高三數(shù)學復習要立足基礎(chǔ)才能厚積薄發(fā)

劉光輝

[摘? 要] 高中數(shù)學復習是一個“厚積薄發(fā)”的過程，只有經(jīng)歷了前期基礎(chǔ)知識的積累，后期才能從容自如地靈活運用. 然高三復習階段部分師生只重視“解題”，忽視了基本知識、基本方法的提煉、加工、總結(jié)和整理，這樣不利于學生知識體系的建構(gòu)，勢必會影響知識遷移效果. 為此，在教學中應重視基礎(chǔ)、重視方法、重視規(guī)律，以此推動解題效率提升.

[關(guān)鍵詞] 厚積薄發(fā);知識體系;解題效率

為了在高考中取得好成績，高三數(shù)學課堂重點圍繞著運算能力和解題能力這兩大主題展開. 為了提升學生的運算能力和解題能力，部分教師依然重復著“題海戰(zhàn)術(shù)”，學生被大量的例習題包圍著，課堂上充斥了消極、煩躁的情緒，課堂沉悶、壓抑，課堂效率低. 究其原因，就是教學的重心放置于重復的機械練習，忽視了對題目的思考、總結(jié)和提煉，僅僅就題論題的講解，對知識的把握缺乏整體性和系統(tǒng)性，致使課堂看起來內(nèi)容豐富，然因?qū)W生缺少深層的理解，所以收獲甚微. 數(shù)學課堂往往給人淺嘗輒止的感覺，只有簡單評價，而沒有更深層的引導，也沒有對知識的拓展和延伸，使數(shù)學課堂過于碎片化，影響了知識遷移能力的提升，故解題能力也難以提升. 為此，高三階段必須重視系統(tǒng)化和專題化的訓練，讓學生對數(shù)學形成基本的認識，通過幾根主線將知識點進行串聯(lián)，使知識脈絡更加清晰化、系統(tǒng)化. 同時，注意挖掘知識點之間的聯(lián)系，這樣將線編織成網(wǎng)，使知識體系更加全面化、系統(tǒng)化、簡潔化，為解題能力的提升做好充分的知識儲備.

筆者就如何提高復習質(zhì)量、提升復習效率，有幾點自己的粗淺認識，供參考.

[?] 掌握基礎(chǔ)知識

眾所周知，好的基礎(chǔ)決定上層建筑，數(shù)學學習亦是如此，然部分師生往往認為“刷題”更高效. 不可否認，短期內(nèi)這種方法是有效的. 熟悉的題型、熟悉的知識點更容易提升學生的自信心，然高考主要考查學生的綜合知識應用能力，題目往往靈活多變，各知識點更是緊密相連. 若單純地“刷題”而不重視基礎(chǔ)的積累，那么當學生遇到陌生題時就會感覺束手無策. 為此，若想提高解題效率，學生對基礎(chǔ)知識必須有一個整體的、全面的認識，知曉每個章節(jié)的大綱，當涉及該板塊內(nèi)容時可迅速調(diào)用相關(guān)的概念、公式、通法形成解題思路，進而順利解決問題.

例1 若已知點P（x，y）的坐標滿足

x-y<0，

x-y+2<0，

y≥0，則的取值范圍為________.

解析：本題的難點是對中分子幾何意義的解讀，考慮到點P（x，y）到直線x+y=0的距離h=，即

x+y=2h;又設點P（x，y）到原點的距離d=，所以=

（x+y≥0），

-

（x+y<0），這樣問題就能順利求解了.

顯然本題是一道線性規(guī)劃問題，數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的一個通法，尋找的幾何意義是解決本題的重點. 在解題時不是急于求解，而是先觀察題目的特點，根據(jù)知識的“落腳點”尋找恰當?shù)摹扒腥朦c”，進而調(diào)用已有經(jīng)驗尋找解題的突破口. 例如，本題的“落腳點”即為的幾何意義. 又如，在研究三角函數(shù)問題時，無論是研究周期問題還是單調(diào)區(qū)間問題，抑或是對稱中心坐標、對稱軸方程等問題，首先必須將已知函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為形如y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos（ωx+φ）+B的形式，那么此類問題的“落腳點”即為一般形式的轉(zhuǎn)化. 又如，用導數(shù)研究函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性時往往是f′（x）與“0”相比較，那么“0”就是解決此類問題的“落腳點”. 只有對這些基礎(chǔ)知識有著清晰的認識，解題時才能結(jié)合已知條件將未知向熟悉的模式轉(zhuǎn)化，進而提高解題效率.

[?] 掌握基本方法

有了基礎(chǔ)知識的儲備后也要重視基本方法的積累，若僅重視知識的積累而不掌握解題方法，那么學生很難找到解題方向，也就無從求解. 例如，解析幾何是高考的重要考點，也是高中數(shù)學的一個難點，解決此類問題往往涉及交點問題，交點在坐標系中又以“坐標”表示，自然“坐標”在解題時就顯得尤為重要了，“坐標法”就是解決此類問題的一個基本方法.

例2 已知實數(shù)p>0，直線3x-4y+2p=0與拋物線x2=2py和圓x2+

y-

2=有四個交點，從左到右依次為A，B，C，D，則的值為________.

解析：解決此題的關(guān)鍵是如何把用A，B，C，D的坐標表示出來. 設A（x，y），B（x，y），C（x，y），D（x，y），則有如下幾個解題方法：

解法1：分別求出A，B，C，D的坐標，進而得到的值. 顯然，分別求出四個坐標，運算太復雜，難以求解.

解法2：根據(jù)弦長公式，設直線的斜率為k，則AB=

x

-x·，CD=

x

-x·，則===. 雖然解法2的解題思路比解法1更加清晰，然若想最終求解依然需要求出四點的橫坐標，運算量依然很大.

