周期性阻振質(zhì)量船體板彎曲振動(dòng)帶隙研究

李應(yīng)剛，周 雷，朱 凌，張 超，郭開嶺

（1.武漢理工大學(xué)a.高性能艦船技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b.交通學(xué)院，武漢430063；2.湖北工業(yè)大學(xué)農(nóng)機(jī)工程研究設(shè)計(jì)院，武漢430068）

0 引 言

隨著“海洋強(qiáng)國”戰(zhàn)略的不斷推進(jìn)，海上交通行業(yè)蓬勃發(fā)展，船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)噪聲問題日趨嚴(yán)峻，其減振降噪方法一直是業(yè)界關(guān)注的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

定常結(jié)構(gòu)發(fā)生突變（質(zhì)量、剛度等），會(huì)引起結(jié)構(gòu)的阻抗失配，對(duì)聲波起到很好的反射作用。因此，船體板結(jié)構(gòu)聲傳遞途徑上人為敷設(shè)阻振質(zhì)量的振動(dòng)噪聲控制方法吸引了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。Cremer 等人[1]最早提出阻振質(zhì)量（Blocking mass）的概念，并對(duì)其阻波特性進(jìn)行了分析。石勇等人[2]采用波動(dòng)理論和試驗(yàn)相結(jié)合的方法研究了含方鋼的鋼板結(jié)構(gòu)中振動(dòng)波的傳播特性，驗(yàn)證了方鋼減振降噪的效果。劉洪林和王德禹[3]通過有限元法/邊界元法研究了阻振質(zhì)量塊-板結(jié)構(gòu)振動(dòng)與輻射噪聲特性，探討了不同矩形截面形狀和不同圓環(huán)形狀參數(shù)對(duì)振動(dòng)和聲輻射的影響規(guī)律。劉見華等人[4]研究了無限板上受點(diǎn)激勵(lì)時(shí)阻振質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)聲傳遞的阻抑，采用基于能量觀點(diǎn)的隔振度來定義阻振質(zhì)量的阻抑作用。研究結(jié)果表明，板平面彎曲波分別和阻振質(zhì)量的彎曲波和扭轉(zhuǎn)波達(dá)到最佳耦合時(shí)，平面彎曲波發(fā)生最大透射。江蘇科技大學(xué)研究團(tuán)隊(duì)[5]研究了平板結(jié)構(gòu)受點(diǎn)激勵(lì)時(shí)空心方鋼阻振質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)中振動(dòng)波傳遞的阻抑特性，結(jié)果表明空心方鋼阻振質(zhì)量比實(shí)心方鋼阻振質(zhì)量結(jié)構(gòu)的阻振效果明顯，并大幅度減少了附加質(zhì)量。錢德進(jìn)等人[6]利用波動(dòng)理論的分析、處理方法，分析了多級(jí)平行阻振質(zhì)量阻隔振動(dòng)波傳遞的特性。

現(xiàn)有文獻(xiàn)雖然對(duì)阻振質(zhì)量的隔振特性開展了大量研究，但是阻振質(zhì)量的隔振機(jī)理仍然闡述不足，難以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)波衰減和隔振性能的人工主動(dòng)調(diào)節(jié)和優(yōu)化。本文以等間距多級(jí)阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，根據(jù)固體晶格能帶理論結(jié)合Bloch周期性邊界條件，研究其彎曲振動(dòng)帶隙特性，揭示了阻振質(zhì)量的振動(dòng)波衰減和隔振機(jī)理。

1 物理模型與計(jì)算方法

1.1 帶隙物理模型

周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)是通過含阻振質(zhì)量單元沿著x方向在船體板等間距周期性排列而成，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。定義周期性原胞結(jié)構(gòu)（紅色單元）的晶格常數(shù)為a，船體板厚度為e，寬度為b，阻振質(zhì)量的寬度為L，高度為h。船體板和阻振質(zhì)量都選取為鋼材料，材料參數(shù)定義為：彈性模量E=200 GPa，密度ρ=7850 kg/m3，泊松比υ=0.33。

圖1 周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of ship plates with periodic vibration blocking masses

1.2 帶隙計(jì)算方法

當(dāng)實(shí)際結(jié)構(gòu)只在一個(gè)方向上具有周期性時(shí)，通常將具有周期的方向取為x方向?？梢缘玫矫枋鲈趚方向傳播的彈性波的波動(dòng)方程為

