利用三面角的正、余弦定理解高考題

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍 宇

在近年的高考試題中,立體幾何常常以錐體或柱體為載體,命題呈現(xiàn)一題兩法的新格局(即可用綜合法解也可用向量法解).一直以來,立體幾何解答題都是讓廣大學(xué)生又喜又憂.為之而喜是因為只要能建立空間直角坐標(biāo)系,基本上可以處理立體幾何絕大多數(shù)的問題;為之而憂是因為對于不規(guī)則圖形來講,建系的難度較大,問題不能得到很好的解決,而運用傳統(tǒng)方法,要作學(xué)生較為畏懼的多條輔助線.本文以三面角為基本圖形,研究其正、余弦定理,并將其應(yīng)用到解高考題中.

三面角的相關(guān)定理直接討論“面角”以及“二面角”的關(guān)系,與高考題?？嫉亩娼菃栴}更為契合,求解過程更為直接.本文以三道高考題為例,簡介對應(yīng)定理的使用方法.

一、三面角的定義及正、余弦定理

三面角是由具有公共端點的不共面的三條射線,以及任兩條射線所成的角的內(nèi)部構(gòu)成的空間圖形.公共端點稱為三面角的頂點,射線稱為三面角的棱,兩棱所夾的平面部分(角)稱為三面角的面(角).過每一條棱的兩個面所成的二面角稱為三面角的二面角.

三面角的余弦定理三面角的一個面角的余弦,等于其余兩個面角的余弦之積加上這兩個面角的正弦與這兩個面角所夾的二面角的余弦的連乘積.設(shè)三個面角V-ABC的三個面角的度量分別為α,β,γ,它們所對的二面角分別為：A,B,C,則有：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

圖1

證明本文僅證明α,β,γ及A,B,C都為銳角時的情況.如圖1,不妨設(shè)BA⊥VA,CA⊥VA,則∠BAC即為定理中的∠A.在RtΔV AB中,可得同理在RtΔV AC中,可得在ΔV BC中利用余弦定理可得：在ΔABC中利用余弦定理可得：代入公式可得：上兩式相加可得：cosβcosγ+sinβsinγcosA=分別在RtΔV AB及RtΔV AC中利用勾股定理即可得結(jié)論成立.

三面角的正弦定理三面角的三個面角的正弦與它們所對的三個二面角的正弦成比例.設(shè)三面角V-ABC的三個面角分別為α,β,γ,它們所對的二面角分別為：A,B,C,則.

讀者可參考上面關(guān)于余弦定理的證明過程證明正弦定理,本文不在贅述.除了該證明方法外,還可以點V為球心,1為半徑構(gòu)造單位球,三面角的三條棱與單位球的交點分別為A′,B′,C′.三面角的正、余弦定理與球面 ΔA′B′C′的正、余弦定理等價.關(guān)于球面三角形的正、余弦定理,讀者可參看文[1],利用向量的內(nèi)積,叉乘積,混合積等公式進(jìn)行證明.

二、三面角正、余弦定理的應(yīng)用

題目1(2017年新課標(biāo)1卷第18題)如圖2,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且 ∠BAP= ∠CDP=90°.

(1)略;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

分析本題的難度并不大,利用綜合法及向量法都可以求解,但都涉及到一些輔助線.接下來本文借助上面的正、余弦定理求解.

解析在三面角B-APC中,設(shè)面角∠ABC,∠PBA,∠PBC分別用α,β,γ表示,其所對的二面角分別用P,C,A表示.根據(jù)題干信息可得：α=.根據(jù)上文中的余弦定理cosP=,代入數(shù)據(jù)可得：即二面角A-PB-C的余弦值為.

圖2

圖3

題目2(2016年新課標(biāo)1卷第18題)如圖3,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

(1)略;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

分析本題的難點在于題干中兩個二面角的使用,且學(xué)生對于圖形的識別較為困難,建系的難度較大.接下來,本文借助三面角的正、余弦定理求解.

解析在三面角B-AEC中,設(shè)面角∠ABE,∠ABC,∠EBC分別用α,β,γ表示,其所對的二面角分別用C,E,A表示.根據(jù)題干信息可得：α=.根據(jù)上文中的余弦定理cos∠ABC=cosβ=cosαcosγ+sinαsinγcosE,代入數(shù)據(jù)可得：.利用三面角的正弦定理：觀察圖像可知即二面角A-PB-C的平面角為鈍角,所以該二面角的余弦值為.

題目3(2018年新課標(biāo)2卷第20題)如圖4,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.

(1)略;(2)若點M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.

圖4

在文[2]中,筆者詳細(xì)的分析過該問題,從多角度探究過該問題的解法并提出了該問題的一般結(jié)論.接下來,本文以三面角的正、余弦定理為基礎(chǔ)來解決該問題.

該問題是一個逆向求解過程,點M是未知點,需要通過二面角的信息求解點M的信息,這正是本題最大的難點.用綜合法涉及到構(gòu)造輔助線,利用向量法涉及到較大地運算量.

為了敘述方便,在三面角A-PMC中,設(shè)三個面角：∠MAC,∠MAP,∠PAC分別用α,β,γ表示,其所對的二面角分別用P,C,M表示.根據(jù)題干信息,則有.

利用三面角的余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosP,代入數(shù)據(jù)可得：

將(1)式代入(2)式可得：

聯(lián)立(2),(3)式,可得：(2sinα)2+(2cosα-3sinα)2=1?tanα=同時可得：tanβ=2,即α,β恰好互余,代回正弦定理可得：,即二面角P-AM-C的正弦值為.

圖5

結(jié)合向量法,如圖5,以O(shè)為坐標(biāo)原點,的方向為x軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.單獨考慮平面xOy,直線AM的方程為：y=2x-2,直線BC的方程為：x+y=2.聯(lián)立兩直線方程可得點M的坐標(biāo)可得：余下的便是常規(guī)的解題步驟,具體環(huán)節(jié),讀者可參看文[2].

能夠利用三面角正、余弦定理解決的高考題很多,本文不在一一列舉.總之,利用三面角的正、余弦定理直接研究面角與二面角的關(guān)系,繞過了復(fù)雜的運算過程.與單純運用向量法相比,極大地減少了運算量.而弊端在于兩個定理涉及的未知量較多,對于初學(xué)者而言,不夠熟悉.但讀者可以參考三角形的正、余弦定理進(jìn)行類比記憶.