含兩個絕對值不等式的恒成立問題的研究*

浙江省寧波效實(shí)中學(xué)(315012) 童益民

文[1]對含一個絕對值不等式的恒成立問題進(jìn)行了等價(jià)性研究,本文試圖先通過含兩個絕對值不等式的等價(jià)變換,轉(zhuǎn)化到含一個絕對值不等式,從而去解決含兩個絕對值不等式的恒成立問題.

一、等價(jià)性結(jié)論

引理1關(guān)于x的不等式|f(x)|＜g(x)成立的充要條件是-g(x)＜f(x)＜g(x)成立.

引理2關(guān)于x的不等式|f(x)|＞g(x)成立的充要條件是f(x)＞g(x)或f(x)＜-g(x)成立.

結(jié)論1關(guān)于x的不等式|f(x)|+|g(x)|＜h(x)成立的充要條件是|f(x)+g(x)|＜h(x)且|f(x)-g(x)|＜h(x)成立.

證明根據(jù)引理1,

結(jié)論2關(guān)于x的不等式|f(x)|+|g(x)|＞h(x)成立的充要條件是|f(x)+g(x)|＞h(x)或|f(x)-g(x)|＞h(x)成立.

證明根據(jù)引理2,

|f(x)|+|g(x)|＞h(x)?|f(x)|＞-|g(x)|+h(x)?f(x)＞-|g(x)|+h(x)或f(x)＜|g(x)|-h(x)?|g(x)|＞-f(x)+h(x)或|g(x)|＞f(x)+h(x)?g(x)＞-f(x)+h(x)或g(x)＜f(x)-h(x)

或g(x)＞f(x)+h(x)或g(x)＜-f(x)-h(x)?f(x)+g(x)＞h(x)或f(x)+g(x)＜-h(x)

或f(x)-g(x)＞h(x)或f(x)-g(x)＜-h(x)?|f(x)+g(x)|＞h(x)或|f(x)-g(x)|＞h(x).

結(jié)論3(1)關(guān)于x的不等式|f(x)|-|g(x)|＜h(x)成立的充要條件是|g(x)|＞f(x)-h(x)且|g(x)|＞-f(x)-h(x)成立.

(2)關(guān)于x的不等式|f(x)|-|g(x)|＜h(x)成立的充要條件是|f(x)|＜g(x)+h(x)或|f(x)|＜-g(x)+h(x)成立.

證明(1)根據(jù)引理1,

(2)根據(jù)引理2,

研究關(guān)于x的不等式|f(x)|-|g(x)|＞h(x)成立的充要條件,可轉(zhuǎn)化為|g(x)|-|f(x)|＜-h(x),即為結(jié)論3的結(jié)構(gòu).

二、等價(jià)性應(yīng)用

題1已知關(guān)于x的不等式對x∈[0,2]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析根據(jù)結(jié)論1,因?yàn)閷∈[0,2]恒成立,所以10對x∈[0,2]恒成立,所以對x∈[0,2]恒成立且對x∈[0,2]恒成立,所以-10＜x2-2x-2a＜10對x∈[0,2]恒成立,所以x2-2x-2a＞-10對x∈[0,2]恒成立且x2-2x-2a＜10對x∈[0,2]恒成立,所以a＜且a＞-5,所以-5＜a＜.

點(diǎn)題不等式|f(x)|+|g(x)|＜h(x)對x∈D恒成立等價(jià)于|f(x)+g(x)|＜h(x)且|f(x)-g(x)|＜h(x)對x∈D恒成立,等價(jià)于|f(x)+g(x)|＜h(x)對x∈D恒成立且|f(x)-g(x)|＜h(x)對x∈D恒成立,最后等價(jià)于f(x)+g(x)＜h(x)對x∈D恒成立且f(x)+g(x)＞-h(x)對x∈D恒成立且f(x)-g(x)＜h(x)對x∈D恒成立且f(x)-g(x)＞-h(x)對x∈D恒成立,所以解決不等式|f(x)|+|g(x)|＜h(x)對x∈D恒成立問題還是比較容易的.

題2已知關(guān)于x的不等式對恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析根據(jù)結(jié)論2,因?yàn)椴坏仁綄∈[0,2]恒成立,所以10對x∈[0,2]恒成立,因?yàn)閤 ∈ [0, 2] 恒成立,所以只能對x∈[0,2]恒成立,根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]的定理1,得x2-2x-2a≥10對x∈[0,2]恒成立或x2-2x-2a≤-10對x∈[0,2]恒成立,所以a≤或a≥5.

