“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”建設(shè)與使用的思考

張才寶 劉洪超

[摘要] 以課本有關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)使用為例，說(shuō)明建設(shè)和使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的意義、作用和價(jià)值。主要包括三個(gè)維度因素：一是變式關(guān)聯(lián)，重組“實(shí)驗(yàn)反應(yīng)塊”，提高“學(xué)會(huì)思考”心理水平;二是補(bǔ)償思維，建立“實(shí)驗(yàn)關(guān)系塊”，內(nèi)驅(qū)“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”動(dòng)力機(jī)制;三是增值經(jīng)驗(yàn)，用好“實(shí)驗(yàn)審美塊”，激發(fā)“學(xué)習(xí)興趣”的內(nèi)部狀態(tài)。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室;建設(shè)與使用;課例研究

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教育由來(lái)已久，在轉(zhuǎn)變學(xué)生“學(xué)習(xí)方式”層面做出了不可替代的貢獻(xiàn)。蘇教版初中數(shù)學(xué)課本在“后記”中指出，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”是通過(guò)“做”數(shù)學(xué)，感悟、理解數(shù)學(xué)知識(shí);《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確要求，有條件的學(xué)校可以建立“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”供學(xué)生使用，并以此培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力、創(chuàng)新精神及其個(gè)性品質(zhì)，促進(jìn)不同學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同發(fā)展。因此，研究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)與使用問(wèn)題，意義重大，影響深遠(yuǎn)。

本文以“月歷游戲”“剪紙盒”和“七巧板拼圖”等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的運(yùn)行過(guò)程為例，說(shuō)明建設(shè)和使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的目的，不止于理解數(shù)學(xué)、轉(zhuǎn)型課堂，更在于“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”這一核心素養(yǎng)目標(biāo)的充分實(shí)現(xiàn)，促進(jìn)“關(guān)鍵能力”和“必備品格”的養(yǎng)成。

一、變式關(guān)聯(lián)，重組“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)反應(yīng)塊”，提高“學(xué)會(huì)思考”的心理水平

“變式”與“關(guān)聯(lián)”是學(xué)會(huì)思考的心理基礎(chǔ)，是概念產(chǎn)生與發(fā)展的“點(diǎn)火器”，有助于原型定向（注：“原型”可以理解為“模型”，是專家頭腦中的高度約簡(jiǎn)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思想方法等）。像“代數(shù)式”“方程”“不等式”等描述性概念，就是一種常見(jiàn)的“原型”，當(dāng)我們確定研究的對(duì)象為“方程”，那么從問(wèn)題情境中抽象出“一元一次方程”模型及其模型關(guān)系的過(guò)程，就是原型定向的過(guò)程。具體到從“天平稱重”“籃球聯(lián)賽”“繩長(zhǎng)井深”“火柴棒拼小魚”“年齡問(wèn)題”等實(shí)際問(wèn)題中，抽象出一般關(guān)系ax+b=0（a≠0，a、b為常數(shù)）就是一種常見(jiàn)的方程模型。從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室設(shè)置的目的來(lái)說(shuō)，“思考”本身就是一種數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，“數(shù)學(xué)變式”本身就是一種內(nèi)部關(guān)系的關(guān)聯(lián)，有助于知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的重組和再造，有助于學(xué)生形成概念模型?；谶@一認(rèn)識(shí)，可以說(shuō)，重組數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“反應(yīng)塊”，就是將同一實(shí)驗(yàn)主題要素、內(nèi)部關(guān)系要素及其相關(guān)要素重新組合，設(shè)置新的問(wèn)題解決任務(wù)，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程，具體包括感知覺(jué)、表象、記憶、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)思維與意識(shí)的過(guò)程。比如，“月歷游戲”這一實(shí)驗(yàn)載體，分布在課本多處，具體涉及“1.2活動(dòng) 思考”的“活動(dòng)三”、“第3章代數(shù)式”的“章頭圖”、“3.2代數(shù)式”的“試一試”活動(dòng)任務(wù)項(xiàng)、“4.3用一元一次方程解決問(wèn)題”的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”。因此，需要重組“月歷游戲”這一實(shí)驗(yàn)室的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，構(gòu)建適合學(xué)生知覺(jué)學(xué)習(xí)和表象建立的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)反應(yīng)塊，進(jìn)而促進(jìn)知識(shí)關(guān)聯(lián)，提高學(xué)生“學(xué)會(huì)思考”心理水平。

