整體思維：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的有效路徑

【摘 要】整體思維是一種“通體相關(guān)的思維”。用在數(shù)學(xué)教學(xué)中，則體現(xiàn)在問題設(shè)計(jì)的整體性、知識(shí)建構(gòu)的立體性和思想方法的系統(tǒng)性三個(gè)方面。它利于知識(shí)左右關(guān)聯(lián)、上下貫通，讓“會(huì)一題，通一類，連一片”不再是口號(hào)。實(shí)踐證明，整體思維符合教育學(xué)、心理學(xué)原理和學(xué)生的年齡特征，關(guān)注學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)和情意，反映知識(shí)的更新過程，使數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)更具有效性。

【關(guān)鍵詞】整體思維;數(shù)學(xué)復(fù)習(xí);課例研究

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）26-0036-02

【作者簡(jiǎn)介】朱桂鳳，江蘇省連云港市幸福路中學(xué)（江蘇連云港，222023）高級(jí)教師。

2015年中考已經(jīng)結(jié)束，筆者對(duì)半年來的中考復(fù)習(xí)教學(xué)進(jìn)行了回顧與反思。發(fā)現(xiàn)在中考第一輪復(fù)習(xí)后，學(xué)生容易出現(xiàn)疲憊狀態(tài)，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)呈現(xiàn)出低效現(xiàn)象。為克服此種情形，筆者曾上過一節(jié)基于“整體思維”的研究課（“特殊四邊形”的復(fù)習(xí)教學(xué)），收到了良好的教學(xué)效果?，F(xiàn)梳理成文，希望能給復(fù)習(xí)期的初中數(shù)學(xué)教學(xué)添就新的研究視角。

一、數(shù)學(xué)整體思維的內(nèi)涵

整體思維是一種“通體相關(guān)的思維”，[1]它強(qiáng)調(diào)從整體上把握事物的本質(zhì)，重視整體與部分的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。把“整體思維”的思想方法用在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，則體現(xiàn)為問題設(shè)計(jì)的整體性、知識(shí)建構(gòu)的立體性和思想方法的系統(tǒng)性。整體思維利于知識(shí)左右關(guān)聯(lián)、上下貫通，進(jìn)而讓“會(huì)一題，通一類，連一片”不再是掛在嘴邊的口號(hào);它力促一種復(fù)習(xí)行為具體化的革新，使得數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)擁有融合度、匹配度和指向度，刷新數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的舊模式，謀求數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)更為有效的路徑。

二、數(shù)學(xué)整體思維的實(shí)踐價(jià)值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出，要經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，掌握問題解決的一般方法;在運(yùn)用數(shù)學(xué)表述和解決問題的過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)踐價(jià)值。而整體思維就體現(xiàn)出問題解決方法的一般化和多樣性，使得數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)具有“大一統(tǒng)”的眼界。因此，整體思維是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的精髓，能釋放學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛力。

1.順應(yīng)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展水平。

初中學(xué)生的數(shù)學(xué)分析思維水平依然偏低，歸結(jié)問題的能力不足，凝練方法經(jīng)驗(yàn)的能力欠缺。這些能力的提升均離不開整體思維的參與。唯有借助整體思維，方能實(shí)現(xiàn)知識(shí)歸位、方法到位、經(jīng)驗(yàn)立位的立體性數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值。

2.契合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，習(xí)得知識(shí)的過程就是將知識(shí)內(nèi)化的過程。而學(xué)生在用整體思維思考問題的過程中，要經(jīng)過知識(shí)的搜索和排序、思想方法的內(nèi)化和提煉、基本經(jīng)驗(yàn)的稱量和借鑒等序列化思維活動(dòng)。在此類思維活動(dòng)的過程中，思維內(nèi)層積極更新知識(shí)，使得同質(zhì)知識(shí)一統(tǒng)、異質(zhì)知識(shí)關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)由內(nèi)而外釋放知識(shí)的力量，從而建構(gòu)起充滿活性的知識(shí)體系。

三、數(shù)學(xué)整體思維的實(shí)踐路徑

整體思維是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不可或缺的思想方法。離開整體思維的指導(dǎo)，會(huì)壓縮學(xué)生思維的興趣，降低知識(shí)關(guān)聯(lián)的融合度、弱化數(shù)理判斷的匹配度、分散方法經(jīng)驗(yàn)的指向度，使得數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課低效甚至無效。因此，必須高舉“整體思維”的大旗，方能實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí)的初衷，體現(xiàn)學(xué)科的育人價(jià)值。

1.打通整體思維通道，凸顯知識(shí)關(guān)聯(lián)。

打通整體思維通道的過程，就是強(qiáng)化知識(shí)關(guān)聯(lián)的過程。穩(wěn)定的數(shù)學(xué)能力的形成需要教師的指導(dǎo)和學(xué)生的實(shí)踐歷練，就這個(gè)層面而言，唯有打通整體思維的通道、鏈接中考、俯瞰概念結(jié)構(gòu)，方能融合知識(shí)間的內(nèi)外關(guān)聯(lián)，落實(shí)思維的連續(xù)性，預(yù)期繁華的思維景象。為此，筆者在復(fù)習(xí)“特殊的平行四邊形”這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，首先做出如下設(shè)置。

【理論鋪墊】

（1）特殊四邊形的性質(zhì)表

（2）寫一個(gè)你認(rèn)為合適的條件：

要使？荀ABCD成為矩形，需添加的條件是 ?;要使？荀ABCD成為菱形，需添加的條件是 ?;

要使矩形ABCD成為正方形，需添加 ?;要使菱形ABCD成為正方形，需添加 ?;

