變頻激勵響應分析及模態(tài)阻尼反演理論研究

唐宇航，王雪仁，李 欣,2

（1.中國人民解放軍92578部隊，北京100161；2.陸軍裝甲兵學院，北京10072）

0 引 言

潛艇的聲輻射與結構材料的阻尼性能密切相關，阻尼參數作為一項重要的動力性能指標，對結構在共振區(qū)的響應影響十分顯著。目前，艦艇振聲性能設計計算時，其數值常按規(guī)范資料圖譜選取，規(guī)范資料的準確性依賴統(tǒng)計規(guī)律保證，新船型是沒有進入統(tǒng)計樣本的，對所有船型（尤其是新船型）籠統(tǒng)地采用相同經驗阻尼進行振動響應預報及噪聲性能評估是不準確的。因此，阻尼參數亦需要通過試驗來測定，然而試驗條件的微小差異也可能會造成測量結果的巨大偏差。雖然國內外也制定了相關行業(yè)標準，但事實上并沒有在科研和生產上嚴格執(zhí)行[1-2]。此外，實際工程結構的動響應問題一般是利用系統(tǒng)模態(tài)阻尼比求解，按照已有標準測試方法所得阻尼參數難以直接運用，因此在尋找優(yōu)良的阻尼材料和結構型式以實現(xiàn)減振降噪等效果的同時，探究可靠實用的阻尼測試方法也十分緊迫。

現(xiàn)階段特殊結構的模態(tài)阻尼是通過試驗模態(tài)分析來識別的，傳統(tǒng)的參數識別方法可在時域和頻域內進行。然而，諸如艦艇等復雜機械結構的總振動阻尼系數測試難度較大，時域衰減法僅能得到其低階阻尼系數，頻響曲線識別時又必須同時測量響應與激勵的時序信號，激勵過小時遠離激勵處響應小、信噪比劣，加大激勵會造成局部響應過大的非線性問題，若采用“多入多出”的測量方式又會使試驗更加繁瑣。何況，試驗中想直接測出大型結構某些激勵（如階躍激勵、自激勵等）的時序信號往往也是不現(xiàn)實的[3]，這均為艦艇總振動阻尼測試和動響應預報帶來了困難。

此外，隨著艦艇振聲計算要求的提高，僅得到全船總振動阻尼時常不能滿足設計師需求，人們開始關心局部振動及其噪聲輻射情況，針對性地對噪聲較大區(qū)域使用阻尼材料進行控制，因此在該背景下對局部殼體板單元阻尼測試精度提出了更高要求，以指導分布式阻尼設計。然而現(xiàn)有試驗方法亦存在識別缺陷，常用的頻域測力法中包括單自由度圖解法（如峰值拾取法、導納圓法）和多自由度解析法（如各類擬和法），分別適用于模態(tài)稀疏的小阻尼結構和模態(tài)密集的大阻尼結構。陳奎孚等[4-5]和應懷樵等[6]對峰值拾取法中半功率理論誤差進行了分析，結果表明受半功率點識別誤差、窗阻尼誤差以及不同信號處理手段差異等因素影響，阻尼估算值較實際值偏差可達幾倍甚至幾十倍；導納圓法計算精度受圖解精度的限制，且無法避免因鄰近模態(tài)疊加所產生的誤差[7]。擬合解析法常處理多自由度系統(tǒng)，一般為得到密集模態(tài)的信息會增加測點數目，此舉措既增大計算量也易產生病態(tài)轉換矩陣，從而影響參數識別精度[8]。多自由度系統(tǒng)時域下的參數識別需使用窗函數對信號濾波處理，經典窗在分離低頻密集模態(tài)和疊加模態(tài)時精度較差，特別是位于頻響函數的兩端且很接近的模態(tài)[9-10]。