當(dāng)然，教之道在于“度”，學(xué)之道在于“悟”，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之道在于“學(xué)會(huì)思考”。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)與使用，目的不止于習(xí)得知識(shí)技能，更在于將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)、靜態(tài)概念與動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)合在一起?！皵?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)”的結(jié)合理解成“數(shù)學(xué)與生活同行”，就是重視學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程;“靜態(tài)概念與動(dòng)態(tài)過(guò)程”結(jié)合就是把“學(xué)術(shù)形態(tài)”的概念，通過(guò)“動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”，轉(zhuǎn)化為學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力以及創(chuàng)新精神。這與“教學(xué)中不僅關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的掌握，還特別注重應(yīng)用意識(shí)”[1]具有一致性關(guān)系。為此，在變式關(guān)聯(lián)維度，建設(shè)與使用“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”需要做好三個(gè)方面的工作：一是數(shù)學(xué)變式，促進(jìn)概念產(chǎn)生與形成;二是數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，形成模型思想和模型能力;三是應(yīng)用數(shù)學(xué)，建立數(shù)學(xué)服務(wù)生活的觀念，增長(zhǎng)數(shù)學(xué)才干。

不妨以“月歷游戲”這一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目的建設(shè)與使用為例，說(shuō)明怎樣通過(guò)“變式關(guān)聯(lián)”，建設(shè)好數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室、用好數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，提高學(xué)生“學(xué)會(huì)思考”的心理水平。具體操作過(guò)程如下：首先是讓學(xué)生在月歷（如圖1）的同一行上任意圈出相鄰的5個(gè)數(shù)，并把這5個(gè)數(shù)的和告訴同學(xué)，讓同學(xué)求出這5個(gè)數(shù)。其次是在月歷的同一列上任意圈出3個(gè)數(shù)，并把這3個(gè)數(shù)的和告訴同學(xué)，讓同學(xué)求出這3個(gè)數(shù)。再次是讓學(xué)生在月歷上“任意”找1個(gè)數(shù)以及它的上下左右的4個(gè)數(shù)，把這5個(gè)數(shù)的和告訴同學(xué)，讓同學(xué)求出這5個(gè)數(shù)。最后是讓學(xué)生基于代數(shù)關(guān)系建模：設(shè)月歷上一個(gè)數(shù)為n，其前、后兩個(gè)數(shù)分別為（n-1）和（n+1），其上、下兩個(gè)數(shù)分別為（n-7）和（n+7），算出小明幾號(hào)回家。顯然，“月歷上行的數(shù)量關(guān)系→月歷上列的數(shù)量關(guān)系”是實(shí)驗(yàn)變式的基礎(chǔ)，“月歷上一個(gè)數(shù)+上下左右→‘十字型構(gòu)造”是一種關(guān)聯(lián)變式，則幫小明“算日期”是一種數(shù)學(xué)應(yīng)用，有助于“學(xué)會(huì)思考”目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。這種重組實(shí)驗(yàn)塊的方法機(jī)制，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)的“導(dǎo)航儀”，有助于系統(tǒng)思維的發(fā)展和“學(xué)會(huì)”能力的獲得。尤其在發(fā)展核心素養(yǎng)和轉(zhuǎn)型課堂的今天，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)和使用的目的，一方面是發(fā)展學(xué)生的“變式關(guān)聯(lián)”能力，另一方面是“教思考”，教學(xué)生“學(xué)會(huì)思考”。

二、補(bǔ)償思維，建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“關(guān)系塊”，內(nèi)驅(qū)“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的動(dòng)力機(jī)制

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)范疇，補(bǔ)償思維或思維補(bǔ)償，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室“思維關(guān)系塊”建立的支持條件和內(nèi)部機(jī)制。比如，在研究正方體紙盒轉(zhuǎn)化為展開圖的過(guò)程中，在展開與折疊互逆關(guān)系的基礎(chǔ)上，研究剪掉棱的條數(shù)，就是一種內(nèi)部思維補(bǔ)償?shù)暮美?，具體表現(xiàn)為“直接數(shù)圖”（7條）或者“作差法”（12-5=7條）。一般情況下，通過(guò)思維交往互動(dòng)的過(guò)程，將“不理解”轉(zhuǎn)化為“可理解”的狀態(tài)，將“不可能”轉(zhuǎn)化為“可能”的認(rèn)知狀態(tài)，就會(huì)自然內(nèi)驅(qū)“由內(nèi)而外”的理趣，提高學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的質(zhì)量。同時(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“關(guān)系塊”的建立，也在不同層面反哺“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的心理認(rèn)知能力。從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)的目的來(lái)說(shuō)，“關(guān)系塊”本身是一種概念的復(fù)合體，反映知識(shí)結(jié)構(gòu)的思維序和層次性，有助于不同學(xué)生獲得不同的數(shù)學(xué)發(fā)展。事實(shí)上，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室“關(guān)系塊”的建立過(guò)程，就是數(shù)學(xué)模型的產(chǎn)生過(guò)程，也是知識(shí)結(jié)構(gòu)模型化的順應(yīng)過(guò)程。模型化加工是一種再認(rèn)知，是一種批判性再思考，是個(gè)體根據(jù)自己的學(xué)習(xí)風(fēng)格對(duì)自己內(nèi)在的認(rèn)知過(guò)程的調(diào)節(jié)活動(dòng)。[2]像“歐拉定理”（“棱柱的頂點(diǎn)數(shù)+棱柱的面數(shù)-棱柱的棱數(shù)=2”）的再認(rèn)知，有的同學(xué)在研究長(zhǎng)方體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)后就猜想出一般化結(jié)論;有的同學(xué)需要補(bǔ)償研究四棱柱、五棱柱，甚至更多的棱柱，才能理解這一結(jié)論，并形成模型意識(shí)，這是由個(gè)體的批判性思考水平?jīng)Q定的。因此，補(bǔ)償思維具有批判性，能夠內(nèi)驅(qū)“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的有效發(fā)生。