點(diǎn)題不等式|f(x)|+|g(x)|≥h(x)對x∈D恒成立等價(jià)于|f(x)+g(x)|≥h(x)或|f(x)-g(x)|≥h(x)對x∈D恒成立,其不等價(jià)于|f(x)+g(x)|≥h(x)對x∈D恒成立或|f(x)-g(x)|≥h(x)對x∈D恒成立,所以解決不等式|f(x)|+|g(x)|≥h(x)對x∈D恒成立問題是比較麻煩的,為了處理起來容易一點(diǎn),在出題上會有一定的局限性.

題3已知關(guān)于x的不等式對x∈[0,2]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析根據(jù)結(jié)論3,因?yàn)椴坏仁綄∈[0,2]恒成立,所以且對x∈[0,2]恒成立,所以對x∈[0,2]恒成立,所以對x∈[0,2]恒成立且對x∈[0,2]恒成立,先做對x∈[0,2]恒成立,因?yàn)?x≥0,根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]的定理2,得x2-a＞3x對x∈[0,2]恒成立或x2-a＜-3x對x∈[0,2]恒成立,所以或a＞10.再做對x∈[0,2]恒成立,

①當(dāng)a＜時,因?yàn)?x-2a＞0,根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]的定理2,得x2-a＞-x-2a對x∈[0,2]恒成立或x2-a＜x+2a對x∈[0,2]恒成立,所以a＞0或a＞,即a＞0,因?yàn)?所以a不存在.

②當(dāng)a＞10時,因?yàn)?x-2a＜0,所以-x-2a恒成立,所以a＞10.

綜上：由①②得a＞10.

點(diǎn)題不等式|f(x)|-|g(x)|＜h(x)對x∈D恒成立等價(jià)于|g(x)|＞f(x)-h(x)且|g(x)|＞-f(x)-h(x)對x∈D恒成立,也可以等價(jià)于|f(x)|＜g(x)+h(x)或|f(x)|＜-g(x)+h(x)對x∈D恒成立,但優(yōu)先使用等價(jià)于|g(x)|＞f(x)-h(x)且|g(x)|＞-f(x)-h(x)對x∈D恒成立,因?yàn)楹笳卟蝗菀滋幚怼盎颉钡膯栴},而前者等價(jià)于|g(x)|＞f(x)-h(x)對x∈D恒成立且|g(x)|＞-f(x)-h(x)對x∈D恒成立,可參考文獻(xiàn)[1],對|g(x)|＞f(x)-h(x)對x∈D恒成立與|g(x)|＞-f(x)-h(x)對x∈D恒成立分別進(jìn)行處理,當(dāng)然對這兩個恒成立的處理,可能會遇到一定的難度,為了處理起來容易一點(diǎn),這時在出題上也會導(dǎo)致一定的局限性.其實(shí)不等式對x∈D 恒成立的處理,等價(jià)于x2-a＞-x-2a或x2-a＜x+2a對x∈D恒成立,等價(jià)于a＞-x2-x或?qū)∈D恒成立,通過圖象可得a＞0,再根據(jù)對x∈D恒成立得到的或a＞10,也可得到答案a＞10.

三、總結(jié)

對于含兩個絕對值不等式的恒成立問題,利用等價(jià)變換后是去處理含一個絕對值不等式的恒成立問題,如果先掌握了怎么處理含一個絕對值不等式的恒成立問題,那么處理含兩個絕對值不等式的恒成立問題可以變得直接容易一點(diǎn).對于題1的類型,解題中始終是在處理“且”的恒成立問題,即條件p(x)且條件q(x)恒成立,因?yàn)榈葍r(jià)于條件p(x)恒成立且條件q(x)恒成立,是比較容易解決的;而對于題2與題3的類型,最后都要處理“或”的恒成立問題,即條件p(x)或條件q(x)恒成立,因?yàn)椴坏葍r(jià)于條件p(x)恒成立或條件q(x)恒成立,處理起來是比較困難的,這時在出題上會有一定的局限性,使解題變得容易一點(diǎn).這時可能會想到通過條件p(x)或條件q(x)恒成立的否定形式,變?yōu)闂l件非p(x)且條件非q(x)有解,再求其補(bǔ)集,因?yàn)槠浞穸ㄐ问讲坏葍r(jià)于條件非p(x)有解且條件非q(x)有解,所以處理起來同樣還是很困難的.