為對艦艇總振動模態(tài)阻尼測試提供簡便可行的方法，對局部船體板單元阻尼進行更精確的識別，本文以結構的實測響應數據為基礎，提出了一種通過變頻激勵響應反演系統(tǒng)模態(tài)阻尼比的計算方法，規(guī)避了某些激勵時序信號的測量難題。推導出多自由度系統(tǒng)共振頻率及其鄰近頻率激勵下的響應與阻尼比之間的理論關系，指出試驗中若忽視共振響應與最大響應間的差異，往往會造成某些計算結果的大幅偏差，給出了“響應比”、“復合比例因子”的概念，并總結了提高該阻尼反演理論計算精度的相關規(guī)律。以某船全船船體梁為例，結合規(guī)范驗證了阻尼反演理論及其識別公式的可靠性，并對該理論進行二維推廣，完成了4塊不同型式的局部船體板單元模型的阻尼比試驗測試，為潛艇總振動阻尼估算方法以及分布式阻尼設計提供了可靠的技術支撐。

1 阻尼反演計算理論

1.1 總振動響應的模態(tài)表達

在研究多自由度系統(tǒng)響應問題時，一般采用模態(tài)疊加法，文中以一維梁模型進行推導，得到共振頻率及其鄰近頻率激勵下系統(tǒng)總響應表達式。本反演計算理論推廣到二維平面、三維空間系統(tǒng)時，應對外加激勵力、質量矩陣和模態(tài)振型等參數的一維變量進行二、三維替換。一維梁在外加激勵力F( x,t )作用下的總振動響應為[11]

其中：

式中，Mj、φj、fj和ζj分別為第j階廣義質量、振型、模態(tài)力和模態(tài)阻尼比，γj為激振力頻率ω與第j階固有頻率ωnj的頻率比。

一維梁在外加激勵力作用下發(fā)生第j 階共振時，其主模態(tài)響應遠大于其它階模態(tài)響應，故一維梁的該階共振總響應可記為

改變激勵力頻率ω，使其與一維梁第j階固有頻率ωnj有一小量的差別Δω，則響應為

其中，推廣頻率比γji為第j 階固有頻率鄰近激振頻率與第i 階固有頻率之比，即γji=( ωnj±Δω )/ωni。Δi( x,t )為ωnj±Δω頻率激勵下第i階模態(tài)響應分量( x,t )為第j階主模態(tài)穩(wěn)態(tài)響應分量（非共振響應）。

其中，

為簡化表達，使γjj= γj=( ωnj±Δω )/ωnj。當外加激勵力F( x,t )為作用于點的集中力時，即：

則（5）式為

測點位于振型“節(jié)點”的（9）式可表示為

1.2 恒定激勵力激起共振響應的阻尼比反演算法

按ωnj± Δω 和ωnj頻率激勵（激勵力幅相同）時，系統(tǒng)第j 階主模態(tài)穩(wěn)態(tài)響應幅值-Wj( x )和共振響應幅值Wj( x )之比，記作δj，定義為“響應比”。

由（7）式、（12）-（13）式可得：

則

定義頻率比γj與響應比δj的乘積為“復合比例因子”，以描述二者疊乘的復比例效應，用χj表示。則

結合χ定義，（16）式可改寫為

圖1 給出了以χ 為變量的共振響應反演阻尼曲線，其中，Δω 分別取2%ωnj、5%ωnj和10%ωnj進行錯頻計算，則γj=0.9、0.95、0.98、1.02、1.05、1.1。此外，由于實際結構存在阻尼，則( x )/( x )<1。

由圖中可知，頻率小幅錯開下，阻尼識別結果隨χ 增大而增大，在研究區(qū)域內具有“類反比例”增函數的規(guī)律。令阻尼函數ζ( χ,γ )進行一、二階的對χ 偏導計算，曲線斜率變化率為二階偏導?2ζ( χ,γ )/?χ2>0，曲線為凹。根據三階偏導?3ζ( χ,γ )/?3χ = 0 來計算曲線斜率變化率的極值點，該點為,～ζj)，在圖1 中標出。在χj∈é? 0ù?范圍內，曲線平緩、斜率小，試驗測量時響應比δj難以避免的小量誤差并不會造成過大的阻尼比計算偏差，因此根據圖中曲線性質，響應比δj越小（即χ 越?。?、Δω 越小時曲線斜率越小，此時更易于得到精度可靠的阻尼比結果。