一般情況下，一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)關(guān)系塊至少包括三個(gè)層次因素：一是“做數(shù)學(xué)”的關(guān)系因素，旨在讓學(xué)生在“做”的活動(dòng)中，感知到“要去哪里”;二是層次化理解因素，旨在讓學(xué)生在序列問(wèn)題解決中，提升學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的知覺(jué)能力;三是補(bǔ)償思維因素，旨在讓學(xué)生在思考批判中，形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知心理，提高數(shù)學(xué)再認(rèn)和數(shù)學(xué)再造能力。正如李士锜的觀點(diǎn)，學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么才說(shuō)明是理解了。[3]為此，補(bǔ)償思維貴在組織恰當(dāng)?shù)年P(guān)系塊，讓學(xué)生經(jīng)歷序列化問(wèn)題解決，獲得“學(xué)會(huì)”的能力。

不妨以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“剪紙盒”的關(guān)系塊建立過(guò)程為載體，說(shuō)明補(bǔ)償思維對(duì)“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的支持作用，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效建立，提高“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的質(zhì)量。具體實(shí)施過(guò)程如下：首先，讓學(xué)生將準(zhǔn)備好的正方體紙盒沿部分棱剪開展成一個(gè)平面圖形，并畫出盡可能多的不同展開圖（可以歸結(jié)為11種），使得學(xué)生在操作過(guò)程中，體驗(yàn)到“同一個(gè)正方體紙盒的表面沿不同的棱剪開，展成的平面圖形可以是不同的”。這能較好地落實(shí)“對(duì)于某些知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解”的課程目標(biāo)。其次，讓學(xué)生把得到的平面圖形相互交流，追問(wèn)“你能得到圖2的平面圖形嗎？”并說(shuō)出剪掉棱的條數(shù)（有的同學(xué)通過(guò)數(shù)圖的方法數(shù)出7條;有的同學(xué)通過(guò)算圖的方法算出12-5=7，這里的“5”是展開圖中連接面的棱的條數(shù)），這是一種層次思維，有助于將“結(jié)構(gòu)知識(shí)”轉(zhuǎn)化為有效的“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”。最后，讓學(xué)生在可逆補(bǔ)償思考中，判斷圖3能否折成一個(gè)正方體，如果能，說(shuō)明理由;如果不能，移動(dòng)其中一個(gè)小方塊，使其能拼成正方體紙盒（大部分同學(xué)移動(dòng)了上面兩塊中的一塊，個(gè)別同學(xué)移動(dòng)了“4塊行”中的左首塊）。這是一種互逆思考，又是一種批判性思考，有助于學(xué)生形成“知其所以然”和“知其所不然”的能力?？梢?jiàn)，“剪正方體紙盒”是一個(gè)生動(dòng)的做數(shù)學(xué)過(guò)程。探討剪法以及算圖、數(shù)圖是一種層次性思維，有助于不同人獲得不同發(fā)展;“判斷→構(gòu)造”是一種補(bǔ)償思維，有助于學(xué)生形成系統(tǒng)知識(shí)，提高認(rèn)知結(jié)構(gòu)化的性能。

