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    探索多層問(wèn)題,透析數(shù)學(xué)模型

    2020-01-03 10:04:06楊薇
    錦繡·下旬刊 2020年12期
    關(guān)鍵詞:數(shù)量關(guān)系雞兔同籠數(shù)學(xué)建模

    楊薇

    摘要:在現(xiàn)今的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)試教育中,解應(yīng)用題或叫解決問(wèn)題是不少學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)。解應(yīng)用題的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)建模,而建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是對(duì)問(wèn)題模型的建造,相當(dāng)于應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系模型的確立。本文以四年級(jí)數(shù)學(xué)廣角中雞兔同籠典型問(wèn)題作為案例,探索以建立數(shù)學(xué)模型為主的課堂。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)建模;數(shù)量關(guān)系;雞兔同籠;應(yīng)用題

    學(xué)生錯(cuò)解應(yīng)用題,離不開(kāi)一些主要原因。例如,學(xué)生對(duì)題目文字、詞語(yǔ)的意思把握不足、生活視野狹窄和缺乏思維想象導(dǎo)致無(wú)法審題或?qū)忣}偏差,分析問(wèn)題時(shí)難以準(zhǔn)確提取數(shù)量關(guān)系。課堂上沒(méi)有完全理解問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系,知其然而不知其所以然,靠發(fā)揮記憶力來(lái)推敲類(lèi)似題目的數(shù)量關(guān)系。

    有些教師會(huì)以不同的數(shù)量關(guān)系劃分成不同類(lèi)型的應(yīng)用題針對(duì)性地進(jìn)行大量訓(xùn)練,這樣很容易把題目“講死”,學(xué)生思維固化,以記憶解題方法為主,不利于思維發(fā)展。

    一、解應(yīng)用題的本質(zhì)——數(shù)學(xué)建模

    這是某些專(zhuān)家畫(huà)出的數(shù)學(xué)建模流程圖(如圖1),這過(guò)程跟解應(yīng)用題非常相似,實(shí)際上就是小學(xué)生解應(yīng)用題時(shí)的步驟:審題、分析數(shù)量關(guān)系、列式計(jì)算或列方程解答、驗(yàn)證。而建模中的“數(shù)學(xué)問(wèn)題(模型)”這個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)跟應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系的分析和確立,都是用一些文字、符號(hào)或圖形表達(dá)這個(gè)關(guān)系而形成的模型,其本質(zhì)沒(méi)有區(qū)別。所以進(jìn)一步研究怎樣把數(shù)學(xué)建模思想融合到解決問(wèn)題里去,對(duì)提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力有一定的研究?jī)r(jià)值。

    不管是何種因素導(dǎo)致學(xué)生解題能力低下,也應(yīng)歸咎于學(xué)生和教師對(duì)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系理解不深刻。解應(yīng)用題時(shí),有正確完整的數(shù)量關(guān)系模型才可以解答問(wèn)題,不論是列算式還是列方程。因此,重視數(shù)量關(guān)系的分析、提取和運(yùn)用是提高學(xué)生應(yīng)用題解題能力的核心。

    二、探索利用建模思想解決問(wèn)題的課堂案例

    在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題范疇里,用特定的數(shù)量關(guān)系或特殊步驟解決問(wèn)題,我們把這種類(lèi)型題目叫做典型應(yīng)用題,因其有較大的研究?jī)r(jià)值,我們把這些應(yīng)用題歸類(lèi)成各種“問(wèn)題”。下面以四年級(jí)下學(xué)期的“雞兔同籠”問(wèn)題作為案例來(lái)解析建立數(shù)學(xué)模型教學(xué)方法。

    課上,教師引入一類(lèi)型問(wèn)題“籠子里有若干只雞和兔,從上面數(shù),有8個(gè)頭,從下面數(shù),有26只腳。雞和兔各有多少只?”基于建模的一般步驟,我把探索這一問(wèn)題的課堂實(shí)踐分成幾個(gè)必要環(huán)節(jié)展開(kāi):分析問(wèn)題、構(gòu)建模型、驗(yàn)證模型。

    1、分析問(wèn)題

    高等數(shù)學(xué)里的數(shù)學(xué)建模的第一步是對(duì)象屬性的分析和背景調(diào)查,而小學(xué)數(shù)學(xué)里面,解題第一步是審題,這里可以理解成后者是前者的初級(jí)版。審題時(shí)除了讀出隱藏信息(例:兔有4腳,雞有2腳),還需要初步感知條件與問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)性(例:只有知其中一個(gè)只數(shù)能求另一個(gè)只數(shù),只數(shù)與腳數(shù)有關(guān),怎樣通過(guò)腳數(shù)來(lái)確定只數(shù)是關(guān)鍵)。對(duì)于“雞兔同籠”問(wèn)題學(xué)生主要通過(guò)畫(huà)圖、枚舉甚至利用表格有序列舉等方法去分析(如圖2、3),因此教師應(yīng)鼓勵(lì)并給予充分時(shí)間組織學(xué)生動(dòng)手試探,經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程充分感知后,教師引導(dǎo)指出:不管用什么方法,實(shí)際解題方法都離不開(kāi)“假設(shè)”。有人一次假設(shè)就碰對(duì),有些則假設(shè)多次,并引導(dǎo)學(xué)生往有沒(méi)有更方便快捷的方法來(lái)解決這種問(wèn)題的方向思考。

