過程當(dāng)中，有時需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹肮浪恪?，從這個意義上講，“估算”有助于數(shù)學(xué)概念的建立.

案例1 無理數(shù)概念的建立過程.

無理數(shù)的引進(jìn)是學(xué)習(xí)實數(shù)的關(guān)鍵，學(xué)生往往有這樣的疑問：既然“無理”，為什么還叫“數(shù)”呢？為了讓學(xué)生接受這個數(shù)，首先應(yīng)設(shè)法讓學(xué)生感到這個數(shù)是客觀存在的，同時意識到它是無限的.根據(jù)《課標(biāo)（2011年版）》提出的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考”[1]的理念，筆者設(shè)計了下面的這個“故事”情節(jié).

巴霍姆想到大草原上買一塊地，他問賣地人價錢如何，聰明的賣地人說：

每天1000盧比，就是你給我1000盧比，太陽初升時你可以出發(fā)，到日落時走過的路所圍成的土地就歸你.賣地人還提醒說，如果在日落之前返回不到原來的出發(fā)點，你就一點地也買不了，這1000盧比就算白花了.

巴霍姆認(rèn)為這樣很合算，就付給了賣地人1000盧比.第二天早早地來到了草原，等太陽一出來，他就瘋狂的奔跑.他先向正南筆直跑了10千米，然后拐彎向東又跑了13千米，再拐彎向正北跑了2千米.突然，他發(fā)現(xiàn)時間不早了，戀戀不舍的直奔早上的出發(fā)點跑去，用盡力氣拼命的跑，總算在太陽完全落山之前趕到了出發(fā)點，只見他向前一撲，口吐鮮血.堅守信譽(yù)的賣地人把地留給了巴霍姆的后人.

【數(shù)學(xué)思考】根據(jù)故事提供的信息，思考并解答下面兩個問題：

（1）畫出巴霍姆跑過的路線圖，你認(rèn)為這是一個什么圖形？

（2）求出巴霍姆所跑的路程（保留根號），相互交流自己的思考方法.

設(shè)計意圖 學(xué)生對課堂是否有“興趣”直接影響著課堂教學(xué)的效果，教師在備課中一定要認(rèn)真研讀課程內(nèi)容，精心設(shè)計能使學(xué)生感興趣的問題系列.讓學(xué)生感興趣的方法很多，如“講故事”“做游戲”就是常用的方法之一，目的是讓學(xué)生在聽故事、做游戲的同時，產(chǎn)生自覺探究數(shù)學(xué)知識的“欲望”.為激發(fā)學(xué)生投入到積極學(xué)習(xí)無理數(shù)的過程中，我們設(shè)計了這個令人惋惜的故事.

在學(xué)生聽完故事后，設(shè)計了兩個問題，幾乎所有學(xué)生通過分析、思考都能給出問題（1）的解答，畫出圖1所示（巴霍姆跑過）的路線圖，也知道這是個梯形.

對于第（2）個問題，大部分學(xué)生也能給出下面的解答：

如圖2，在Rt△ACB中，AB=BC2+AC2=132+（10-2）2=233，從而求出這一天巴霍姆所跑的路程為25+AB=（25+233）千米.

【探究發(fā)現(xiàn)】

233是個特殊的數(shù)，為了“搞清楚”這個數(shù)，請同學(xué)們探究下面問題：

（1）233可能是整數(shù)嗎？如果不是整數(shù)，你能估計233在哪兩個連續(xù)自然數(shù)之間嗎？

（2）233可能是整數(shù)15，16之間的某一個分?jǐn)?shù)嗎？相互討論.

（3）233可能是有限小數(shù)嗎？可能是循環(huán)小數(shù)嗎？

（4）由此你判斷233是一個怎樣的數(shù)呢？

設(shè)計意圖 本案例起始于一個故事，在學(xué)生聽完故事后，給出了“數(shù)學(xué)思考”與“探究發(fā)現(xiàn)”兩個環(huán)節(jié)，第一個環(huán)節(jié)的目的是讓學(xué)生通過計算巴霍姆所跑的路程得到一個新數(shù)（直角三角形的斜邊長）233（體現(xiàn)出擴(kuò)充數(shù)系的合理性），這是學(xué)生探究第二個環(huán)節(jié)中問題的基礎(chǔ).

對問題（1）大部分學(xué)生都能根據(jù)225<233<256，估計出233是在15和16之間的一個數(shù).對于問題（2），學(xué)生通過舉例、討論都能得到233不是15和16之間的一個分?jǐn)?shù)的結(jié)論.這時學(xué)生已經(jīng)意識到233不是有理數(shù).