圖1（18）式識別阻尼比曲線Fig.1 Damping ratio curves identified by Eq.(18)

1.3 應用模態(tài)最大位移響應的阻尼比反演算法

試驗測試時，時常以最大響應值所對應的激勵頻率為結構固有頻率，即認為最大響應為某階模態(tài)共振響應，實際上模態(tài)最大響應是大于該階模態(tài)共振響應的。（18）式是在模態(tài)共振響應基礎上推導的，以下按第j階模態(tài)最大響應和第j階模態(tài)在鄰近頻率處非共振穩(wěn)態(tài)響應推導該階模態(tài)阻尼比。第j階最大振動響應對應的峰值頻率與第j階固有頻率之比為：

一維梁在外加激勵力作用下使第j 階模態(tài)產生最大響應，按（12）式類推得總響應為

由（14）式類推得：

若γ峰j= 1，模態(tài)響應出現(xiàn)最大值，此時ζj= 0。此時判斷唯一可行解為

與1.2節(jié)類似，構造相同的變量范圍，阻尼比識別公式曲線如圖2所示。

曲線趨勢及規(guī)律與圖1所示相似，但當c 較大時，兩圖在阻尼比計算結果上差別較大，有必要對ζj按（18）式和（22）式的計算相對偏差進行分析。圖3給出了兩者相對偏差曲線，偏差量用ε表示為

從圖3可見：

（1）相對偏差ε均為負偏差，則按（18）式所得阻尼比結果均小于（22）式計算結果；

（2）當χ較小時（χj∈é? ù?0,），兩者阻尼比計算相對偏差很小，而隨χj增大，特別是當響應比δj趨近1時（即χj≈γj），相對偏差急劇增大，可以認為γj確定時，阻尼越大，兩式計算相對偏差越大；

（3）圖中γj= 1±0.02、1±0.05、1±0.1 這三組曲線依次自上而下分布，可見當Δω 較大時二者偏差大，且負向錯 頻激勵（γj=( ωnj- Δω/ωnj)）計算結果 的 相對偏差 要 大于正向 錯 頻激勵（γj=( ωnj+ Δω/ωnj)）。

因此，當阻尼比較小、錯頻幅值Δω不大時，兩式的結果相差不大，反之，則需要采用（22）式才能得到更精確的阻尼比反演結果?？梢?，在某些情況下，若忽視模態(tài)共振響應與最大響應的差異，往往會造成計算結果的大幅偏差。

圖2（22）式識別阻尼比曲線 Fig.2 Damping ratio curves identified by Eq.(22)

圖3（18）式和（22）式識別阻尼比的相對偏差曲線Fig.3 Relative deviation curves of damping ratio identified by Eqs.(18)and(22)

2 全船船體梁阻尼比反演理論有限元驗證

反演理論阻尼參數的計算最終要通過試驗的振動響應測試來完成。船舶工程領域中，處理全船總振動常采用船體梁理論，為直接驗證阻尼識別公式的準確性，本文建立了某船全船船體梁有限元模型，模擬螺旋槳的變頻激勵完成該船的響應獲取，進而反演得到模態(tài)阻尼比。該船相關尺度參數見表1。

船體梁是一根變截面的主船體結構等值梁，船體清晰具有船體梁的彎曲變形特征時為“似梁”彎曲。而振動階次較高時，彎曲振動的節(jié)點間距接近于或小于船寬和型深，常導致“非梁”的振動特性，因此本例對船體前3階低階總振動進行響應計算，將反演阻尼比值與設定值比對以驗證理論。