三、增值經(jīng)驗(yàn)，用好數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“審美塊”，激發(fā)“學(xué)習(xí)興趣”的內(nèi)部狀態(tài)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在其“實(shí)施建議”中明確指出：幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果。而“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)施途徑，是“動(dòng)手做”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“關(guān)鍵詞”，是學(xué)生感受美、體驗(yàn)美以及塑造美的支持條件。像“折紙”“七巧板拼圖”“希沃尺規(guī)作圖”“畫板畫圖”等實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)，旨在讓學(xué)生在審美中培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣，在動(dòng)手做數(shù)學(xué)中深度審美，這本身就是增值經(jīng)驗(yàn)的表現(xiàn)?；谶@一認(rèn)識(shí)，可以說(shuō)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建立并推廣使用的直接目的是增值經(jīng)驗(yàn);間接目的是對(duì)美的向往與追求。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室承擔(dān)著將“冰冷美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱思考”的“點(diǎn)火器”任務(wù)，這就需要用好思維審美塊。這里的“用好”包括三個(gè)方面的含義：一是思維審美塊與學(xué)生知覺(jué)認(rèn)知水平一致;二是貼近學(xué)生的生活，能夠增值經(jīng)驗(yàn);三是具有審美理趣和發(fā)展智慧的作用。當(dāng)然，增值經(jīng)驗(yàn)和“認(rèn)知興趣”，需要在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中積淀。這里的“興趣”是學(xué)生完成某種數(shù)學(xué)任務(wù)的積極心理傾向，是形成心智技能和獲得數(shù)學(xué)智慧的內(nèi)驅(qū)條件，是建設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)審美塊的內(nèi)部動(dòng)因。通過(guò)重組遷移，可以提高經(jīng)驗(yàn)的增值性，擴(kuò)大基本經(jīng)驗(yàn)的適用范圍[4]，以此提高學(xué)習(xí)興趣及其內(nèi)化能力。

事實(shí)上，學(xué)習(xí)興趣和實(shí)驗(yàn)審美是相輔相成關(guān)系，要消除公眾心目中數(shù)學(xué)太難的印象就要善于挖掘數(shù)學(xué)中的美育因素，如公式的簡(jiǎn)潔美、圖形的構(gòu)造美、推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，都能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的積極狀態(tài)。用七巧板構(gòu)造的“家”“小貓”“鴨子”“金魚”以及“孤舟蓑笠翁，獨(dú)釣寒江雪”的意境勾勒，就是構(gòu)造美的生動(dòng)例子。一方面自然激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知興趣狀態(tài)，另一方面增值經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生了創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的沖動(dòng)，促進(jìn)了“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界;用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”[5]的能力。

不妨以“七巧板拼圖”為例，說(shuō)明數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)使用“思維審美塊”的意義不止于增值經(jīng)驗(yàn)，更在于觸發(fā)審美，激發(fā)數(shù)學(xué)認(rèn)知的興趣狀態(tài)。具體實(shí)驗(yàn)活動(dòng)如下：我們把一塊正方形薄板分為7塊制作成“七巧板”（如圖4），用它可以拼出多種多樣的圖形。首先，讓學(xué)生用一副“七巧板”拼正方形、長(zhǎng)方形和平行四邊形等基本圖形，并指出使用了哪些板？這一問(wèn)題設(shè)置目的，是讓學(xué)生在審美數(shù)學(xué)中，體驗(yàn)幾何圖形的重組與分離，為后續(xù)分離圖形鋪設(shè)思維。其次，讓學(xué)生分別判斷用一副“七巧板”中的3、4、5、6塊板能否拼成一個(gè)三角形，并拼出條件性圖形?！芭袛唷笔菍?duì)存在性的思考，“拼出”是對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的驗(yàn)證與確認(rèn)，有助于審美興趣的發(fā)展。再次是學(xué)生通過(guò)重組，用一副“七巧板”，構(gòu)思出新的圖形，并給拼成的圖形加上恰當(dāng)?shù)慕庹f(shuō)詞?！皹?gòu)思”是增值經(jīng)驗(yàn)的重要方式，是體驗(yàn)美的實(shí)踐路徑，有助于認(rèn)知興趣狀態(tài)的發(fā)展。最后，讓學(xué)生用兩副“七巧板”構(gòu)造出喜歡的圖形，如彈鋼琴、打乒乓球、公益宣傳活動(dòng)（見(jiàn)圖5）等。這有助于審美創(chuàng)造的發(fā)生，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)審美沖動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了審美增值的目的。如果說(shuō)“拼基本圖形”是一種生活審美，那么“判斷→拼出”等問(wèn)題解決是體驗(yàn)美的表現(xiàn)形式，則“構(gòu)造→重組”是一種審美遷移，提高了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的積極性，發(fā)展了關(guān)鍵能力，培養(yǎng)了審美沖動(dòng)。

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張才寶? ?江蘇省連云港市海州區(qū)教研室，中學(xué)數(shù)學(xué)教研員、高級(jí)教師。江蘇省教研先進(jìn)個(gè)人。

劉洪超? ?江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇省初中數(shù)學(xué)特級(jí)教師。江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”第三層次培養(yǎng)對(duì)象。