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    淺談?dòng)脭?shù)學(xué)思想方法來解決經(jīng)濟(jì)生活中利潤類問題

    2019-12-25 10:00:08崔園
    新教育時(shí)代·教師版 2019年31期
    關(guān)鍵詞:方程思想函數(shù)思想線性規(guī)劃

    崔園

    摘 要:本文探討了如何用數(shù)學(xué)思想方法來解決經(jīng)濟(jì)生活中碰到的求利潤,最大利潤這樣的一類應(yīng)用題。用方程思想可解決售價(jià)進(jìn)價(jià)是不變的一類問題,而當(dāng)售價(jià)進(jìn)價(jià)變化時(shí),我們則往往用函數(shù)思想來解決,且這兩類問題中的銷售量是常量或只是一般變量;而當(dāng)問題進(jìn)一步復(fù)雜化時(shí),生產(chǎn)多種產(chǎn)品,出現(xiàn)多個(gè)變量時(shí),我們可以用線性規(guī)劃的知識(shí)來求解;最后當(dāng)問題中的利潤或銷售量不是一般變量而是隨機(jī)變量時(shí),我們則往往會(huì)用數(shù)學(xué)期望等相關(guān)知識(shí)來解決。

    關(guān)鍵詞:方程思想 函數(shù)思想 線性規(guī)劃 數(shù)學(xué)期望 (最大)利潤

    利潤類應(yīng)用題是人們在生產(chǎn)、生活、管理等各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中經(jīng)常遇到的問題,是一個(gè)社會(huì)人尤其是商業(yè)人需要去關(guān)注的問題。作為職業(yè)學(xué)校的數(shù)學(xué)教師,有責(zé)任將數(shù)學(xué)與專業(yè)有機(jī)地結(jié)合起來,讓數(shù)學(xué)為專業(yè)服務(wù),所以有必要將利潤類應(yīng)用題滲透到數(shù)學(xué)課堂中,甚至有必要將它作為一個(gè)模塊編入校本教材中。下面本人淺談一下如何用數(shù)學(xué)思想方法來解決經(jīng)濟(jì)生活中的利潤類問題。

    一、用方程思想解決利潤類問題

    用方程思想解決的是最簡單的一類利潤、折扣問題,這是小學(xué)初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的應(yīng)用題。解決這一類問題關(guān)鍵在于看清題意,列出方程,當(dāng)然也可以是不等式,但其本質(zhì)不變都是簡單的套用公式類的題目。核心公式:利潤=收入-成本。下面我們來看幾個(gè)例子:

    (一)一種商品,甲店進(jìn)貨價(jià)比乙店便宜12%,兩店同樣按20%的利潤定價(jià),這樣1件商品乙店比甲店多收入24元,甲店的定價(jià)是多少元?

    (二)某公司經(jīng)營甲、乙兩種商品,每件甲種商品進(jìn)價(jià)12萬元,售價(jià)14.5萬元,每件乙種商品進(jìn)價(jià)8萬元,售價(jià)10萬元,且進(jìn)價(jià)售價(jià)不變,現(xiàn)準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種商品共20件,所用資金不低于190萬元,不高于200萬元。求(1)該公司有哪幾種進(jìn)貨方案?(2)該公司采用哪種進(jìn)貨方案可獲得最大利潤?最大利潤多少?

    解決這一類應(yīng)用題,其核心思想都是方程,本質(zhì)是對成本、收入、利潤這些基本概念的理解,并列出相關(guān)式子。

    二、用函數(shù)思想解決利潤類問題

    所有商人追求的都是利潤最大化,而最大利潤的獲得往往只有兩種途徑:一是薄利多銷,二是提高售價(jià)。薄利未必多銷,因?yàn)樾枨笥邢?;而提高售價(jià)又往往會(huì)使銷量減少。所以如何定好價(jià),是經(jīng)營決策中一個(gè)非常重要的問題。所以問題較第一類復(fù)雜了些,第一類問題中的售價(jià)進(jìn)價(jià)往往是不變的,那么當(dāng)售價(jià)進(jìn)價(jià)變化時(shí)我們又該如何來解決呢?下面我們來具體看幾例。

    (一)某商店購進(jìn)一批單價(jià)為40元的商品,如果以60元的價(jià)格銷售則每個(gè)月能賣出300件。根據(jù)市場調(diào)查,銷售單價(jià)每提高1元,則銷售量減少10件,每降低1元,則銷售量提高20件,問如何定價(jià)才能獲得最大利潤?