舷外水對船體振動的影響表現(xiàn)在重力、阻尼和慣性三個方面。靜水面附近振動的浮力變化較小可忽略重力影響；船體強迫振動位于共振區(qū)時需考慮阻尼，將其與內阻尼合并考慮，按照規(guī)范中關于水面艦艇模態(tài)阻尼系數的規(guī)定[12]，見圖4（取低阻尼）；附漣水質量導致船體慣性變化對船體總振動影響較大，模型通過集中質量點模擬其全船分布。按0～20 站號將船體分為20 段，計算各剖面要素（包括剖面慣性矩、各系數參量等）完成變截面船體梁的構建。

以螺旋槳為激勵源，作用于船體艉部，變頻激勵時控制激勵力幅值相同，按1 kN 計算。根據上節(jié)討論中，按（22）式估算阻尼時，控制Δω 足夠小可獲得滿意的精度，數值計算中取2%的頻率增減量。對船體梁水平約束計算其垂向振動，有限元振型見圖5。

表1 某船主尺度參數Tab.1 Main scale parameters of a vessel

圖4 水面艦艇模態(tài)阻尼系數 Fig.4 The modal damping coefficients of surface ship

圖5 船體梁有限元振型圖Fig.5 Vibration diagram of finite element hull girder

經模態(tài)計算，船體梁的前3階垂向固有頻率見表2，對表中3種工況進行船體梁變頻振動的數值計算，驗證上述阻尼比測試方法和公式的可靠性。

表2 數值計算參數Tab.2 Parameters of numerical calculation

表3 阻尼反演計算結果及識別誤差Tab.3 Damping calculation results of inverse theory and identification error

對該船體梁進行上述3組工況的強迫振動響應分析，得到共振頻率ωnj激勵下最大響應( x )與鄰近共振頻率ωnj±Δω 激勵下穩(wěn)態(tài)響應( x)±，測點布置在每階工況下鄰近階次的“節(jié)點”處（距船艉最近節(jié)點），按2%的變頻幅度，即γj= ωnj±Δω/ωnj= 1±0.02。（22）式計算所得模態(tài)阻尼比結果及其與設定值相對誤差見表3。

可見，對于該船體梁模型，測點位置的選擇對于阻尼比計算結果影響較大，但遵循一些規(guī)律。對于首階激勵工況1，以第2 階振型“節(jié)點”為測點，仿真阻尼識別誤差不超過0.2%，結果十分精確；對于較高階次的第2、3階激勵工況2、3，分別以各自相鄰階次振型的“節(jié)點”為測點，阻尼比結果具有3個顯著特征：

（1）隨著計算工況階次的升高，仿真阻尼比識別誤差呈一定程度的線性增大，這與之前描述的船體在振動階次較高時易產生“非梁”的振動特性一致；

（2）工況2、3 中按相鄰較低階振型“節(jié)點”所測響應計算的阻尼比更準確，最大誤差為5.36%。文獻[13]推導了特殊懸臂梁按第1、2 階共振頻率激勵時的響應表達式，認為較高階（即第2 階）共振激勵下懸臂梁低階模態(tài)位移的貢獻比例會增大，在小阻尼情況下以低階（即第1 階）共振頻率激勵時響應仍主要來源于當前模態(tài)貢獻。因此考慮仿真計算中，較高階次工況應按相鄰低階振型“節(jié)點”所測響應來計算阻尼比，這能減小低階模態(tài)成分的影響以提高計算精度；

因此，船舶在平穩(wěn)水域航行試驗時改變螺旋槳轉速便可實現(xiàn)激勵的小幅錯開和響應采集，進一步可通過反演理論估算出船體總振動模態(tài)阻尼比。

3 局部船體板單元阻尼比反演理論試驗驗證

3.1 試驗背景及環(huán)境

潛艇在實際建造時板殼材質、厚度等在全船范圍內分布復雜，直接用船體總振動阻尼對其進行響應和振聲性能預報時常偏離實際且誤差較大。淡丹輝等[14]提出單元化的阻尼比法則在控制結構總體模態(tài)阻尼比方面更具優(yōu)勢，可在對多階模態(tài)阻尼比精確控制的同時又能解決分布式阻尼的建模問題。為對潛艇輻射噪聲進行更加準確的預報，對聲輻射顯著的局部區(qū)域采取必要的控制，因此在計算殼體表面振動響應前應了解其阻尼分布情況，有必要對船體典型板單元結構進行阻尼比測試，以實現(xiàn)復雜阻尼分布的總體估計。此外，復合材料在降低潛艇聲輻射方面有誘人的應用前景，可見研究其與鋼材的阻尼性能差異尤為重要。