    這里的分析問(wèn)題環(huán)節(jié),不是單純地思考分析,簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)是通過(guò)動(dòng)手來(lái)思考分析,不斷累積這種基于數(shù)形結(jié)合的動(dòng)手操作的經(jīng)驗(yàn)來(lái)構(gòu)建想象。這里,畫(huà)圖法是最好的體現(xiàn)。同時(shí)讓學(xué)生感受到當(dāng)數(shù)據(jù)變大時(shí),粗糙的假設(shè)方法是行不通的,需要產(chǎn)生一種相對(duì)固定的解決辦法,也就必須找到固定的數(shù)量關(guān)系來(lái)建立模型。

    2、構(gòu)建模型

    (1)從假設(shè)中感知規(guī)律

    在充分體驗(yàn)假設(shè)后,教師根據(jù)實(shí)際情況可設(shè)問(wèn)“在這個(gè)過(guò)程里說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)”。學(xué)生不管是哪種假設(shè),當(dāng)他們直觀感受到當(dāng)假設(shè)得到的總腳數(shù)比26(實(shí)際總腳數(shù))多時(shí),說(shuō)明假設(shè)兔的頭數(shù)多了,反之。教師接著引導(dǎo)指出:假設(shè)總腳數(shù)與26的差值與兔多出的只數(shù)有關(guān)。然后進(jìn)一步觀察列表(如圖4)中數(shù)據(jù)探索這種關(guān)系(如圖5)。

    學(xué)生不難發(fā)現(xiàn),每多一只兔,總腳數(shù)就多2;也就是總腳數(shù)多了2n,兔假設(shè)只數(shù)多n,反之。所以不管任何一種假設(shè),只要知道與實(shí)際腳數(shù)相差多少,就能推出兔的假設(shè)只數(shù)比實(shí)際相差多少,我們可以利用這個(gè)關(guān)系來(lái)確定兔的實(shí)際只數(shù),從而確定雞只數(shù)。

    (2)提取算式,初構(gòu)模型

    在基于學(xué)生不同的假設(shè)上,老師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生列算式表達(dá)出不同的假設(shè),嘗試在這些不同的“假設(shè)”算式里找到模型的影子。

    例:當(dāng)雞只有0只,那么兔就有8只:………假設(shè)的腳數(shù)比實(shí)際多

    總腳數(shù)比實(shí)際多6,那么兔的假設(shè)只數(shù)多了,說(shuō)明兔實(shí)際有,雞有。如此類(lèi)推。

    ………………

    不管學(xué)生如何假設(shè)兔只數(shù)和雞只數(shù),都有能通過(guò)雞與兔的總腳數(shù)和實(shí)際總腳數(shù)的差值除以“2”來(lái)求出多了幾只兔或少了幾只兔,從而對(duì)應(yīng)求出雞兔的實(shí)際只數(shù)。

    (3)深入?yún)⑴c模型建構(gòu),發(fā)掘模型本質(zhì)

    上一個(gè)例題是以動(dòng)物雞和兔為情景,為了更接近雞兔同籠問(wèn)題的本質(zhì),我們可以對(duì)上一個(gè)例題的對(duì)象和情景稍作更改,以達(dá)到變式效果。可舉出第二例題:停車(chē)場(chǎng)里有10個(gè)停車(chē)位,里面停滿(mǎn)了三輪車(chē)和摩托車(chē),每個(gè)停車(chē)位只能停一輛車(chē),如果這里所有車(chē)一共有23個(gè)輪子,問(wèn)三輪車(chē)和摩托車(chē)各有多少輛?

    學(xué)生基于第一例題的探究經(jīng)驗(yàn),不難看出“10個(gè)車(chē)位”相當(dāng)于雞兔總只數(shù),求摩托車(chē)和三輪車(chē)各有的輛數(shù)相當(dāng)于求雞兔各有的只數(shù)。只要套用剛才的模型就能解決問(wèn)題,這里學(xué)生會(huì)遇到每多一輛三輪車(chē),總輪數(shù)還是否多2的問(wèn)題,也就需要重新理清“為什么每多一只兔總腳數(shù)就會(huì)多2”的問(wèn)題。設(shè)計(jì)例題二的原因不單是讓學(xué)生體驗(yàn)情景對(duì)象上的變化,更重要的是讓學(xué)生體驗(yàn)問(wèn)題的本質(zhì)和模型的由來(lái)。

