基于ARMA模型分析的股價預(yù)測
——以中信銀行為例

謝海寧，尚 園

（武漢紡織大學(xué)，武漢430200）

1984年，我國第一支股票公開發(fā)行預(yù)示著我國金融市場迎來了改革開放，進入21世紀以后，股票投資已經(jīng)成為國民理財不可缺少的一部分。對于投資者來說，能夠預(yù)測股票未來發(fā)展趨勢對于其投資理財規(guī)劃具有非常深刻的意義。伴隨著股票市場的繁榮，股民們不斷尋求各種辦法判斷選擇最優(yōu)的投資組合，追求最大化自身收益。近年來，國內(nèi)外都由此興起了數(shù)家圍繞著股票價格進行預(yù)測的社交平臺，網(wǎng)友們自由發(fā)表自己預(yù)測股票價格走勢的經(jīng)驗，學(xué)者們也在積極研究更加精準有效的股票價格預(yù)測算法。本文將主要對ARMA模型進行介紹，以中信銀行歷史數(shù)據(jù)建模，建立股票價格預(yù)測模型預(yù)測其未來一個月中信銀行（股票代碼：601988）的股票價格走勢。然后對ARMA模型預(yù)測效果進行評析，通過分析結(jié)果為投資者提供一些合理的投資建議。

一、ARMA模型介紹及建模流程

（一）ARMA模型

自回歸滑動平均模型（簡稱：ARMA模型）是一種隨機時間序列分析模型，由博克斯（Box）和詹金斯（Jenkins）于20世紀70年代創(chuàng)立。它的基本思想是：某些時間序列是依賴于時間的一族隨機變量，構(gòu)成該時序的單個序列值雖然具有不確定性，但是整個序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進行近似描述。[1]在ARMA模型中，對一組指標序列進行預(yù)測時，主要利用過去值、當期值以及滯后隨機擾動項的加權(quán)建模，從而解釋并且預(yù)測時間序列的變化發(fā)展規(guī)律。[2]建立ARMA模型進行時間序列預(yù)測分析時，該時間序列必須是平穩(wěn)的。

假設(shè)yt是一個平穩(wěn)的時間序列，對yt時間序列進行分類討論：

當yt是它的前期值和隨機項的線性函數(shù)時，就被稱為p階自回歸模型，記AR（p）。表達式為：

其中，βi（i=1，2，3，...，p）是待估系數(shù)，εt為白噪聲。

當yt是當期值和前期值的誤差和隨機項的線性函數(shù)時，就被稱為q階移動平均模型，記MA（q）。表達式為：

其中，α1（i=1，2，3，...，p）是待估系數(shù)。

當yt是當期值和前期值的誤差與隨機項，以及前期值的線性函數(shù)，就被稱為自回歸移動平均序列，記作ARMA（p，q）。表達式為：

其中，β1（i=1，2，3，...，p）和α1（i=1，2，3，...，p）都是待估系數(shù)，{εi}是為白噪聲序列，通俗點來說，ARMA（p，q）就是一個“混合”模型，將AR模型和MA模型結(jié)合在一起，使得所使用的參數(shù)個數(shù)最少。

（二）ARMA模型的識別與估計

首先，ARMA模型建立的前提條件是目標時間序列必須滿足平穩(wěn)性和白噪聲的要求。這里采用ADF檢驗研究序列的平穩(wěn)性，觀察殘差序列的自相關(guān)圖判斷是否是白噪聲。其次，針對模型的選擇和定階問題，這里通過自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，以及AIC準則和SC準則來確定。

1.ADF檢驗

ADF檢驗又稱為單位根檢驗，如果被檢測的序列中存在單位根，則該序列非平穩(wěn)。表達式為：

原假設(shè)：序列至少存在一個單位根；備擇假設(shè)：沒有一個單位根。

若p＞=α，則不能拒絕原假設(shè)，即存在單位根，序列非平穩(wěn)；反之拒絕原假設(shè)，即不存在單位根，序列平穩(wěn)。

2.白噪聲檢驗

白噪聲就是均值為零、方差為常數(shù)的穩(wěn)定隨機序列，計量模型中的隨機誤差項必須是白噪聲，模型才有經(jīng)濟意義。表達式為：

H1：至少存在某個ρk≠0

原假設(shè)：自相關(guān)函數(shù)均為零，滯后m階序列值相互獨立；備擇假設(shè)：至少存在一個自相關(guān)函數(shù)不為零，滯后m期的序列之間存在相關(guān)性。