按照現(xiàn)行規(guī)范，在進行整船結構有限元建模時板殼網格尺寸常按一個縱骨或一個肋位間距（500 mm 左右）小者劃分，且盡量接近正方形。本試驗依據規(guī)范對網格尺度的要求，布置典型板單元阻尼比試驗測試模型如圖6 所示。構造固定的邊界條件以模擬板在實船中與周圍肋骨等骨架的連接狀況，用24 根螺栓將板緊固在基座與壓條之間，注入玻璃膠填充縫隙以防止頻段內漏聲造成的誤差。為避免試驗激勵時板帶動基座產生耦合共振現(xiàn)象，基座使用15 mm 厚度鋼塊焊制并在四周設置支撐結構以增加其質量和剛度，控制其首階自振頻率在1 kHz 以上，保證與各板單元模型前8 階自振頻率有足夠的錯開率。

圖6 試驗模型空間示意圖（測試內區(qū)域500 mm×500 mm）Fig.6 Experimental model spatial schematic diagram(test area 500 mm×500 mm)

表4 玻璃鋼板與普通鋼板材料性能參數Tab.4 Material performance parameters of glass fiber plate and common steel plate

復合材料的性能與鋼材差異較大，本試驗使用2D 正交各向異性復合材料，相關參數在表4 中給出。依據該參數，試驗分別對500 mm×500 mm×3 mm 規(guī)格Q235 鋼板及與其等厚度、等剛度、等質量的3 塊E800/350 環(huán)氧樹脂材質的玻璃鋼板進行多階模態(tài)阻尼比識別，并探究復合材料與鋼材在阻尼性能上的規(guī)律。板單元試驗模型尺度參數見表5。

表5 板單元試驗模型尺度參數Tab.5 Experimental model scale parameters of plate unit

3.2 板單元模型阻尼試驗及結果分析

用共振駐留法對結構進行各階共振及其鄰近頻率激勵，得到測點時序響應曲線，傳感器的布置根據事先進行的模態(tài)分析確定，使之盡量既位于其鄰近低階階次的振型“節(jié)點”或“節(jié)線”處，亦為該階振型下具有明顯響應的位置?？紤]微幅振動下加速度響應信號比較顯著，所有測點均用加速度傳感器采集，采集穩(wěn)態(tài)振動后一段時長的數據，并對響應進行力幅歸一化處理。在單元模型上設置9個測點位置，激勵試驗如圖7所示。

圖7 共振激勵試驗（玻璃鋼板） Fig.7 Resonance excitation experiment(glass fiber plate)

圖8 模型1～4各模態(tài)阻尼比測算結果對比Fig.8 Estimated testing modal damping ratio of model Nos.1～4

單點拾振法的脈沖激勵試驗可以得到板單元模型的固有頻率和模態(tài)振型，依據模態(tài)識別結果設計激振頻率及測點布置，反演理論中位移“響應比”與加速度（用A表示）“響應比”的數值是相等的，表6給出了板單元模型2試驗響應及阻尼反演結果。4塊不同板單元模型按反演理論所測阻尼比數值對比見表7，模型1～4各模態(tài)阻尼比測算結果對比見圖8。

