分離函數(shù)法在函數(shù)問題中的應(yīng)用

廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)(518040) 高軍

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題,解題的關(guān)鍵是掌握基本的技巧和方法.在解題教學(xué)中,教師要引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探究,勇于創(chuàng)新,積極發(fā)現(xiàn)有效的解題技巧與方法,創(chuàng)造性的解決問題.本文主要通過一道函數(shù)題的解法探究與變式探究,多視角介紹分離函數(shù)法在函數(shù)問題中的應(yīng)用.所謂分離函數(shù)法,是指我們?cè)诮忸}過程中結(jié)合問題實(shí)際,將同一關(guān)系F(x,a)中的兩類不同函數(shù)分離開來,讓研究的問題變得直觀,讓研究的過程變得簡(jiǎn)單,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化陌生為熟悉的目的.

一、問題及解法探究

題目函數(shù)f(x)=lnx-ax2+x有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(0,1) B.(-∞,1) C.D.

解法探究?jī)煞N思路與四種解法.思路一,將f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),直接研究f(x)圖象即可.思路二,進(jìn)行函數(shù)的分離,將f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

解法1(整體函數(shù)法)函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=,若a≤0,因?yàn)閤＞0,所以f′(x)＞0,故f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,不合題意;若a＞0,則存在x0＞0,使得f′(x0)=0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)＞0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f′(x)＜0,故f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增,在(x0,+∞)單調(diào)遞減.又當(dāng)x→0時(shí),f(x)→-∞,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→-∞,要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則滿足f(x)的最大值f(x0)=lnx0-ax20+x0＞0,又故f(x0)=lnx0+x0-1＞0,易得：x0＞1.又0＜a=故0＜a＜1.

解法2(分離常數(shù)函數(shù))由f(x)=0得：a=,設(shè)g(x)=,g′(x)=,由g′(x)＞0 得0＜x＜1,由g′(x)＜0得x＞1,故g(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減,故g(x)的最大值為g(1)=1.當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→0,當(dāng)x→0時(shí),g(x)→-∞,結(jié)合兩函數(shù)y=a及y=g(x)圖象,如圖1所示,要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),故0＜a＜1.

圖1

圖2

解法3(分離一次函數(shù))由f(x)=0得設(shè),由h′(x)＞0得0＜x＜e,由h′(x)＜0得x＞e,故h(x)在 (0,e)單調(diào)遞增,在(e,+∞)單調(diào)遞減.當(dāng)x→+∞時(shí),h(x)→0,當(dāng)x→0時(shí),h(x)→-∞,又直線y=ax-1恒過定點(diǎn)(0,-1),設(shè)直線y=ax-1與曲線y=h(x)相切于點(diǎn)(x0,y0)(0＜x＜e),則,解得x0=1,y0=0.故當(dāng)直線y=ax-1與曲線y=h(x)相切時(shí),a=1,又x∈(0,e)時(shí),y=h(x)的二階導(dǎo)數(shù)恒大于0,故y=h(x)為向上凸函數(shù),結(jié)合兩函數(shù)圖象,如圖2所示,易得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈(0,1).

圖3

解法4(分離對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù))由f(x)=0得lnx=ax2-x,由函數(shù)y=lnx與y=ax2-x圖象可知,要使函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則a＞0,當(dāng)兩函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0,y0)有公切線時(shí),則易解得：x0=1,y0=0,a=1.結(jié)合兩函數(shù)凹凸性及圖象,如圖3所示,要使兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則,即0＜a＜1.

由上述過程可知,解法1的解題過程較長(zhǎng),解題層級(jí)較多,需要分類討論,且過程較為復(fù)雜.解法2、3、4體現(xiàn)了分離函數(shù)法在解決函數(shù)問題中的應(yīng)用,解法的本質(zhì)是將所要解決的問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線、曲線與曲線的位置關(guān)系問題,讓問題變得直觀清晰,解法變得簡(jiǎn)單明了.

二、變式探究

變式一(1)函數(shù)f(x)=alnx-x2+x有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____;

(2)函數(shù)f(x)=lnx-x2+ax有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

思路以上變式是題目中參數(shù)a的位置發(fā)生變化而產(chǎn)生的,其解決問題的方法與題目的解法探究一致,限于篇幅,解析過程從略,讀者不妨試一試.答案：(1)(0,1)∪(1,+∞);(2)(1,+∞).

變式二設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x3+2ex2-ax,若函數(shù)f(x)至少存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

思路函數(shù)f(x)由指數(shù)函數(shù)與三次函數(shù)組合而成,直接用導(dǎo)數(shù)工具研究f(x)的零點(diǎn),過程較為復(fù)雜.換個(gè)思路,將其中的二次函數(shù)分離出來,化陌生為熟悉,把f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù),問題迎刃而解.

解析由題意得易得函數(shù)在(0,e)單調(diào)遞增,在(e,+∞)單調(diào)遞減.故g(x)在x=e取極大值函數(shù)h(x)=x2-2ex+a在x=e取極小值h(e)=-e2+a,結(jié)合兩函數(shù)圖象,可得h(e)≤g(e),故.