式中，λ和μ為材料的Lame彈性常數(shù)。

式中，E為材料的彈性模量；υ為材料的泊松比。

基于固體晶格能帶理論和Bloch 定理，周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)晶格具有周期性和點(diǎn)群對(duì)稱性，其本征場具有Bloch函數(shù)的形式，波動(dòng)方程的本征函數(shù)是按照正格子周期性調(diào)幅的平面波：

Bloch理論說明，由于晶格的周期性和點(diǎn)群對(duì)稱性，通過引入周期邊界條件，可以將對(duì)于彈性波(的3)在整個(gè)晶格傳播行為的研究轉(zhuǎn)換到單個(gè)原胞及其不可約布里淵區(qū)中進(jìn)行。對(duì)應(yīng)Bloch 波矢k 在不可約布里淵區(qū)中的每一個(gè)取值，將Bloch周期性邊界條件代入彈性波波動(dòng)方程就可以求解出一系列對(duì)應(yīng)的本征頻率及本征函數(shù)，就可以繪制出聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)圖[7-8]。對(duì)于有限周期結(jié)構(gòu)，通常用結(jié)構(gòu)激勵(lì)端和響應(yīng)端之間的頻響函數(shù)來描述其傳輸特性。如果激勵(lì)端和響應(yīng)端都取相同的物理量，頻響函數(shù)則為一個(gè)無量綱的比例系數(shù)，稱為傳遞率或透射率。

式中，a1為激勵(lì)端的物理量，a2為響應(yīng)端的物理量。

2 周期性阻振質(zhì)量船體板彎曲振動(dòng)帶隙

2.1 周期性阻振質(zhì)量船體板帶隙特性

為了研究周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動(dòng)帶隙特性和阻振質(zhì)量的隔振機(jī)理，需要計(jì)算其能帶結(jié)構(gòu)和頻響曲線。文中分別建立了船體單板結(jié)構(gòu)和周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)的原胞有限元模型，選取結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：晶格常數(shù)a=120 mm，船體板的厚度e=2 mm，寬度b=200 mm，阻振質(zhì)量的寬度L=30 mm，高度h=30mm。船體板結(jié)構(gòu)左右兩端施加周期性邊界條件，其他均設(shè)置為自由邊界條件，沿著ΓX 方向波矢進(jìn)行參數(shù)掃描，求解各個(gè)波矢下結(jié)構(gòu)的本征模式和本征頻率，分別得到船體單板結(jié)構(gòu)和周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)，結(jié)果如圖2（a）和2（b）所示，其中縱坐標(biāo)為頻率，橫坐標(biāo)為沿著不可約布里淵區(qū)邊界的歸一化的波矢。由板中的波動(dòng)理論可知，有限厚度的板中存在一系列的反對(duì)稱和對(duì)稱Lamb 波模式（即板中縱波和彎曲波，分別表示為A 模式和S 模式），以及水平剪切（Shear horizontal，SH）波模式。從圖2（a）中可以看到，船體單板結(jié)構(gòu)與二維有限厚度板結(jié)構(gòu)能帶具有顯著差異，存在四條從零頻率出發(fā)的能帶，分別對(duì)應(yīng)于縱波模式（L模式）、扭轉(zhuǎn)波模式（T模式）以及彎曲波模式（Bx 模式和By 模式）。它們包括四個(gè)基本的模式（即L0、T0、Bx0和By0模式）及其倍頻模式（Ln、Tn、Bxn和Byn模式，其中n=1，2，…）[8]。從圖2（b）中可以發(fā)現(xiàn)，周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)的能帶構(gòu)圖中不僅存在著縱波模式（L模式）、扭轉(zhuǎn)波模式（T模式）以及彎曲波模式（Bx模式和By模式），同時(shí)還出現(xiàn)了大量的平直帶。平直帶結(jié)構(gòu)是指在絕大部分波矢方向上，不同的波矢對(duì)應(yīng)著相同的特征頻率，也就是說，不同方向、不同大小的彈性波場對(duì)應(yīng)著相同的振動(dòng)模式。能帶結(jié)構(gòu)中存在平直帶，表明內(nèi)部彈性波場存在局域化共振現(xiàn)象。相對(duì)于船體板結(jié)構(gòu)而言，周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)在0～3 000 Hz 頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生了明顯的彎曲振動(dòng)帶隙（圖2（b）中填充區(qū)域）。為了驗(yàn)證周期性阻振質(zhì)量船體板振動(dòng)帶隙的存在，同時(shí)分析其有限結(jié)構(gòu)的減振特性，計(jì)算得到了有限周期阻振質(zhì)量船體板的頻率響應(yīng)曲線，如圖2（c）所示。從圖中可以看出，頻率響應(yīng)函數(shù)在0～3 000 Hz頻率范圍內(nèi)存在明顯的衰減谷，衰減谷的位置和寬度與能帶結(jié)構(gòu)圖中的禁帶位置和寬度吻合良好，證明了能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算的可靠性。