    通過(guò)綜合兩個(gè)例題,進(jìn)一步理解模型本質(zhì),教師可以引導(dǎo)學(xué)生用自己表達(dá)方式。如果用對(duì)象1和對(duì)象2比喻成剛才例題中的雞和兔、三輪車(chē)和摩托車(chē),用對(duì)象1和對(duì)象2的總腳數(shù)比喻成雞兔總腳數(shù)、三輪車(chē)和摩托車(chē)總輪子數(shù),要求的是對(duì)象1和對(duì)象2各有的只數(shù),那么模型就有一個(gè)比較具體的表達(dá),隨意假設(shè)對(duì)象1和對(duì)象2相應(yīng)只數(shù)后所得模型:

    (4)識(shí)破變式,看透問(wèn)題本質(zhì)

    經(jīng)歷第二例題的情景與對(duì)象的變化,創(chuàng)設(shè)例題三以求突破。例三:六1班全班同學(xué)參與植樹(shù)節(jié)活動(dòng),全班共20人,每個(gè)男生負(fù)責(zé)植樹(shù)5棵;每個(gè)女生負(fù)責(zé)植樹(shù)3棵,一共要種76棵樹(shù),問(wèn)男女生各多少人?相對(duì)例一、二里面的對(duì)象屬性,“三輪車(chē)和摩托車(chē)”與“雞與兔”具有明顯的相似性,學(xué)生需要辨識(shí)例三是否屬于同類(lèi)型題目。

    隨意假設(shè)有19個(gè)男生,1個(gè)女生,那么就有19×5+1×3=98棵樹(shù),比實(shí)際植樹(shù)數(shù)多,說(shuō)明男生假設(shè)得多了,女生少了,下面需要知道男生和女生人數(shù)與實(shí)際相差多少個(gè),利用模型解決問(wèn)題:

    所以男生實(shí)際人數(shù):19-11=8(人)女生實(shí)際人數(shù):1+11=12(人)

    通過(guò)多層例題,看透一個(gè)本質(zhì),強(qiáng)化對(duì)模型應(yīng)用,深刻理解了雞兔同籠模型的意義和由來(lái),培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維。

    3、驗(yàn)證模型

    驗(yàn)證模型也是數(shù)學(xué)建模里面的一個(gè)必要環(huán)節(jié),不單只是建設(shè)模型,驗(yàn)證和校對(duì)模型同樣是確立模型的關(guān)鍵,在小學(xué)數(shù)學(xué)的解決問(wèn)題里,“驗(yàn)證模型”更像是在檢查解決過(guò)程的合理性,驗(yàn)算結(jié)果的正確性,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行二次思考與回顧。例如對(duì)例題三的驗(yàn)證:8×5+12×3=76(棵),也可以通過(guò)列表和觀察數(shù)據(jù)的變化,判斷出“總腳數(shù)差值”、“單個(gè)腳數(shù)差值”和“與實(shí)際相差的只數(shù)”三者關(guān)系是否符合模型要求。

    學(xué)生經(jīng)歷參與模型的建立,理解模型由來(lái),看透問(wèn)題的本質(zhì),最終理清特定問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的意義,深刻體驗(yàn)?zāi)撤N數(shù)量關(guān)系與特定問(wèn)題的關(guān)聯(lián)性。而非強(qiáng)調(diào)借助記憶力辨別類(lèi)型題目對(duì)應(yīng)類(lèi)型模型,從而缺乏對(duì)數(shù)量關(guān)系摸索的深度參與。

    三、雞兔同籠的建模教學(xué)方法與傳統(tǒng)的對(duì)比

    由于學(xué)生在四年級(jí)還沒(méi)有接觸列方程求解,教師在教授“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)多用抬腿法、假設(shè)法等方法講解題目,用假設(shè)時(shí)一般會(huì)直接假設(shè)全部是兔或全部是雞的只數(shù),如果當(dāng)堂教師沒(méi)有揭示為什么要這樣假設(shè),學(xué)生解題時(shí)容易局限于形式套路,著重發(fā)揮記憶和重復(fù)訓(xùn)練的效果來(lái)達(dá)到解題目的,沒(méi)有真正看透假設(shè)法的本質(zhì)意義。利用數(shù)學(xué)建模的方法則是著重于引領(lǐng)學(xué)生觀察和分析問(wèn)題,通過(guò)多層問(wèn)題的探索而確立數(shù)學(xué)模型,發(fā)掘問(wèn)題的本質(zhì)。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程的時(shí)長(zhǎng)可能會(huì)超出一般課時(shí)的規(guī)定,但這樣能夠充分開(kāi)發(fā)揮學(xué)生的思維深度,重視建立數(shù)量關(guān)系模型,把握解決問(wèn)題的核心。

    參考文獻(xiàn)

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    [3]楊貴玲.拓展思維,強(qiáng)化實(shí)踐——小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題的教學(xué)策略[J].課程教育研究,2017(30)

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