基于高頻連分式與有限元法的水下結(jié)構(gòu)瞬態(tài)分析方法

李上明，陳紅永，吳連軍

（1.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川綿陽621999；2.工程材料與結(jié)構(gòu)沖擊振動四川省重點實驗室，四川綿陽621999）

0 引 言

水下結(jié)構(gòu)聲固耦合問題在工程中經(jīng)常遇到，如水下結(jié)構(gòu)聲散射問題、遠場沖擊波結(jié)構(gòu)響應(yīng)問題等。這類問題中，通常將水下結(jié)構(gòu)考慮為符合連續(xù)介質(zhì)理論的有限結(jié)構(gòu)，而水下結(jié)構(gòu)周邊流體考慮為無粘無旋的理想流體即無限聲學(xué)水域，滿足聲學(xué)波動方程。該類問題的關(guān)注重點之一為高效準(zhǔn)確地模擬無限水域的動力特性。

模擬無限水域的通常方法為利用無限水域截斷面將無限水域截斷成有限水域，并在截斷面上施加合適的、能有效反映無限水域特性的單元或邊界條件。無限元及無反射邊界就是其中的方法之一，并已嵌入如Ansys、Abaqus、LS-Dyna 等有限元商業(yè)軟件中，便于工程分析人員使用。但為獲得合理結(jié)果，無限元法要求無限水域離散場大，離散半徑通常要求在分析結(jié)構(gòu)半徑的6倍及以上[1]，而無反射邊界也存在相同問題。

作為一種半解析方法，比例邊界有限元法（SBFEM）[2]在模擬無限水域方面展現(xiàn)出突出優(yōu)勢，即模擬無限水域時，離散區(qū)域小，自由度少，甚至可以在結(jié)構(gòu)與無限水域的耦合面處離散無限水域，并且SBFEM 是半解析解方法，在徑向方向即離散面法向方向是精確解，嚴(yán)格滿足無窮遠處輻射條件。該方法已成功應(yīng)用于分析無限水庫[3]和無限海水[4]，但因其含有卷積積分，所以在瞬態(tài)分析中存在計算效率不足的問題。

為提高其瞬態(tài)計算效率，學(xué)者們提出了連分式方法[5]，并已在無限水庫[6]及無限巖土[7]模擬中得到使用。連分式公式有效避免了SBFEM卷積積分，有效提高了其計算效率，并通過增加一輔助矩陣［8］提高了其在無限巖土模擬中出現(xiàn)的病態(tài)矩陣問題，但其模擬無限水域是否也會出現(xiàn)病態(tài)矩陣問題還需探討。此外，為有效模擬有限水域與無限水域的耦合響應(yīng)，文獻[1，4]建立了基于動態(tài)質(zhì)量矩陣的SBFEM 與FEM 的耦合方程，有效分析了水下結(jié)構(gòu)的聲固耦合響應(yīng)，但繼承了SBFEM 計算效率不足的缺點。本文將基于SBFEM高頻連分式公式，聯(lián)合FEM方法，建立連分式與FEM的耦合方程，實現(xiàn)水下結(jié)構(gòu)的高效模擬。

1 無限聲學(xué)水域連分式方程

對于圖1所示的含無限水域及水下結(jié)構(gòu)的聲固耦合系統(tǒng)，聲學(xué)水域滿足聲學(xué)波動方程

式中，c、p 和t 分別為聲音在水中的速度、壓力和時間。在圖1 中，聲學(xué)水域被無限水域截斷面分成有限水域及無限水域。文中采用SBFEM模擬無限水域，其離散模型見圖2，即只需離散截斷面S，而截斷面上的單元代替了圖1 所示的無限扇形區(qū)域，并且任意單元i 和j 具有相同的相似中心o，整個無限水域的動力特性通過截斷面上的動力方程描述。

對于滿足（1）式波動方程的無限聲學(xué)流體，根據(jù)SBFEM理論[2]，在無限水域截斷面S上滿足

式中：Nf為無限水域截斷面離散后聲學(xué)單元形函數(shù)，ρ為聲學(xué)流體密度，ω為圓頻率，an( ω )為單元外法向加速度，正方向指向相似中心o；p( ω )和a( ω )分別為無限水域截斷面所有節(jié)點壓力列向量和等效加速度列向量；S∞( ω )為無限水域動態(tài)剛度矩陣，獨立于p( ω )和a( ω )，根據(jù)連分式理論[5]滿足