對比表7中各板單元阻尼比識別結果，可見復合材料板的阻尼性能總體上大于鋼板，除個別較高階階次外，試驗中所用復合材料板的各階模態(tài)阻尼比約為鋼板的4～5倍。邊界約束條件相同時，二維空間下方形薄板振型規(guī)律基本一致，從表中計算數據可見，同種材質下厚度對板格結構的模態(tài)阻尼比大小影響不大，模型2～4 的各階模態(tài)阻尼比約為0.4%～0.5%，模型1（鋼板）則約為0.1%。此外，由圖8可見，與模型1等厚度、等靜剛度及等質量的玻璃鋼板，各階對應測點共振響應均大幅降低，其中模型4（與鋼板等質量）加速度各階共振響應幅值僅為鋼板的1/5 左右。因此，大阻尼、低密度、高比剛度的復合材料結構，在控制系統(tǒng)振動及噪聲輻射方面具有較好的應用前景。

表6 板單元模型阻尼反演計算結果（模型2）Tab.6 Damping results of plate unit model calculated by inverse theory(Pattern number 2)

表7 玻璃鋼板與普通鋼板模型固有頻率及估算阻尼Tab.7 Natural frequency and the estimated damping coefficient of glass fiber plate and common steel plate model

3.3 阻尼反演結果數值計算驗證

為驗證阻尼結果的可靠性，以11#與71#測點間頻響函數為例，對4塊板的脈沖激勵試驗所得寬頻帶響應數據進行分析，將其與該頻段數值計算頻響結果對比。以模型1～2 為例，頻響曲線對比如圖9所示。

圖中實線部分給出了按反演理論所得阻尼比ζj數值計算出的頻響曲線，將該曲線與試驗數據比對可見，除因固有頻率微小差異導致的譜線峰值小幅偏移外，曲線在峰值大小、分布形狀上均與試驗結果高度匹配，可認為該理論所得阻尼比較為可靠。

圖9 試驗與數值計算寬頻帶頻響曲線對比Fig.9 Broadband frequency response comparison of experiment and numerical calculation

4 結 論

目前，系統(tǒng)模態(tài)阻尼比一般通過經驗規(guī)范或者傳統(tǒng)試驗測試獲得，現(xiàn)有的資料和方法在處理實際工程結構問題時具有一定的局限性。本文對阻尼研究的現(xiàn)狀和常用識別理論的缺陷進行歸納，從經典模態(tài)分析方法入手，推導出變頻激勵下的響應與阻尼比的關系，提出“復合比例因子”的概念，并對該阻尼反演計算理論進行分析。并且以某船船體梁為例進行數值計算，驗證了理論及公式的可靠性，為全船總振動模態(tài)阻尼測試提供了簡便可行的試驗方法?；谧枘岱囱堇碚撉€分析及船體梁數值計算結果，得到3條提高阻尼反演理論計算精度的規(guī)律：

（1）除首階工況外，其余較高階工況的測點應盡量布置在相鄰低階振型“節(jié)點”（或“節(jié)線”）處；

（2）應對共振頻率及其鄰近頻率激振響應計算所得的阻尼比ζ±j進行平均；

（3）應控制變頻幅度Δω不能過大，在保證測試方案可行的情況下越小越好。

本文進一步對該理論進行了二維推廣，完成了幾塊不同型式復合材料船體板單元結構的模態(tài)阻尼比試驗測試，并與鋼板進行比較，得到了如下結論：

（1）相同邊界條件及結構振型下，薄板的材料是影響其模態(tài)阻尼比的主要因素，與厚度、剛度及質量等關系不大；

（2）文中典型船體局部板單元結構的各階模態(tài)阻尼比（鋼材）約為0.1%，復合材料板的阻尼性能要優(yōu)越于鋼板，玻璃鋼（E800/350環(huán)氧樹脂）的模態(tài)阻尼比約為鋼板的4～5倍。

因此，依據振動響應反演阻尼的算法，避免了采集激勵力的時域信號，操作簡便、適用范圍廣，為船舶等大型結構的總振動阻尼測試提供了切實可行的方法，為局部結構的精確阻尼比測試、利用分布式阻尼實現(xiàn)減振降噪的研究提供了新思路。