當p＞=α時，則不能拒絕原假設(shè)，序列為白噪聲；反之拒絕原假設(shè)，序列為非白噪聲。

3.根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)的方法

AR（p）的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，即會按指數(shù)衰減，或者正弦振蕩衰減，偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，截尾處為自回歸階數(shù)；MA（q）模型的自相關(guān)函數(shù)是截尾的，截尾處對應(yīng)移動平均階數(shù)q，偏自相關(guān)函數(shù)則是拖尾的；ARMA（p，q）模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，自相關(guān)函數(shù)是q-p步拖尾，偏自相關(guān)函數(shù)是p-q步拖尾。[3]

4.AIC信息準則（Akaike information criterion）和SC準則（Schwarz Criterion）

AIC和SC的指標都是負數(shù)，一般值越小表示模型越精簡（絕對值越大越好）。通過逐期增加模型的滯后變量建立模型，比較每個模型中AIC和SC統(tǒng)計量，取最小的統(tǒng)計量對應(yīng)的滯后期數(shù)作為模型的階數(shù)。

（三）建模流程介紹

博克斯（Box）和詹金斯（Jenkins）針對ARMA模型的選擇時提倡應(yīng)該遵循節(jié)儉性（parsimony）原則，并提出建模過程的系統(tǒng)方法論，稱為Box-Jenkins方法論。該方法包括四個階段：第一，通過ADF檢驗判斷觀測序列是否是平穩(wěn)序列，若不是，可通過差分變換將觀測序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列；第二，根據(jù)自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)以及AIC準則和SC準則判斷出合適的ARMA模型（確定階數(shù)）用于分析；第三，利用最小二乘法估計模型的未知參數(shù)；第四，檢驗構(gòu)建的ARMA模型是否滿足模型的假設(shè)前提，其殘差序列是否是白噪聲，若不是或者存在一定的偏差，模型則需要修正；第五，使用得到的模型進行預(yù)測。

二、實證分析及預(yù)測

（一）數(shù)據(jù)來源

本文數(shù)據(jù)來源于同花順財經(jīng)網(wǎng)，選取中信銀行2018年1月1日至2019年12月31日的股票日開盤價數(shù)據(jù)，共計487個樣本數(shù)據(jù)。接下來基于ARMA模型的理論下，利用EViews 8對中信銀行的未來股票價格走勢進行分析預(yù)測。

（二）實證分析

1.檢驗原始數(shù)據(jù)序列是否為平穩(wěn)序列

根據(jù)ARMA模型建模的前提要求，對原始樣本數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗，將中信銀行487組樣本數(shù)據(jù)導(dǎo)入EViews 8軟件中，并且畫出其時間序列圖，觀察圖形走勢，可以初步判斷該時間序列是非平穩(wěn)的，進一步對原始數(shù)據(jù)選擇含有截距項和趨勢項的ADF檢驗，其t值為-1.444275，p值為0.8468接近于1，t值的絕對值小于1%的顯著性水平下的臨界值，所以不拒絕原假設(shè)，該時間序列為非平穩(wěn)序列。再次對該時間序列進行含有截距項、不含有截距項和趨勢項兩種情況的ADF檢驗，發(fā)現(xiàn)結(jié)果均不拒絕原假設(shè)，該時間序列是非平穩(wěn)序列。

對該時間序列進行平穩(wěn)化處理，對原始數(shù)據(jù)進行一階差分，一階差分后的時間序列圖以及ADF檢驗，t值為-21.68150，其絕對值大于1%的顯著性水平下的臨界值，p值為0，所以拒絕原假設(shè)，一階差分后的序列為平穩(wěn)序列。接下來以一階差分后的序列進行建模分析。

2.確定最優(yōu)的ARMA模型

觀察原始數(shù)據(jù)的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，可見原始數(shù)據(jù)的相關(guān)圖衰減很慢，因此原始數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)序列，畫出一階差分后的DY序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，發(fā)現(xiàn)DY序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)迅速趨于0，圍繞著0上下波動，并且均存在明顯的拖尾，依據(jù)模型識別的基本原則，將建立ARMA模型。

通過圖6可知模型中的p、q值可選取1或者2，因此我們選取ARMA（1，1）、ARMA（1，2）、ARMA（2，1）、ARMA（2，2）四種模型進行比較，根據(jù)AIC準則和SC準則選取最優(yōu)模型，結(jié)果顯示ARMA（2，2）模型的AIC和SC統(tǒng)計量最小，該模型最優(yōu)。