要使？荀ABCD成為正方形，需添加 ?;要使梯形ABCD成為等腰梯形，需添加 ?。

【研究示例】

活動(dòng)一：測(cè)一測(cè)

（2007年·連云港卷）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA。下列四個(gè)判斷中，不正確的是（ ）。

A.四邊形AEDF是平行四邊形

B.如果∠BAC=90°，那么四邊形AEDF是矩形

C.如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形

D.如果AD⊥BC且AB=AC，那么四邊形AEDF是正方形

設(shè)問：若正確，說明判斷依據(jù);若不正確，更改條件使其正確。

案例中的“理論鋪墊”項(xiàng)和“測(cè)一測(cè)”活動(dòng)項(xiàng)，就是打通特殊四邊形關(guān)聯(lián)通道的具體化（站在概念識(shí)別與判斷的基線上，展示概念的通性和差異）。它們使得孤立的概念群（平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形及其元素），在直觀圖表的幫助下和整體思維的關(guān)聯(lián)下，融合為一個(gè)不可分割的整體（特殊四邊形群體的對(duì)稱性）。填表的過程就是學(xué)生利用整體思維關(guān)聯(lián)知識(shí)的過程（“理論鋪墊”項(xiàng)）;判斷正誤的過程就是學(xué)生整體思維運(yùn)行的過程（“測(cè)一測(cè)”活動(dòng)項(xiàng)）。就教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)來看，學(xué)生的思維活躍，興趣思維理性化，屏蔽了思維原地踏步的低迷狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)了高效的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)。

2.和合整體思維方式，強(qiáng)化數(shù)理判斷。

把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，這是課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。這意味著數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)該更多地關(guān)注數(shù)理知識(shí)結(jié)構(gòu)和完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，重視數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的符號(hào)化，強(qiáng)調(diào)知識(shí)與方法的匹配，形成層次分明的知識(shí)譜系。和合整體思維透過思想方法洞悉問題本質(zhì)、獲悉解題路徑，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的立體目標(biāo)群（認(rèn)知目標(biāo)+動(dòng)作技能目標(biāo)+思維目標(biāo)+情意目標(biāo)）。為此，筆者設(shè)計(jì)了第二個(gè)教學(xué)活動(dòng)模塊。

活動(dòng)二：做一做

（2013年·連云港卷）如圖2所示，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長為 ?。

追問：還有其他的解法嗎？

（中考指南改編題）將兩張長為8、寬為2的矩形紙條交叉重疊，疊合部分面積的最小值為 ;最大值為 。

追問：畫出圖形并說說你的思考過程。

上述“做一做”活動(dòng)就是和合整體思維的具體體現(xiàn)。就知識(shí)目標(biāo)而言，考查對(duì)稱圖形的本質(zhì)（等腰三角形、矩形、菱形和正方形）;就技能目標(biāo)而言，考查數(shù)理能力（疊合、勾股定理的本質(zhì)、角度計(jì)量）;就思維目標(biāo)而言，考查轉(zhuǎn)化、作差、數(shù)形結(jié)合和極限等思想方法（將圖形邊長轉(zhuǎn)化為方程），獲得最終結(jié)果的過程就是整體思維運(yùn)行的過程;就情意目標(biāo)而言，則使學(xué)生體會(huì)到歷經(jīng)思考后獲得的成功感，這種成功感是由內(nèi)而外的。因此，和合整體思維方式是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)有的思維樣態(tài)。

3.謀劃整體思維主題，聚焦經(jīng)驗(yàn)方法。

整體思維是一種設(shè)計(jì)視野，但如果沒有經(jīng)驗(yàn)方法的聚焦，則無法獲取多維的思維承載體。整體思維是一種方法，但如果沒有方法經(jīng)驗(yàn)的奠基，方法只能是方法論世界的海市蜃樓;整體思維是一種理解數(shù)學(xué)的方式，但如果沒有經(jīng)驗(yàn)方法的沉淀，這種理解方式只能是句口號(hào)（思想方法隱藏在具體知識(shí)的背后）。在整體思維下注重經(jīng)驗(yàn)方法的總結(jié)是復(fù)習(xí)教學(xué)的重頭戲，因此，筆者在教學(xué)的結(jié)尾做了如下設(shè)計(jì)：

活動(dòng)三：議一議

如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F兩點(diǎn)在邊BC上，且四邊形AEFD是平行四邊形。

（1）AD與BC有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)說明理由;

（2）當(dāng)AB=DC時(shí)，求證：？荀AEFD是矩形。

設(shè)問：你是怎樣思考的？本題考查了哪些知識(shí)點(diǎn)和思想方法？

上述“議一議”活動(dòng)，第（1）個(gè)問題是圍繞概念的整體經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行的，獲取數(shù)量關(guān)系和作出判斷的過程就是方法經(jīng)驗(yàn)外顯的過程;第（2）個(gè)問題是圍繞意象經(jīng)驗(yàn)的聚焦而展開的，問題分析的過程就是整體經(jīng)驗(yàn)方法釋放的過程。

綜上，本案例由“理論鋪墊→測(cè)一測(cè)→做一做→議一議”4個(gè)組塊構(gòu)成，組塊1是對(duì)概念群的回溯與更新;組塊2是對(duì)概念群的甄別與判斷;組塊3是對(duì)概念群的應(yīng)用與遷移;組塊4是對(duì)概念群結(jié)構(gòu)的推演和升華。4個(gè)組塊在適切主題的承載下有序有向地推進(jìn)，它們是整體思維在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的具體體現(xiàn)，為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的成功提供了保障。

【參考文獻(xiàn)】

[1]蒙培元.中國哲學(xué)主體思維[M].北京：人民出版社，1993.

[2]王光明，戴永.數(shù)學(xué)命題的整體性教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007（23）.