學(xué)生通過對問題（3）的探究，發(fā)現(xiàn)233是一個無限不循環(huán)小數(shù).給出問題（4）的答案：這是一個與有理數(shù)不同的新數(shù)（體現(xiàn)出建立無理數(shù)概念的必要性）.

教學(xué)時，教師及時指出：為了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，必須引進(jìn)一個新的概念.

按照這樣的設(shè)計，引進(jìn)無理數(shù)概念，學(xué)生經(jīng)歷了“聽故事→思考問題→感受新數(shù)（反映了擴(kuò)充數(shù)系的必要性）→探究新數(shù)特點（體現(xiàn)出擴(kuò)充數(shù)系的合理性）→給出定義”的過程.

這種把知識學(xué)習(xí)寓于故事之中的教學(xué)，能激發(fā)學(xué)生積極的進(jìn)行觀察、猜測、計算、推理、驗證等活動，在這些活動的過程中學(xué)習(xí)了無理數(shù)概念，培養(yǎng)和提高了學(xué)生的估算能力，落實了《課標(biāo)（2011年版）》提出的“能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)大致范圍”的目標(biāo)，同時培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感、符號意識、運算能力、推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

這種設(shè)計能體現(xiàn)出《課標(biāo)（2011年版）》倡導(dǎo)的“面向全體學(xué)生”的理念，尊重了學(xué)生的個體差異，對于第一個環(huán)節(jié)的問題，學(xué)生都能解答.第二個環(huán)節(jié)的問題是為“學(xué)有余力”的學(xué)生設(shè)計的.這種設(shè)計體現(xiàn)了《課標(biāo)（2011年版）》提出的“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程基本理念.

教師應(yīng)當(dāng)精心設(shè)計問題情境，引導(dǎo)學(xué)生圍繞“問題”積極開展實驗、計算、探究、交流、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)活動，在活動的過程中，學(xué)生不僅能掌握知識，形成能力，還能體驗到數(shù)學(xué)活動中充滿著探索性與創(chuàng)造性，以“喚醒”學(xué)生的求知欲和好奇心，不斷提高學(xué)生的思維品質(zhì)和思維水平.2 數(shù)學(xué)能力的形成過程

《課標(biāo)（2011年版）》在“課程總目標(biāo)”中提出的第二條要求是：學(xué)生能“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”[1].這實際上是《課標(biāo)（2011年版）》對學(xué)生數(shù)學(xué)能力目標(biāo)提出的宏觀要求.認(rèn)真研讀和分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)能力至少包含如下10種能力[4]：

（1）運算能力;（2）幾何直觀能力;（3）數(shù)據(jù)分析能力;（4）感受隨機(jī)現(xiàn)象的能力;（5）合情推理能力;（6）演繹推理能力;（7）觀察能力;（8）數(shù)學(xué)建模能力;（9）合作交流能力;（10）數(shù)學(xué)思考能力與表達(dá)能力等.

具體到每一種能力又可以包括若干種“子能力”，例如數(shù)學(xué)運算能力就包含估算能力，教學(xué)中培養(yǎng)估算能力的“載體”太多了，如實數(shù)的運算，角度的測量、含有π的計算、估算一個無理數(shù)（如233）的值，估計方根的范圍等等.

這些知識都可以有效的培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，借助于解方程也可以培養(yǎng)估算能力.

方程是《課標(biāo)（2011年版）》界定的重要課程內(nèi)容，在初中階段學(xué)生將先后學(xué)習(xí)一元一次方程、一次方程組、分式方程和一元二次方程.其基本流程分為“方程概念—方程解法—方程應(yīng)用”三部分[5]（圖3）：

理解方程概念是關(guān)鍵，靈活解方程是基礎(chǔ)，解決實際問題是“落腳點”

對于解方程，《課標(biāo)（2011年版）》在第三學(xué)段的“課程內(nèi)容”中提出了四條具體要求[1]：

（1）經(jīng)歷估計方程解的過程;

（2）能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程;

（3）掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組;

（4）能解簡單的三元一次方程組.

大多數(shù)老師在教學(xué)中非常重視后三條，而對于第（1）條則重視不夠.這樣就失去了一個培養(yǎng)學(xué)生估算能力的好機(jī)會.為了全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號意識、運算能力等素養(yǎng)，建議教師在教學(xué)中，利用好“解方程”載體，強(qiáng)化對學(xué)生“估算”能力的培養(yǎng).