圖2 船體板結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)帶隙特性Fig.2 Flexural wave band gap characteristics of ship plates

圖3 本征位移場Fig.3 The displacement fields of the eigenmodes

2.2 周期性阻振質(zhì)量船體板振動(dòng)帶隙機(jī)理

為了更深入直觀地說明周期性阻振質(zhì)量船體板禁帶形成機(jī)理，文中計(jì)算了圖2 中禁帶邊界處的本征位移場，如圖3所示。圖中模態(tài)A、B對(duì)應(yīng)于船體板無阻振質(zhì)量時(shí)的本征位移場，模態(tài)C、D、E、F對(duì)應(yīng)于含阻振質(zhì)量船體板的本征位移場。由圖可知，模態(tài)A、B分別表示各向同性基板中的彎曲波Bx模式和By 模式。隨著阻振質(zhì)量的引入，我們可以發(fā)現(xiàn)，模態(tài)C、D 的本征位移場主要是各向同性船體板的彎曲波Bx模式和By模式與阻振質(zhì)量的局域共振模態(tài)的耦合，正是這種耦合作用導(dǎo)致了周期性阻振質(zhì)量船體板中低頻彎曲振動(dòng)帶隙的出現(xiàn)。阻振質(zhì)量船體板的局域共振模態(tài)可以理解為一個(gè)單自由度的彈簧-質(zhì)量模型，其中阻振質(zhì)量起到集中質(zhì)量的作用，而阻振質(zhì)量與船體板的連接作用為彈簧。模態(tài)E和模態(tài)F的本征位移場分別對(duì)應(yīng)于周期性阻振質(zhì)量船體板能帶結(jié)構(gòu)的平直帶，阻振質(zhì)量幾乎保持靜止，主要體現(xiàn)為船體基板相對(duì)于y 軸的彎曲振動(dòng)模式（By 模式），而船體板中沿著x 方向的彎曲振動(dòng)能夠被抑制。因此，周期性阻振質(zhì)量船體板的禁帶主要是由于阻振質(zhì)量的引入導(dǎo)致帶隙頻率范圍內(nèi)缺乏沿著x方向傳播的彎曲振動(dòng)模式（Bx模式）而產(chǎn)生的。

2.3 彎曲振動(dòng)帶隙試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動(dòng)帶隙特性，我們加工制備了樣品結(jié)構(gòu)，對(duì)其有限周期結(jié)構(gòu)的減振性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測試。根據(jù)禁帶特性的理論分析，設(shè)計(jì)了沿著x 方向周期排列的4×1 有限周期阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)，如圖4（a）所示，實(shí)驗(yàn)測試樣品的單元結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)和材料參數(shù)與理論分析時(shí)所采用的完全相同。

圖4 測試樣件及試驗(yàn)測試方案圖Fig.4 The test sample and the experimental measurement setup

實(shí)驗(yàn)測試中主要采用了B&K PULSE 測試與分析系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)過程中采用柔繩將測試樣品自由懸掛，確保懸掛系統(tǒng)的第一階固有頻率遠(yuǎn)低于測試樣品本身的固有頻率。在樣件的一端安裝激振器施加垂直于有機(jī)玻璃板面的激勵(lì)，并在激勵(lì)點(diǎn)和板面另一端選取一個(gè)測試點(diǎn)安裝加速度傳感器，監(jiān)測垂直于板面的振動(dòng)加速度幅值。加速度傳感器型號(hào)為B&K 4507B，靈敏度為100 mV/g。由B&K PULSE測試系統(tǒng)產(chǎn)生0～3 200 Hz 帶寬的白噪聲信號(hào)，經(jīng)過功率放大器驅(qū)動(dòng)激振器產(chǎn)生相應(yīng)的振動(dòng)信號(hào)。安裝在板面兩端的加速度傳感器獲取的振動(dòng)加速度信號(hào)經(jīng)過B&K PULSE 測試系統(tǒng)分析和處理，最終得到測試樣件的頻率響應(yīng)函數(shù)。