基于（3）式和（4）式，（2）式可寫成如下連分式形式

式中，

（3-9）式中所有系數(shù)矩陣K∞、C∞、和經(jīng)推導(dǎo)滿足文獻［5］相應(yīng)公式。詳細(xì)計算公式見文獻［5］，其中，p(i)為輔助變量，M為連分式高階展開階數(shù)，I為單位陣，上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置。

2 聲固耦合系統(tǒng)的FEM方程

對于圖1無限水域截斷邊界以內(nèi)的水下結(jié)構(gòu)與有限水域的聲固耦合系統(tǒng)，其耦合算法相對成熟，常采用直接耦合法（即強耦合法），其耦合方程可寫為

式中：M、C和K分別為結(jié)構(gòu)與聲學(xué)流體區(qū)域的整體質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，均可由標(biāo)準(zhǔn)有限元法獲??；上標(biāo)P 表示與聲學(xué)流體相關(guān)的物理量，上標(biāo)fs 表示與聲固耦合相對應(yīng)的物理量，下標(biāo)1 和2 分別代表除了無限水域截斷面之外所有自由度對應(yīng)的變量和無限水域截斷邊界上自由度對應(yīng)的變量；{ }u 表示結(jié)構(gòu)節(jié)點位移列向量，{ P} 為結(jié)構(gòu)振動產(chǎn)生的聲學(xué)流體節(jié)點壓力列向量。{Fu} 為結(jié)構(gòu)節(jié)點等效力列向量，{Fp} 為有限水域節(jié)點等效加速度列向量。

圖1 聲固耦合系統(tǒng)圖 Fig.1 Acoustic fluid-structure coupling system

圖2 無限水域SBFEM離散模型Fig.2 SBFEM discretization of infinite fluid

式中，an為單元外法向加速度，正方向遠離相似中心o。

3 連分式與FEM的耦合方程

根據(jù)動力學(xué)條件，在圖1 無限水域截斷面上，需滿足壓力和加速度相等。根據(jù)（2）式和（11）式，由于其加速度的正方向定義為相反，即有

聯(lián)合（5）～（13）式得

式中，

（19）式為用高頻連分式模擬無限水域的水下結(jié)構(gòu)聲固系統(tǒng)的全耦合公式。該公式可采用Newmark直接積分法進行水下結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)分析。

4 算 例

4.1 內(nèi)壓作用下水下橢圓殼瞬態(tài)響應(yīng)

考慮浸沒在無限海水域中、由兩共焦橢圓構(gòu)成的橢圓環(huán)在均布內(nèi)壓作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，考察檢驗（14）式的正確性。

均布內(nèi)壓在5 ms 內(nèi)從零逐漸變?yōu)閱挝粔毫Γ? Pa），之后保持不變。共焦橢圓的半長軸分別為53.85 cm 和52.83 cm，半短軸分別為36.32 cm 和34.79 cm，彈性模量為200 GPa，泊松比0.3，密度為7849.7 kg/m3。海水的密度為1 023.1 kg/m3，海水中聲音速度為1 498.6 m/s。

文中將無限海水分割成有限水域和“無限”水域（見圖3），“無限”水域采用比例邊界有限元法離散，有限水域與橢圓環(huán)分別用四節(jié)點聲學(xué)有限元和四節(jié)點平面應(yīng)力有限元單元離散。

圖4 給出了截取半徑為長半長軸1.2 倍的SBFEM 卷積積分公式與高頻連分式、截取半徑為長半長軸40 倍的無限元模擬無限水域的結(jié)果。SBFEM卷積積分和無限元的結(jié)果正確性在文獻[1]中已論述。

從圖4 可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)以低頻響應(yīng)為主。當(dāng)連分式階數(shù)M 較低時，結(jié)果偏離SBFEM 卷積積分的結(jié)果，但隨著階數(shù)M 的增加，結(jié)果逐漸逼近SBFEM 卷積積分等其它結(jié)果。這說明高頻連分式隨著階數(shù)M 的增多，能逐漸逼近結(jié)構(gòu)的低頻響應(yīng)，進而實現(xiàn)無限水域特性模擬。

圖5給出了截取半徑為長半長軸1.2倍、M=50高頻連分式的不同計算時間步的計算結(jié)果，即不同計算時間步下結(jié)果幾乎相同，即（14）式對時間步不敏感，而SBFEM卷積積分則需時間步小于某一數(shù)值后結(jié)果穩(wěn)定[9]，增大了計算時間步。