案例2 用估算的方法解方程3x+1=64.

3x+1=64是一個簡單的一元一次方程，常規(guī)解法非常簡單，對于學(xué)生而言，用估算法解方程是一種新的“方法”，教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生這樣估算：

（1）首先估計一個數(shù)，例如驗證x=15是不是方程的解，把x=15代入方程，左邊=46，右邊是64，顯然估計值（x=15）偏小了，所示x=15不是方程的解;

（2）然后換一個比15大的數(shù)重新估計，例如x=25，把x=25代入方程，左邊=76，右邊是64，估計值（x=25）偏大了，所示x=25不是方程的解;

（3）由（1）（2）可知，方程3x+1=64的解應(yīng)該在15到25之間，可以在這個范圍內(nèi)再取一個整數(shù)進(jìn)行嘗試，你準(zhǔn)備取怎樣的一個數(shù)進(jìn)行嘗試？你能得到怎樣的結(jié)論？

（4）請根據(jù)下面表格中的步驟，估算方程3x+1=64的解，并進(jìn)行檢驗：

你得到這個方程的解了嗎？是多少？

（5）你對這種“估算—檢驗”的方法有什么體會？請相互交流.

設(shè)計意圖 對于一個方程，如果把一個數(shù)a1代入它的左邊，左邊小于右邊，同時把另外一個數(shù)a2代入它的左邊，左邊大于右邊，那么方程的解一定會在a1與a2這兩個數(shù)之間.只要逐漸增大a1的值，同時縮小a2的值，即逐漸縮小a1與a2這兩個數(shù)的差，就會越來越接近或者求出方程的解.經(jīng)歷這樣的估算過程，學(xué)生不僅能找出方程的解，而且還能感悟到逐漸逼近的數(shù)學(xué)思想.基于這樣的想法，我們在給出一元一次方程的有關(guān)定義后，設(shè)計了這個案例.

為引導(dǎo)學(xué)生體驗并掌握估算方程解的一般方法，我們以方程3x+1=64為例，設(shè)計了5個具有“遞進(jìn)”層次的小問題，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷估算方程解的一般過程，學(xué)會通過嘗試、逐步調(diào)整和填表等數(shù)學(xué)活動，直至估算出方程3x+1=64的解.

問題（1）（2）給出了判斷一個數(shù)是否為方程解的“全”過程，這是用估算法解方程的基礎(chǔ)，學(xué)生有了解答問題（1）（2）的經(jīng)驗，不難給出問題（3）（4）的解答，并且給出對問題（5）的體會.

估算方程的解不是一次、兩次就能估算出來的，往往需要經(jīng)歷多次估算才能“找”出方程的解，因此，估算方程的解是一個過程.在這個過程中，學(xué)生的知識、能力和方法都能“伴隨”著估算的進(jìn)行得到培養(yǎng)和提高，并且還能不斷積累估算的經(jīng)驗，這些都是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中不可或缺的因素.3 解決問題的過程

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的任務(wù)之一是利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，在這個過程中，既要用到具體的基礎(chǔ)知識，又能反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.所以《課標(biāo)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計運用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動.這樣的活動應(yīng)體現(xiàn)“問題情境─建立模型─求解驗證”[1]的過程.

在解決有些實際問題時，估算比精確計算更有意義.

案例3 你能估計折紙的高度嗎？

為了引出“估算”的概念，從而使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)估算的必要性，逐步培養(yǎng)他們的估算意識，教學(xué)中可以借助實驗操作，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行折紙活動：

取一張報紙，將它對折，再對折，你估計最多能將它折幾次？并提出兩個問題讓學(xué)生思考與探究：

（1）你能將它對折8次嗎？為什么？

（2）如果能將一張報紙連續(xù)對折30次，你估計它的厚度是多少？相互交流

設(shè)計意圖 估算是根據(jù)具體條件及有關(guān)知識對事物的數(shù)量或算式的結(jié)果作出的大概推斷或估計.在解決有些實際問題時，估算比精確計算更有意義，為了盡早的讓學(xué)生意識到“估算”在日常生活以及學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，初步了解估算的意義，養(yǎng)成估算的意識，筆者在七年級上冊學(xué)習(xí)了“有理數(shù)的乘方”后，設(shè)計了這個案例.