    (二)一家旅社有客房300間,每間房租20元,每天都會(huì)客滿,旅社欲提高檔次,并提高租金,如果每增加2元,房客出租數(shù)會(huì)減少10間,不考慮其他因素時(shí),旅社將房間租金提高到多少時(shí),每天房客的租金收入最高?

    我們可以把客房看成是商品,則租金就是售價(jià),租出的客房間數(shù)就是銷量,所以其本質(zhì)是和第一題一樣的題目,區(qū)別在于第二題售價(jià)只提高不減少,而第一題售價(jià)即可提高又可降低,且銷量隨售價(jià)的提高和降低是不同的關(guān)系式,所以我在這里舉了兩例。

    總之上述兩例的售價(jià)都不是固定的,銷量隨售價(jià)的變化而變化,所以可得出利潤關(guān)于售價(jià)的變化量之間的函數(shù)關(guān)系式,這個(gè)關(guān)系式往往是二次的,所以用二次函數(shù)求最值的知識(shí)就可解決。

    但是我們也可以發(fā)現(xiàn)這兩例中成本是不變的,且銷量關(guān)于售價(jià)的函數(shù)是一次的,那么如果成本也跟著變化或者銷量關(guān)于售價(jià)的函數(shù)不是一次的,那么這樣的例子我們又該如何解決呢?下面我們再來看兩例:

    (三)霓虹化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額,擬在2010年度進(jìn)行一系列的促銷活動(dòng),經(jīng)過市場調(diào)查和測算,化妝品的年銷量 萬件與年促銷費(fèi)用 萬元之間滿足 與 成反比例。如果不搞促銷活動(dòng),化妝品的年銷量只能是1萬件,已知2010年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬元。每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投資32萬元。當(dāng)將每件化妝品的售價(jià)定為“年平均成本的150%”與“年平均每件所點(diǎn)促銷費(fèi)的一半”之和,則當(dāng)年的產(chǎn)銷量相等。求當(dāng)該企業(yè)2010年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí),企業(yè)的年利潤 最大?

    (四)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量 (噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格 (元/噸)之間的關(guān)系式為: ,且生產(chǎn) 噸的成本為 (元),問該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸時(shí)能獲取最大利潤,最大利潤多少?

    第3題的成本是變化的,既涉及促銷費(fèi)用又涉及固定投資和追加投資,而第4題是售價(jià)關(guān)于銷量是二次的且成本也變化的題目,所以在解這2題時(shí)肯定比前2題要復(fù)雜些。對于第3題其列出來的函數(shù)經(jīng)過整理后為 ,對于這一問題求最值,用均值不等式最為簡單。而對于第4題的求解,因?yàn)槠浜瘮?shù)列出來經(jīng)過整理后為 ,是三次的函數(shù)求最值,那么我們當(dāng)然可以使用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來解決此問題。

    上述例題雖然使用了不同的方法來求最大利潤,但其本質(zhì)是一致的,都是列出利潤關(guān)于銷量或售價(jià)的函數(shù)后,求函數(shù)最值的問題,所以用函數(shù)思想來解決求利潤最大的問題是極有效的一種思想。

    三、用線性規(guī)劃方法解決利潤類問題

    在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)和生活中,求利潤最大化也就是求解最優(yōu)化問題,我們可將此類問題歸結(jié)到運(yùn)籌學(xué)的范圍來解決。而運(yùn)籌學(xué)中比較簡單的一類問題就是線性規(guī)劃問題,線性規(guī)劃解決的問題就是在有限的人力、物力、財(cái)力等資源下,從可行的備選方案中選取最佳方案以達(dá)到人們期望的最大效用。下面通過實(shí)例來體會(huì)一下如何用線性規(guī)劃解決利潤最大化問題。

    (一)某工廠有A,B兩種配件生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h,該廠每天最多可以從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件,每天按8h計(jì)算,而生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元,生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元,請問如何進(jìn)行生產(chǎn)安排能使得利潤最大?

    (二)某廠商用A,B兩種原料生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種產(chǎn)品,每種產(chǎn)品的利潤現(xiàn)有原料數(shù)量及每種產(chǎn)品消耗原料的定額如下表

    問怎樣組織生產(chǎn)才能使總利潤最大?