解法3：通過前面兩個解題思路可以發(fā)現(xiàn)，若直接采用“坐標法”顯然求解困難，因此需要重新審題，挖掘已知中的“隱含條件”. 結(jié)合已知及圖1可知，圓x2+

y-

=的圓心為

0，

，拋物線x2=2py的焦點坐標為

0，

，直線3x-4y+2p=0與y軸的交點為

0，

，可見三點為同一點，即點F. 過點A，D分別作拋物線準線y=-的垂線AM，DN，由拋物線的定義得AF=AM，DF=DN，所以=====，這樣接下來求解就水到渠成了.

本題的求解過程圍繞“坐標法”展開，先用通法進行分析，找到合適的出發(fā)點，通過一步步分析找到最優(yōu)解決方案. 考試時若遇到計算過程較復雜的題目，可以嘗試換個思路，重新審視已知，如本題中的解法3就是因解法1和解法2運算復雜而換取的思路. 要知道，高考題量大，若計算消耗太多的時間勢必會影響整體成績. 因此，在解題時一定要認真審題，充分挖掘已知進而順利求解.

[?] 掌握基本規(guī)律

數(shù)學是一門規(guī)律性較強的學科，這也是數(shù)學的魅力所在，掌握數(shù)學的基本規(guī)律不僅能給解題帶來便利，而且有利于提升學習興趣. 例如，對二次函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸、最值等基本規(guī)律學生了如指掌，那么在三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）中又能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？解題時往往需要從這些一般化的規(guī)律入手，逐漸推廣，進而借助于“雙基”逐層推進，最終成功解決問題.

例3 已知a，b是實數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的導函數(shù)，若f′（x）g′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致.

（1）設a>0，若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致，求實數(shù)b的取值范圍;

（2）設a<0，且a≠b，若以a，b為端點的開區(qū)間在函數(shù)f（x）和g（x）上單調(diào)性一致，求a-b的最大值.

本題是一道立意新穎的新定義題目，學生需要自學掌握定義的內(nèi)涵和外延，通過挖掘隱含的規(guī)律而找到解題的突破口. 解決此類問題需要學生較強的分析能力，要學會抓住問題的本質(zhì)特征，進而利用已有經(jīng)驗解決問題.

第（1）問較簡單，其主要根據(jù)新定義研究動態(tài)函數(shù)單調(diào)性的問題，求解得b≥2，這里就不再詳細闡述了. 第（2）問中因含a，b兩個參數(shù)，其參數(shù)的大小關(guān)系未指定，因此在求解時需要分類進行討論，本題較難.

第（2）問求解時一般有以下兩種解題思路：

思路1：應用含參不等式的思路進行求解，將條件轉(zhuǎn)化為以a，b為端點的開區(qū)間不等式f′（x）g′（x）≥0恒成立.

思路2：將條件轉(zhuǎn)化為以a，b為端點的開區(qū)間不等式組f′（x）≥0，

g′（x）≥0或f′（x）≤0，

g′（x）≤0恒成立.

因為a，b的大小不定，因此無論應用上面哪種解題思路都需要對參數(shù)大小進行分類討論，即分成a>b和b>a. 不僅如此，若繼續(xù)思考會發(fā)現(xiàn)接下來依然需要進行分類討論，如對于思路1，光討論b>a還不夠，還要繼續(xù)分類，即分成b>0和b≤0進行討論;當b≤0時，還要分成0≤-≤和->進行討論;當b<a時，要成分0≤-≤和 ->進行討論. 雖然問題越來越清晰，但分層較多，大大增加了出錯的概率，那么思路2是否可以有效避免較多的分類呢？

由已知可得f′（x）g′（x）=（3x2+a）·（2x+b）=6x3+3bx2+2ax+ab是關(guān)于x的三次函數(shù). 記h（x）=f′（x）g′（x），則h′（x）=18x2+6bx+2a. 因為a<0，則h′（x）=0有兩個異號的實根x，x，不妨設x<0，x>0，得0∈（a，b）.

又f′（0）g′（0）=ab<0，所以函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間（a，b）上不是單調(diào)性一致的，因此b≤0. 所以，以a，b為端點的開區(qū)間應該在x的左側(cè).

因為以a，b為端點的開區(qū)間在x的左側(cè)，所以在這個開區(qū)間內(nèi)，以a，b為端點的開區(qū)間上h（x）圖像的開口方向是向下的，這樣h（a）≥0且h（b）≥0就等價于h（x）≥0在以a，b為端點的開區(qū)間上恒成立. 由h（a）≥0且h（b）≥0結(jié)合a<0，b≤0，解得-≤a<0，-≤b≤0，所以a-b≤. 當a=，b=0時，f′（x）g′（x）=6x

x2-

，從而當x∈

-，0

時，f′（x）·g′（x）>0，故函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間

-，0

上單調(diào)性一致，因此a-b的最大值為.

本題求解時就是從三次函數(shù)f（x）的三次項系數(shù)入手，當a>0時，函數(shù)的圖像是先增后減再增的，而a<0時正好相反，利用開口方向來研究閉區(qū)間的最值成了解題的關(guān)鍵. 三次函數(shù)就是在二次函數(shù)的基礎(chǔ)上再推廣的，因此，在學習時要善于在原有知識的基礎(chǔ)上進一步延伸和拓展，注意基本規(guī)律的挖掘和拓展，進而發(fā)散思維廣度，拓寬視野.

總之，要學好數(shù)學就要對數(shù)學各章節(jié)、各分支形成清晰的知識脈絡，對學過的知識進行反復推敲、提煉、消化，進而理清問題的來龍去脈，使各知識點融會貫通.