變式三已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)＞0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思路本題考查不等式恒成立問題,首先分離函數(shù)y=lnx,使lnx前的系數(shù)變?yōu)槌?shù),不再含有x,然后構(gòu)造函數(shù)對(duì)其求導(dǎo),可使導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)潔有效,達(dá)到求解目的.

解析當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),由f(x)＞0分離指數(shù)函數(shù)得：,則

(1)當(dāng)a≤2時(shí),x∈(1,+∞),x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1＞0,故g′(x)＞0,g(x)在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞增;因此g(x)＞0;

(2)當(dāng)a＞2時(shí),令g′(x)=0得：x1=a-1-由x2＞1及x1x2=1得x1＜1,故當(dāng)x∈(1,x2),g′(x)＜0,g(x)在x∈(1,x2)單調(diào)遞減,因此g(x)＜0.綜上,a的取值范圍是(-∞,2].

變式四已知方程xex=x+2在區(qū)間[k,k+1]上有解,求整數(shù)k的值.

思路本題實(shí)際上是探求函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間,這就要先探求零點(diǎn)的個(gè)數(shù),因而必須先考慮函數(shù)的單調(diào)性.如果令函數(shù)f(x)=xex-x-2,則其單調(diào)性不易判斷,問題解決困難,因此必須變形,如何變形呢?將指數(shù)函數(shù)ex分離出來,這一方法確實(shí)使問題變得十分簡(jiǎn)單,而其他方法則很難解決.

解析顯然x=0不是原方程的解,則原方程等價(jià)于令所以f(x)在 (-∞,0)和 (0,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(1)=e-3＜0,f(2)=e2-2＞0,f(-3)=e-3-＜0,f(-2)=e-2＞0,所以方程xex=x+2有且只有兩個(gè)實(shí)根,且分別在區(qū)間[1,2]和[-3,-2]上,所以k=1或k=-3.

變式五證明.

思路分離初等函數(shù)的組合函數(shù).函數(shù)等式左邊式子同時(shí)出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù),直接構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值會(huì)顯得比較困難,變換思路,經(jīng)過變式將指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)分別位于不等式兩邊,化難為易.

解析原不等式等價(jià)于xlnx＞xe-x-,易得g(x)=xlnx在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+∞)上的最小值為易得在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,從而h(x)在(0,+∞)上的最大值為;但兩個(gè)函數(shù)取最值時(shí)的自變量不同,因此等號(hào)取不到,從而得證.

變式六已知x＞0,求證：(x+1)ex+x2+3x-4-2lnx＞0.

思路不等式左邊的式子是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的四則混合運(yùn)算,形式較為復(fù)雜,如果直接求導(dǎo),證明左邊函數(shù)的最小值大于0,過程會(huì)陷入困難的境地.變換思路,通過分離初等函數(shù)的組合函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)初等函數(shù)最值的大小比較,問題會(huì)變得簡(jiǎn)單,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.

解析原不等式等價(jià)于(x+1)ex-4＞2lnx-x2-3x,設(shè)g(x)=(x+1)ex-4,易得g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,故g(x)＞g(0)=-3;設(shè)h(x)=2lnx-x2-3x,易得h(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.從而h(x)在(0,+∞)上的最大值為又顯然28＞e5,故,原命題得證.

三、延伸思考

素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題重視學(xué)科觀念、規(guī)律的考查,考查學(xué)生扎實(shí)的學(xué)科基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生去形成思維中的慣性觀念,并且能夠合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.分離函數(shù)法本質(zhì)是將要解決問題進(jìn)行了合理轉(zhuǎn)化,應(yīng)把握的原則：分離后的函數(shù)的圖象便于研究,讓要解決的問題變得簡(jiǎn)單、清晰.有些問題可綜合應(yīng)用多種分離函數(shù)的方法來求解,因直線的特殊性,故我們常常優(yōu)先考慮分離參數(shù),然后考慮分離一次函數(shù),最后才是想到分離曲線函數(shù).

素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題注重科學(xué)探究能力的考查,研究開發(fā)探究型、開放型試題,發(fā)揮各種題型的組合功能,拓展學(xué)生思維空間.注重一題多解,一題多法,拓寬學(xué)生的解題思路.當(dāng)然并不是所有函數(shù)問題都可用分離函數(shù)法來解決,在具體的解題實(shí)踐中,教師須引導(dǎo)學(xué)生靈活選用適當(dāng)方法求解,不斷提高學(xué)生解題能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、應(yīng)用探究

1.(2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ理科第21題改編)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.(答案：(0,+∞).提示：分離常數(shù)函數(shù)或一次函數(shù))

3.(2011年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ文科第21題改編)已知函數(shù)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0.當(dāng)x＞0,且x?=1時(shí),求證(提示：分離對(duì)數(shù)函數(shù))

4.(2018年廣東五校聯(lián)考理數(shù)第21題改編)設(shè)f(x)=(x-1)2ex,判斷并證明是否存在區(qū)間[a,b](a＞1),使函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b].(答案：不存在.提示：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根)