圖3 水下橢圓筒和無限水域的有限元網(wǎng)格Fig.3 Finite elment mesh of submerged cylindrical ellipse and infinite water

圖4 無限元和SBFEM卷積積分、連分式的 橢圓環(huán)半短軸處徑向位移比較 Fig.4 Comparison of radial displacements at the minor axis of cylindrical ellipse obtained by infinite element method, SBFEM convolution integral and continued fraction method

圖5 不同時間步下的M=50 SBFEM連分式的橢圓環(huán)半短軸處徑向位移比較Fig.5 Comparison of radial displacements at the minor axis of cylindrical ellipse obtained by M=50 SBFEM continued fraction method using different time steps

表1 給出了SBFEM 卷積積分與高頻連分式模擬無限水域時響應(yīng)計算時間。計算時間主要包括SBFEM卷積積分求解動態(tài)質(zhì)量矩陣[2]和基于Newmark方法（14）式計算時間，不包括結(jié)構(gòu)和有限水域的矩陣計算時間。連分式的計算時間明顯小于SBFEM 卷積積分的所用時間。即使自由度增加約5 倍時，其響應(yīng)計算時間也只為SBFEM 卷積積分的一半，這說明連分式雖然一定程度上增加了分析自由度數(shù)，但其計算效率依然高于卷積積分。此外，表1 中計算時間看起來偏高主要是采用Matlab 語言實現(xiàn)（14）式求解而造成的。

表1 橢圓響應(yīng)卷積積分與高頻連分式計算效率比較Tab.1 Computational efficiency comparison of cylindrical ellipse response between convolution integral and continued fraction

4.2 平面沖擊波作用下水下圓筒瞬態(tài)響應(yīng)

考慮文獻[10]中分析的平面沖擊波作用下水下圓筒瞬態(tài)響應(yīng)（見圖6）。該算例用來驗證利用SBFEM 高頻連分式模擬具有沖擊特點的無限水域的可行性。

圖6 平面沖擊波與水下圓筒Fig.6 Plane shock wave and submerged cylindrical shell

結(jié)構(gòu)的幾何尺寸及沖擊波載荷等參數(shù)參考文獻[10]。水下圓筒殼用32 個兩節(jié)點梁單元離散，而整個無限水域離散成32 個半無限扇形水域，即結(jié)構(gòu)表面處的32 個兩節(jié)點比例邊界有限元法單元，并利用高頻連分式模擬。時間增量Δt 為0.002 667 ms，分析終止時間為0.67 ms。結(jié)構(gòu)與無限水域的相互作用采用文獻[10]流固耦合迭代算法進行分析。

圖7 給出了θ = 0°、90°和180°處圓筒平均半徑R 處法向速度vn，θ為圓筒外法向與水平軸的夾角，見圖6。圖7 中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均無量綱化，c 為水中的聲速，t 為時間。圖中Huang’s的級數(shù)解析解[11]、SBFEM卷積積分解[10]和不同階數(shù)M 的連分式的解接近，并隨著階數(shù)M 的增加三者結(jié)果逐漸逼近。值得注意的是只要增加1 階高頻連分式，其沖擊響應(yīng)迅速逼近其它解，這說明了高頻連分式模擬高頻響應(yīng)的合理性。

圖7 圓筒法向速度比較Fig.7 Comparison of normal velocities of cylindrical shell

表2 圓筒響應(yīng)卷積積分與高頻連分式計算效率比較Tab.2 Computational efficiency comparison of cylindrical shell response between convolution integral and continued fraction

表2給出了利用SBFEM卷積積分與高頻連分式計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的時間。連分式的計算時間明顯小于SBFEM卷積積分的所用時間。隨著時間步數(shù)的增加，連分式所用時間的增加幅度遠小于SBFEM卷積積分幅度。

5 結(jié) 論

文中提出了高頻連分式與有限元法耦合公式并用其分析了兩個算例的瞬態(tài)響應(yīng)。該方法具有以下特點：（1）無限水域離散小；（2）能正確模擬無限水域的能量吸收性；（3）高頻連分式可有效模擬無限水域的高頻響應(yīng)，并通過增加連分式的階數(shù)有效提升其模擬中低頻響應(yīng)的能力；（4）可有效提升分析時間步增量，并且計算效率高于SBFEM 卷積積分方法；（5）為含無限聲學(xué)水域的水下聲固耦合問題提供一種高效的分析方法。