表1 AIC/SC/HQ統(tǒng)計量結(jié)果匯總表

3.建立ARMA（2，2）模型和參數(shù)估計

觀察ARMA（2，2）模型的估計結(jié)果，可以看出參數(shù)估計值中AR（1）、AR（2）、MA（1）、MA（1）的系數(shù)具有統(tǒng)計意義，而常數(shù)項的p值為0.31，并不顯著，故剔除。剔除之后，重新對模型ARMA（2，2）進行估計和檢驗，結(jié)果表明：模型的系數(shù)依然顯著，但是AIC和SC統(tǒng)計量增大，故為了擬合效果更好選擇保留常數(shù)項。因此，模型表達式可以寫成：

其中，εt為殘差序列。

4.對模型進行檢驗

一是白噪聲檢驗。接下來對參數(shù)估計后的殘差序列進行白噪聲檢驗，若殘差序列為非白噪聲序列，則建立的AEMA模型仍然需要改進。畫出殘差序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，可知該殘差序列的p值都大于0.05，這表明所有的Q值都小于0.05的顯著性水平下的卡方分布臨界值，且自相關(guān)與偏自相關(guān)圖顯著趨于0，即殘差序列不存在自相關(guān)，該序列是白噪聲序列。綜上所述，ARMA（2，2）模型符合要求，可以運用ARMA（2，2）模型對中信銀行未來股價進行預(yù)測。二是模型的預(yù)測。利用AEMA（2，2）模型對中信銀行2019年12月31日后的22天的股票價格進行預(yù)測，動態(tài)預(yù)測幾乎成一條直線，故選擇采取靜態(tài)預(yù)測。將預(yù)測結(jié)果與實際的股票價格進行對比，擬合趨勢圖可以看出，其實預(yù)測結(jié)果還是較好的，尤其是前15日，后5日的預(yù)測值與實際值的誤差偏離比較大，因此，模型對短期內(nèi)的股票價格走勢預(yù)測能夠得到一個比較好的結(jié)果，但是就長期而言，影響股票價格波動的因素太多，比如宏觀政策調(diào)控（例如《中華人民共和國外商投資法》正式發(fā)布），重大突發(fā)性事件的發(fā)生（例如新冠肺炎）等，ARMA模型就無法對股票價格進行準確的預(yù)測了。

三、結(jié)論

（一）ARMA模型的優(yōu)缺點

1.優(yōu)點

圖1預(yù)測結(jié)果與實際值對比圖

通過對中信銀行2018年1月1日至2019年12月31日共計487組開盤價數(shù)據(jù)預(yù)處理，利用一階差分后的序列構(gòu)建AEMA（2，2）模型，利用靜態(tài)預(yù)測方法預(yù)測未來22日的股票價格走勢，預(yù)測結(jié)果總體較好。股票市場瞬息萬變，其走勢一般是非平穩(wěn)的，通過ARMA模型預(yù)測短期內(nèi)的股票價格具有一定的實踐意義，投資者可以根據(jù)模型預(yù)測結(jié)果判斷某只股票短期內(nèi)的盈虧變化，有助于幫助投資者進行理性理財。

2.缺點

ARMA模型針對的是平穩(wěn)序列，在對數(shù)據(jù)的處理方面可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，股票每日開盤價收集會存在一些缺失值，也會導(dǎo)致模型擬合時存在誤差；其次，現(xiàn)實中有諸多因素可能導(dǎo)致股票價格變化，而且AEMA模型針對短期預(yù)測具有較好的效果，不能對股票長期走勢進行預(yù)測。

（二）研究結(jié)論及建議

本文對中信銀行（股票代碼：601988）2018年1月1日至2019年12月31日期間共計487組每日開盤價數(shù)據(jù)進行處理，以該組數(shù)據(jù)一階差分后的序列為建?；A(chǔ)構(gòu)建ARMA模型，對中信銀行未來22日的股票價格進行估計。結(jié)果顯示前15日預(yù)測值與實際值誤差偏離較小，后5日誤差偏離顯著較大。因此，得出結(jié)論，ARMA模型針對短期內(nèi)的股票價格進行預(yù)測，具有較大的參考價值，但是就長期而言，預(yù)測結(jié)果具有較大偏差。投資者在進行投資決策時，可以利用ARMA模型對短期內(nèi)的股票價格進行預(yù)測，制定短期投資計劃。就長期而言，更需要不斷探索更加準確的股票價格預(yù)測模型。