微積分的基礎(chǔ)概念——極限

【摘要】高等數(shù)學(xué)用一句話來概括就是：極限為源，函數(shù)為體，算子（微分、積分等）為用。所以極限的概念和性質(zhì)，可以說是整個(gè)微積分知識(shí)體系的基礎(chǔ)。如果不能深刻體會(huì)極限的思想，將會(huì)把整個(gè)微積分知識(shí)體系學(xué)得支離破碎。本文將從概念和運(yùn)算兩個(gè)方面詳細(xì)闡述極限思想的重要性。

【關(guān)鍵詞】一元函數(shù)極限? 連續(xù)性? 導(dǎo)數(shù)? 微積分

【中圖分類號(hào)】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）49-0149-01

微積分發(fā)展至今，具有一套成體系的推理和運(yùn)算，由求極限到求導(dǎo)數(shù)、求微分、求積分，層層深入，互相關(guān)聯(lián)。而極限的概念和性質(zhì)，可以說是整個(gè)微積分知識(shí)體系的基礎(chǔ)。

函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，即自變量集合到因變量集合的對(duì)應(yīng)，也就是A隨B變，A就是B的函數(shù)。而極限就是在自變量某種變化的運(yùn)動(dòng)形勢(shì)下對(duì)因變量變化的最終趨勢(shì)的描述，它是微積分里的一個(gè)基礎(chǔ)概念，也是研究微積分的重要工具和指導(dǎo)思想。[1]

古希臘哲學(xué)家芝諾曾提出四個(gè)悖論對(duì)數(shù)學(xué)乃至哲學(xué)都產(chǎn)生了巨大的影響。其中芝諾的第二個(gè)悖論是“阿基里斯（荷馬史詩中的善跑者）永遠(yuǎn)追不上一只烏龜”。若烏龜?shù)钠鹋茳c(diǎn)領(lǐng)先阿基里斯一段距離，阿基里斯要想追上烏龜必須首先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，而在這段時(shí)間里烏龜又向前爬過了一段距離，此過程如此進(jìn)行下去直至無窮，所以阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。事實(shí)上我們知道：能追上?？稍撊绾谓忉屵@個(gè)悖論呢？這個(gè)問題讓人想不通的根本所在是，它是無限的，人不能用有限的想象去解釋無窮的世界。 [1]下面，讓我們從了解極限的概念開始，去走進(jìn)無窮的世界。

極限的概念，從感性語言上去理解，是一種漸近變化趨勢(shì)。比如無窮數(shù)列{an}的極限，是指當(dāng)它的項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，它的通項(xiàng)an無限接近的某一個(gè)確定的常數(shù)a，記作an=a，也稱數(shù)列{an}收斂于a。 [1]這就涉及到兩個(gè)集合之間的變化和關(guān)聯(lián)：一個(gè)集合是自然數(shù)集，作為無窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù);而另一個(gè)集合是無窮數(shù)列所對(duì)應(yīng)的集合。當(dāng)項(xiàng)數(shù)漸漸增大時(shí)，數(shù)列會(huì)無限趨近于極限值a。所以求極限是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，最終求出的極限值是數(shù)列無限接近但永遠(yuǎn)也取不到的值。理性語言描述此動(dòng)態(tài)過程時(shí)，便要借助于鄰域：當(dāng)n無限增大時(shí)，可假設(shè)存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有|an-a|<ε（ε是任意小的正數(shù)），即所有N項(xiàng)后面的數(shù)列的項(xiàng)都會(huì)落在以a為中心，以ε為半徑的鄰域內(nèi)，鄰域半徑ε趨近于0時(shí)，數(shù)列就無限接近于此鄰域的中心a。

