與三角形四心相關(guān)的一個向量性質(zhì)

山東省泰安市寧陽第一中學(xué)(271400) 劉才華

對于三角形ABC所在平面上一點P,記f(P)=當(dāng)點P為三角形的四心時,有如下優(yōu)美而有趣的.

性質(zhì)在三角形ABC中,G,O,I,H分別為其重心,外心,內(nèi)心,垂心,則：

(1)f(G)≤f(O)≤f(H);

(2)f(G)≤f(I)≤f(H).

為了行文方便,我們約定△ABC的角A,B,C對應(yīng)的三邊分別為BC=a,CA=b,AB=c,外接圓,內(nèi)切圓的半徑分別為R,r,面積為S,半周長為p.

性質(zhì)的證明用到如下：

引理1若G為三角形ABC的重心,則f(G)=

證明如圖1,設(shè)直線AG,BG,CG與對邊的交點分別為D,E,F,由

同理

從而

又cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC,則f(G)=(1+cosAcosBcosC).

圖1

圖2

引理2若O為三角形ABC的外心,則f(O)=-R2(1+4cosAcosBcosC).

證明(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時,如圖 2,由∠BOC=2A得同理有R2cos2B,則f(O)=R2(cos2A+cos2B+cos2C).由cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC得f(O)=-R2(1+4cosAcosBcosC);

(2)當(dāng)△ABC為直角三角形時,不妨設(shè)A為直角,則O為線段BC的中點有f(O)=-R2(1+4cosAcosBcosC);

(3)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,不妨設(shè)A為鈍角,=R2cos(2C+2B)=R2cos2(π-A)=R2cos2A,有f(O)=-R2(1+4cosAcosBcosC).綜上得f(O)=-R2(1+4cosAcosBcosC).

引理3若H為三角形ABC的垂心,則f(H)=-12R2cosAcosBcosC.

圖3

證明(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時,如圖3,設(shè)直線AH,BH,CH與對邊的交點分別為L,M,N,由三角形的垂心到各頂點的距離與對應(yīng)頂點內(nèi)角余弦值的比均等于三角形外接圓的直徑得|AH|=2R|cosA|,|BH|=2R|cosB|,|CH|=2R|cosC|.由A,N,H,M四點共圓得∠BHC=∠MHN=π-A,則

(2)當(dāng)△ABC為直角三角形時,不妨設(shè)A為直角,則H與A重合.0,有f(H)=-12R2cosAcosBcosC;

(3)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,不妨設(shè)A為鈍角,

有f(H)=-12R2cosAcosBcosC.綜上得f(H)=-12R2cosAcosBcosC.

圖4

引理4若I為三角形ABC的內(nèi)心,則f(I)=-2Rr(3-cosA-cosB-cosC).

證明如圖4,過點I作ID⊥BC于點D,則由得.

性質(zhì)的證明(1)由不等式cosAcosBcosC≤得由引理1和引理2得f(G)≤f(O);又由cosAcosBcosC≤得1+4cosAcosBcosC≥12cosAcosBcosC,由引理2和引理3得f(O)≤f(H),于是f(G)≤f(O)≤f(H).

(2)由引理1、引理4及cosAcosBcosC=和得

而上述是著名的Gerretsen不等式,從而f(G)≤f(I);又由引理3、引理4及cosAcosBcosC=和cosA+cosB+cosC=得

由R≥2r得4R2+4Rr+3r2≤由Gerretsen不等式p2≤4R2+4Rr+3r2得p2≤,所以f(I)≤f(H),故f(G)≤f(I)≤f(H).

但是f(O)和f(I)之間沒有大小關(guān)系.例如：三角形ABC中,a=3,b=4,c=5,則,cosC=0,從而f(O)=-R2(1+4cosAcosBcosC)=,f(I)=-2Rr(3-cosA-cosB-cosC)=-8,有f(O)＞f(I);由性質(zhì)證明知f(O)=-R2(1+4cosAcosBcosC)=-(p2-3R2-4Rr-r2),f(I)=-2Rr(3-cosA-cosB-cosC)=-2r(2R-r).三角形ABC中,當(dāng)b=c=1,a→0時,有f(O)＜f(I).

本文承蒙福建省福州市第二十四中學(xué)楊學(xué)枝先生的指點幫助,在此致謝.