采用以上實(shí)驗(yàn)測試平臺(tái)，測試得到有限周期阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)樣品的頻率響應(yīng)函數(shù)，結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)頻響特性曲線在0～3 000 Hz 頻率范圍內(nèi)存在明顯的衰減區(qū)域，實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果的船體板彎曲振動(dòng)衰減區(qū)域頻率范圍與有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)帶隙特性。在低頻范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)測試得到的各共振峰的頻率與有限元結(jié)果吻合得較好，而在較高頻范圍的共振峰值頻率有所差異，實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果的頻響特性曲線的衰減頻率范圍更寬，彎曲振動(dòng)衰減量更大。誤差產(chǎn)生的原因主要是由于試驗(yàn)測試樣品中阻振質(zhì)量與船體板之間采用AB 膠粘接，而有限元計(jì)算中采用阻振質(zhì)量與船體板直接固接，沒有考慮AB膠粘接層的影響。為了進(jìn)一步分析AB膠粘接層的影響，建立含有AB膠粘接層的周期性阻振質(zhì)量船體板有限元模型，得到其頻率響應(yīng)特性對(duì)比如圖5 所示。由圖可知，含有AB 膠粘接層的周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動(dòng)頻響特性曲線與試驗(yàn)測試結(jié)果基本吻合，AB膠粘接層的引入使周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)中形成了典型的局域共振彈簧質(zhì)量動(dòng)力吸振系統(tǒng)，導(dǎo)致船體板結(jié)構(gòu)中局域共振模式增強(qiáng)，振動(dòng)衰減量增大。

圖5 實(shí)驗(yàn)測試頻率響應(yīng)Fig.5 Experimental validation of frequency spectra

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彎曲振動(dòng)帶隙的影響

為了研究彎曲振動(dòng)帶隙的上下邊界頻率隨著結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)的變化趨勢，保持船體板和阻振質(zhì)量的材料參數(shù)不變，結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)以圖2 的周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)（晶格常數(shù)a=120 mm，船體板的厚度e=2 mm，寬度b=200 mm，阻振質(zhì)量的寬度L=30 mm，高度h=30 mm）。圖6（a）為周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動(dòng)帶隙隨晶格常數(shù)的變化規(guī)律。從圖中可以看到，隨著晶格常數(shù)的增大，周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動(dòng)帶隙下邊界起始頻率和上邊界截止頻率均向低頻移動(dòng)，帶隙絕對(duì)寬度逐漸變窄。從圖6（b）中可以看到，隨著阻振質(zhì)量寬度的增加，周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動(dòng)帶隙下邊界起始頻率向低頻移動(dòng)，而上邊界截止頻率向高頻移動(dòng)，從而導(dǎo)致帶隙逐漸變寬。由圖6（c）可知，隨著阻振質(zhì)量高度的增大，周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動(dòng)帶隙下邊界起始頻率逐漸向低頻移動(dòng)，而上邊界截止頻率基本保持不變，帶隙寬度逐漸增加。綜合以上參數(shù)分析可知，要在低頻范圍內(nèi)獲得更寬的禁帶，可以通過增加阻振質(zhì)量的等效質(zhì)量（如增加阻振質(zhì)量的寬度和高度）或者增大周期結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)來實(shí)現(xiàn)。根據(jù)參數(shù)影響分析，可以根據(jù)船海結(jié)構(gòu)振動(dòng)噪聲特性，實(shí)現(xiàn)周期性阻振質(zhì)量船體板帶隙結(jié)構(gòu)的主動(dòng)設(shè)計(jì)和人工調(diào)制。

圖6 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙的影響Fig.6 Effects of geometric parameters on the band gap

4 結(jié) 論

本文采用有限元法與實(shí)驗(yàn)測試相結(jié)合的方法，研究了周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)中彎曲波傳播特性與振動(dòng)帶隙機(jī)理。研究結(jié)果表明，周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)中存在彎曲振動(dòng)帶隙，帶隙頻率范圍內(nèi)的彎曲波在周期性阻振質(zhì)量船體板中產(chǎn)生顯著的衰減，彎曲振動(dòng)帶隙主要是由于阻振質(zhì)量的引入導(dǎo)致帶隙頻率范圍內(nèi)缺乏沿著x方向傳播的彎曲振動(dòng)模式（Bx模式）而產(chǎn)生的。通過改變結(jié)構(gòu)的材料和尺寸參數(shù)，可以有效實(shí)現(xiàn)振動(dòng)帶隙人工調(diào)節(jié)和主動(dòng)控制，為船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與噪聲控制提供了新的思路。