發(fā)展到一元函數(shù)的極限，就要比數(shù)列的極限復(fù)雜得多。因?yàn)閿?shù)列極限里的項(xiàng)數(shù)n只能由1漸變到+∞，且n只能取正整數(shù)，正整數(shù)沒有緊密連續(xù)性，所以只有一種漸變趨勢(shì)：n→ +∞，an→a即an=a。但一元函數(shù)的自變量x可以取到無限多的緊密連續(xù)的實(shí)數(shù)，所以就有了六種變化趨勢(shì)：（1）當(dāng)x→+∞時(shí);（2）當(dāng)x→-∞時(shí);（3）當(dāng)x→∞時(shí);（4）當(dāng)x→x0+時(shí);（5）當(dāng)x→x0-時(shí);（6）當(dāng)x→x0時(shí)。[2]每一種變化趨勢(shì)，也都可以用鄰域來描述，比如第（6）種，可以描述為：當(dāng)|x-x0|<ε（ε為任意小正數(shù)）時(shí)，即自變量x落在以x0為中心，以ε為半徑的鄰域內(nèi)時(shí)，有|f（x）-A6|<δ（δ也為任意小正數(shù)），即因變量f（x）會(huì)落在以A6為中心，以δ為半徑的鄰域內(nèi)，則可記作f（x）=A6。其余五種情況亦可如此借助于鄰域來描述。有了這種描述的方法后，即可把動(dòng)態(tài)的漸變過程予以量化，給人以一種嚴(yán)密的邏輯推理過程。

由一元函數(shù)的極限再發(fā)展到二元函數(shù)、多元函數(shù)的極限，自變量的增多致使?jié)u變路徑更加復(fù)雜，本文將不予考慮，只考慮一元函數(shù)的極限。

極限的這種動(dòng)態(tài)漸變過程，奠定了整個(gè)微積分體系都是一種動(dòng)態(tài)的漸變過程，比如無窮小量和無窮大量并不是定量，它們是在某種變化趨勢(shì)下極限為零或者無窮的函數(shù)。函數(shù)在某一點(diǎn)（x0，f（x0））上連續(xù)，只需滿足f（x）=f（x0）即可。導(dǎo)數(shù)的定義為自變量增量分之因變量增量比值的極限，即f '（x0）==，導(dǎo)數(shù)的實(shí)際含義即為“變化率”，幾何含義為（x0，f（x0））點(diǎn)處的切線斜率。微分的實(shí)際含義為“增量的主要部分”，簡稱“增量主部”，Δy=AΔx+ο（Δx），dy=AΔx，則dy≈Δy，彼此之間相差一個(gè)高階無窮小，而高階無窮小的定義又來自于極限。積分的含義更是離不開極限，定積分就是一個(gè)和式的極限f（x）dx=f（ξi）Δxi，幾何含義是由x=a，x=b，y=f（x）和x軸所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，引申出來可以解決一切“不規(guī)則”事物的求和型運(yùn)算。這一切無不是一個(gè)漸近的動(dòng)態(tài)過程。所以整個(gè)微積分都是建立在極限的漸近動(dòng)態(tài)思想之上的，如果對(duì)極限理解不好，將直接影響到高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果和深度。[3]

而且各個(gè)基礎(chǔ)概念之間互相關(guān)聯(lián)，本質(zhì)上很統(tǒng)一。在極限的運(yùn)算過程中，也有所體現(xiàn)。比如當(dāng)計(jì)算在x0點(diǎn)處的極限時(shí)，能直接代入x0值就直接代入，如（x2+x+1）=12+1+1=3，這是因?yàn)槌醯群瘮?shù)f（x）=x2+x+1在x0=1處是連續(xù)的（由其圖像可直觀看出），再結(jié)合連續(xù)的定義式f（x）=f（x0），可得到極限計(jì)算的代值法。若遇到分式求極限正好與導(dǎo)數(shù)定義相符，則可用求導(dǎo)公式來計(jì)算，如=（）'|x=4=|x=4=，反之求導(dǎo)公式也都是由求Δy與Δx比值極限推出來的。而在涉及到變上限（或變下限、變上下限）定積分時(shí)，更是考查對(duì)整個(gè)微積分整體思想的理解，如===0，求極限、求導(dǎo)和積分的問題在此題中得到了完美的結(jié)合！

綜上所述，極限是整個(gè)微積分的基礎(chǔ)，如果不能深刻體會(huì)極限的思想，將會(huì)把整個(gè)微積分知識(shí)體系學(xué)得支離破碎。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹治清.高等數(shù)學(xué)[M].上海交通大學(xué)出版社，2017：12.

[2]郭運(yùn)瑞.高等數(shù)學(xué)[M].西安交通大學(xué)出版社，2010：12.

[3]吳贛昌.微積分（上）[M].中國人民大學(xué)出版社，2011：1.

作者簡介：

劉明月（1981.08-），女，漢族，河北衡水人，碩士研究生，講師，研究方向：微分方程及其應(yīng)用。