教學(xué)中，在學(xué)生探索、思考、交流之后，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生估算：

一張普通報紙的厚度大約為0.01厘米，把一張紙連續(xù)對折8次后，它的厚度約為0.01×28=0.01×256=2.56（厘米），這相當(dāng)于把一本256頁的書對折一次，這幾乎是不可能的.如果能將一張報紙連續(xù)對折30次，那么它的厚度約為：

由此可以估計出將一張報紙連續(xù)對折30次后的厚度將是100千米，這個厚度將超過珠穆朗瑪峰的海拔高度11倍之多，這顯然是不可能的.

學(xué)生通過對這個問題的探究，能感受到0.01×230是一個大數(shù)，體會到估算在解決現(xiàn)實生活問題中的意義，初步了解到估算的策略和價值，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，逐步樹立起“估算”的意識.

根據(jù)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“呈現(xiàn)內(nèi)容的素材應(yīng)貼近學(xué)生現(xiàn)實”[1]的建議，我們在教學(xué)中應(yīng)從學(xué)生實際出發(fā)，精心選擇教學(xué)素材，讓學(xué)生去閱讀、理解，從而意識到有些問題需要準(zhǔn)確計算，有些問題只要通過估算得到近似值就可以.

案例4 設(shè)計一個估算π值的方案.

圓周率π是圓的周長與直徑的比值，也等于圓形的面積與半徑平方之比.它是精確計算圓周長、圓面積、球體積的關(guān)鍵值.在日常生活中，我們通常都用3.14作為π的近似值，去進(jìn)行近似計算.

π是一個無理數(shù)，估算π值的方法有多種，下面是利用概率知識進(jìn)行估算的方案：

【操作發(fā)現(xiàn)】

（1）在一張紙上畫一個正方形ABCD及其內(nèi)切圓⊙O（如圖4），則正方形ABCD的邊長a與內(nèi)切圓⊙O的半徑r的關(guān)系是______;

（2）隨機(jī)向圖4中撒10粒小米，則落在⊙O內(nèi)的小米有______粒，落在正方形ABCD內(nèi)的米有粒;如果撒20粒小米，則落在⊙O內(nèi)的小米有________粒，落在正方形ABCD內(nèi)的米有____粒.

（3）由此可得，隨機(jī)向正方形內(nèi)投一粒小米，則小米落在圓內(nèi)的概率是_______.

【實驗探究】

（4）隨機(jī)向圖4中撒一把小米，統(tǒng)計落在⊙O內(nèi)的米粒數(shù)m，以及落在正方形ABCD內(nèi)的米粒數(shù)n，并計算比值mn;

（5）你認(rèn)為mn和前面問題（3）的結(jié)果有怎樣的關(guān)系？相互交流自己的看法.你能利用這個關(guān)系估計出π的值嗎？

（6）相互交流如何能提高對于π的估計精確度？

設(shè)計意圖 在學(xué)生學(xué)習(xí)了用頻率估計概率的知識后，學(xué)生已經(jīng)明確知道，如果在一次試驗過程中，用A表示事件“試驗落在區(qū)域D中的一個小區(qū)域M中”，則事件A發(fā)生的概率為.為了讓學(xué)生真正理解這個公式的意義，同時培養(yǎng)學(xué)生的實驗探究能力，我們設(shè)計了上面的實驗活動.

整個方案分為“操作發(fā)展—實驗探究”兩個環(huán)節(jié)，學(xué)生通過觀察與思考不難得到問題（1）的答案是a=2r;因為撒米的過程是隨機(jī)的，所以學(xué)生對問題（2）得到的答案是不一樣的;問題（3）的答案為圓O的面積正方形ABCD的面積=π4.

在第二個環(huán)節(jié)“實驗探究”共設(shè)計了三個小問題：對于問題（4），只要一把小米的顆粒數(shù)不是很多，學(xué)生不難數(shù)出m與n的值，并計算出比值mn;通過對問題（5）的思考可以得到mn=π4，這是估算π的根本所在.學(xué)生對問題（6）交流的結(jié)論是：要提高對于π的估計精確度有兩個途徑：一是增加一把小米的顆粒數(shù)，而是進(jìn)行多次重復(fù)試驗.

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)估算越來越顯得重要，教學(xué)中應(yīng)從學(xué)生熟悉的生活情境或者感興趣的事物出發(fā)，精心設(shè)計一些“估算”的問題，引導(dǎo)學(xué)生在探究問題的過程中，通過估算達(dá)到解決問題的目的，從而培養(yǎng)學(xué)生的估算意識，不斷提高其估算能力，進(jìn)而提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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