    第一題的解決很簡單,可采用圖像法來求解,在高中階段就能解決,而第二題的求解通常直接采用MATLAB中的優(yōu)化工具箱來求解。

    四、用數(shù)學(xué)期望解決利潤類問題

    數(shù)學(xué)課堂中的實(shí)際應(yīng)用問題都是簡化了的有很多假設(shè)的數(shù)學(xué)模型,實(shí)際問題則更加復(fù)雜化,多元化。經(jīng)濟(jì)生活中我們追求利潤、利益的最大化,供不應(yīng)求和供過于求都不利于利潤的最大化,但需求量(銷售量)、供應(yīng)量都是不是簡單直觀的量,批量生產(chǎn)有助于降低成本但并非生產(chǎn)越多越好;而需求量更是不好預(yù)測的量,它可能隨定價(jià)的高低、經(jīng)濟(jì)形勢的好壞、對手公司是否推出類似產(chǎn)品,市場上是否有其他替代品而有很明顯的變化,所以需求量(銷售量)往往是一個(gè)隨機(jī)變量。所以理性的決策者會(huì)想方設(shè)法建立更貼近現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)模型。在解決利潤效益類問題時(shí),理性的商家往往可以根據(jù)過去的數(shù)據(jù)(概率),利用數(shù)學(xué)期望等有關(guān)知識(shí)來制定最佳生產(chǎn)和銷售策略。比如:

    (一)某人用10萬元進(jìn)行為期一年的投資,方案有兩種,一是購買股票,二是存銀行獲取利息。買股票的收益決定于經(jīng)濟(jì)形勢,若形勢好可收益4萬元,若形勢中可收益1萬,若形勢差則虧本2萬。如果存銀行,假設(shè)年利率為10%,可得利息1萬元,又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢好、中、差的概率為0.3、0.5、0.2,試問選擇哪種方案能使投資回報(bào)率最大?

    (二)某商場某產(chǎn)品每周的銷售量 是一個(gè)隨機(jī)變量,分布列為 ,而商場每周的進(jìn)貨量為區(qū)間 中的某一整數(shù),每銷售一件可獲利5000,若供大于求,則每積壓一件產(chǎn)品虧損1000,若供不應(yīng)求,則從其他商店調(diào)劑,僅獲利2000元,問此商場初進(jìn)貨(包括存貨)應(yīng)為多少才能使周平均利潤最大?

    (三)國際市場每年對我國某種出口產(chǎn)品的需求量X在 上服從均勻分布,每出口1噸可獲利3萬元,積壓1噸則虧損2萬元,問該公司應(yīng)準(zhǔn)備多少噸該種貨物,才能使所獲利潤最大?

    對于上述3例,題目則比前兩類例題要復(fù)雜得多,有更多不確定的因素而使可能出現(xiàn)的結(jié)果也是不確定的,在解決這類利潤效益類問題時(shí),理性的商家往往可以根據(jù)過去的數(shù)據(jù)(概率),利用數(shù)學(xué)期望等有關(guān)知識(shí)來制定最佳生產(chǎn)和銷售策略。第1題是相對較簡單的題目,因?yàn)槠涫找妫ɡ麧櫍┦且浑S機(jī)變量,求其數(shù)學(xué)期望值則只需進(jìn)行簡單的加減運(yùn)算即可。而第2第3題,因?yàn)槠湫枨罅浚ㄤN售量)是一個(gè)隨機(jī)變量,而利潤是關(guān)于需求量的函數(shù),所以問題就復(fù)雜得多了,這兩題的區(qū)別在于第2題中銷售量是離散型的隨機(jī)變量,而第3題中的銷售量是連續(xù)型的隨機(jī)變量,所以第3題還用到了微積分的相關(guān)知識(shí)。

    綜上所述,解決利潤類的應(yīng)用題,我們可用方程思想、函數(shù)思想、線性規(guī)劃方法或用數(shù)學(xué)期望來解決。用方程思想可解決售價(jià)進(jìn)價(jià)是固定的一類問題,當(dāng)售價(jià)進(jìn)價(jià)變化時(shí),我們則往往用函數(shù)思想來解決,且這兩類問題中的銷售量是往往是常量或只是一般變量。而當(dāng)問題進(jìn)一步復(fù)雜化時(shí),存在多個(gè)變量時(shí),可用線性規(guī)劃的方法予以解決,而當(dāng)問題中的利潤或銷售量(需求量)不是一般變量而是隨機(jī)變量時(shí),我們則往往會(huì)用數(shù)學(xué)期望及微積分的相關(guān)知識(shí)來解決。本人能力有限,只是粗淺地談一下我對這類問題的一些認(rèn)識(shí),不足之處萬望各位專家見諒!

    參考文獻(xiàn)

    [1]鄭金玲.例談數(shù)學(xué)期望在效益、利潤等經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊,2003(3).

    [2]王榮波.經(jīng)濟(jì)生活中的數(shù)學(xué)問題[J].襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007.

    [3]閔欣.線性規(guī)劃在利潤最大化和成本最小化問題中的應(yīng)用[J].科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新,2013.

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