利用微元法將各類積分直接化成定積分

沙嬋娟

【摘要】微元法是分析和解決積分問題的常用方法，它是采用“化零為整”的思想去解決問題.一般的積分都需要化成累次積分來計算，有時計算起來比較復(fù)雜，本文利用微元法簡化了重積分和曲面積分的運算，即通過微元法尋找相應(yīng)的微元，直接將二重積分、三重積分或者曲面積分化成定積分，而定積分計算相對來說簡單，因此，利用此法可以更大地簡化計算.

【關(guān)鍵詞】微元法;重積分;曲面積分;積分微元

一、引言

微元法是積分學(xué)中非常重要的一種方法，在數(shù)學(xué)、物理和工程中被廣泛應(yīng)用.它一般要經(jīng)過四個步驟：分割，取近似，求和，取極限.通常情況下，在使用微元法之前，我們會先對某事件做整體的觀察，然后取出該事件的某一微小單元進行分析，通過對微元的數(shù)學(xué)分析和描述，最終解決整體，得到結(jié)果.合理有效地利用微元法的思想可以使原本復(fù)雜的問題變得簡單易行.

在大學(xué)的公共基礎(chǔ)課“高等數(shù)學(xué)”中，所有積分概念的提出都是通過微元法實現(xiàn)的.我們所得到的這些積分，包括重積分、曲線積分、曲面積分，都是基于定積分的概念，對積分區(qū)域進行擴展，得到新的一系列積分.對于這些積分的計算，先通過幾何意義或物理意義化為二重積分或者三重積分，再化成累次積分的形式，最終得到極限值.實際上，很多問題我們可以根據(jù)積分中被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點和相互關(guān)系適當(dāng)?shù)剡x擇微元，將重積分和曲面積分直接化簡為定積分，從而進行簡單的計算.

二、各類積分直接轉(zhuǎn)化成定積分

（一）重積分直接化成定積分

通常情況下，重積分是要根據(jù)積分區(qū)域的形狀化成累次積分進行計算的，但是如果被積函數(shù)復(fù)雜，或者積分區(qū)域形狀不規(guī)則，那么化成累次積分的過程就比較繁雜，或者化成累次積分后，計算量比較大.如果在重積分中，積分微元容易尋找或者容易表達，那么我們可以利用微元法直接找微元，化成定積分計算要容易得多.

下面通過三個例題介紹三種不同的類型.

經(jīng)過上面三個例題的分析，有了最簡潔的結(jié)果，我們在以后高等數(shù)學(xué)或者其他科目的學(xué)習(xí)中，便可以利用這些結(jié)論，在具體的題目中可以直接去計算重積分，省去了確定區(qū)域形狀、選擇合適坐標(biāo)、化成累次積分這些繁雜的過程，而直接得到一個定積分，計算定積分即可，計算過程變得簡單很多.

上面的幾個例題中，積分區(qū)域都是用規(guī)則的直線或者平面進行分割的，得到的微元是長方形、帶弧邊的長方形或長方體，這種情況是我們?nèi)菀着龅胶驼莆盏?實際上，有些特殊問題，我們可以用不規(guī)則的曲線或者曲面進行分割.

我們看到，（2）的解答是非常簡單的，大家可以試一下用我們常用的算法或者常用的分割方式去解決這個二重積分，還是有一定的難度的.而這種做法不僅可以用于二重積分的計算，還可用于三重積分的計算.

（二）曲面積分直接化成定積分

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，大部分學(xué)生對于曲面積分的計算掌握起來是有難度的，而我們會在這部分中研究曲面為旋轉(zhuǎn)曲面的類型下，如何快速準(zhǔn)確地得到曲面積分的值.

假設(shè)曲面是由曲線繞著z軸旋轉(zhuǎn)所得，由旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積可知，旋轉(zhuǎn)體的曲面面積微元dS=2πx1+dzdx2dz，則曲面積分就可以化簡成定積分來計算.

這一部分我們主要對曲面積分直接化成定積分做了相應(yīng)的分析，如果看到積分區(qū)域是旋轉(zhuǎn)體，我們都可以用微元法分析其面積微元.

三、結(jié)束語

高等數(shù)學(xué)中積分的計算是一個重要的內(nèi)容，不管是教學(xué)大綱、考研大綱，還是物理課程或者專業(yè)課程中，積分的計算必不可少.但是這部分內(nèi)容對于學(xué)生而言又是個難點.在學(xué)習(xí)的過程中，我們要引導(dǎo)學(xué)生去理解積分的本質(zhì)，清楚積分就是無窮多個無窮小的總和.它的結(jié)果我們可以認(rèn)為是在單一維度下對某一個量的累加.

本文中的積分計算拋開教材中循規(guī)蹈矩的求解積分的方法，從微元法最本質(zhì)的一點尋找積分微元，去化解積分，直接得到我們熟悉的、便于計算的一元函數(shù)的定積分.整個過程對學(xué)生對積分概念的理解和積分值的取得是有很大幫助的.這樣的方法不僅適用于文中提到的幾種積分模式，也適用于很多實際問題的求解.在實際問題中，我們只要可以找到簡單的分割方式，順利找到對應(yīng)微元，在分割區(qū)域上，便可以方便地把它化成我們熟知的定積分，對此大家可以繼續(xù)進行探討.

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