粗糙勢(shì)中耦合布朗粒子的定向輸運(yùn)性能*

劉晨昊 劉天宇 黃仁忠 高天附 ? 舒咬根

1) (沈陽師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034)

2) (中國科學(xué)院理論物理研究所, 北京 100190)

研究了粗糙棘輪中耦合粒子的定向輸運(yùn)行為, 并進(jìn)一步討論了阻尼條件下粗糙棘輪的擾動(dòng)振幅、擾動(dòng)波數(shù)、粒子間的耦合強(qiáng)度及自由長(zhǎng)度等因素對(duì)耦合布朗粒子質(zhì)心平均速度及斯托克斯效率的影響.研究發(fā)現(xiàn),合適的粗糙棘輪擾動(dòng)振幅和擾動(dòng)波數(shù)能促進(jìn)耦合布朗粒子的定向輸運(yùn), 同時(shí)還能增強(qiáng)其斯托克斯效率.此外,合適的耦合強(qiáng)度和自由長(zhǎng)度還能使粗糙棘輪的輸運(yùn)性能達(dá)到最強(qiáng).還發(fā)現(xiàn)小擾動(dòng)振幅條件下, 通過改變耦合強(qiáng)度和自由長(zhǎng)度能夠誘導(dǎo)粗糙棘輪的流反轉(zhuǎn).通過研究更具實(shí)際意義的粗糙棘輪, 本文所得結(jié)論能為實(shí)驗(yàn)上理解分子馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)行為提供理論指導(dǎo), 還可為納米量級(jí)分子機(jī)器的設(shè)計(jì)及粒子分離技術(shù)的實(shí)現(xiàn)提供實(shí)驗(yàn)啟發(fā).

1 引 言

生物分子馬達(dá)是一類尺度在2—10 nm的酶類蛋白大分子, 在細(xì)胞內(nèi)馬達(dá)可沿微絲、微管做定向運(yùn)動(dòng)[1,2].實(shí)驗(yàn)研究已表明, 分子馬達(dá)的定向運(yùn)動(dòng)充分參與了細(xì)胞內(nèi)的各種生命活動(dòng), 如有絲分裂、肌肉收縮、減數(shù)分裂中染色體的分離及信號(hào)傳導(dǎo)等[3].早期關(guān)于分子馬達(dá)的研究, Allen 等[4]和Vale等[5]借助差分干涉對(duì)比顯微鏡直接觀察到魷魚巨突中囊泡的定向運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象.此外, Sheetz研究組[6]還在魷魚巨突中發(fā)現(xiàn)了沿微管做定向運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)蛋白馬達(dá).牛津大學(xué)的Dey研究組[7]在最近的研究中提出一種以酶促反應(yīng)產(chǎn)生的能量作為輸入能的馬達(dá)模型, 并證實(shí)該馬達(dá)具有朝酶底物方向運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì), 更新了人們對(duì)分子馬達(dá)定向運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí).同時(shí), 最新的醫(yī)學(xué)研究還發(fā)現(xiàn)動(dòng)力蛋白功能的缺陷可引發(fā)纖毛功能障礙, 造成呼吸道慢性感染.此外, 在分子機(jī)器領(lǐng)域基于酶分子的人工合成馬達(dá)技術(shù)日漸成熟, 并有希望實(shí)現(xiàn)分子馬達(dá)的定點(diǎn)傳輸或藥物輸運(yùn)[8-10].因此, 生物分子馬達(dá)定向輸運(yùn)的研究在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)乃至對(duì)未來分子機(jī)器的研發(fā)都具有十分重要的意義[11-13].

為了深入理解分子馬達(dá)的定向輸運(yùn)機(jī)制, 理論上人們提出了閃爍棘輪、搖擺棘輪等一系列棘輪模型[14-17].如Jayannavar研究組[18]提出了空間非對(duì)稱棘輪, 發(fā)現(xiàn)粒子定向輸運(yùn)速度隨外(驅(qū)動(dòng))力搖擺頻率的增大而減小.Wang和Bao[19]研究了二維搖擺棘輪模型, 并證明布朗粒子的耦合作用能增強(qiáng)棘輪的定向輸運(yùn).此外, Li等[20]詳細(xì)討論了空間對(duì)稱外勢(shì)中耦合布朗粒子的流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象, 發(fā)現(xiàn)粒子間耦合強(qiáng)度是誘導(dǎo)流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象的關(guān)鍵因素.近年來關(guān)于反饋棘輪的研究, 我們研究組發(fā)現(xiàn)流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象還與脈沖相位存在一定關(guān)聯(lián)[21].從上述幾類不同棘輪的研究中可發(fā)現(xiàn)模型中采用的外勢(shì)都是表面光滑的鋸齒勢(shì)或簡(jiǎn)諧勢(shì).然而, 最新的實(shí)驗(yàn)研究表明細(xì)胞內(nèi)的雜質(zhì)和空間不均勻性都會(huì)導(dǎo)致布朗粒子對(duì)“光滑”軌道的偏離[22].此外, Frauenfelder等[23,24]還發(fā)現(xiàn), 在蛋白質(zhì)折疊過程中側(cè)鏈的非正常連接會(huì)導(dǎo)致外勢(shì)表面“粗糙”的產(chǎn)生.這種“粗糙”不僅會(huì)影響蛋白質(zhì)的快速折疊, 還會(huì)影響分子馬達(dá)的定向運(yùn)動(dòng).可見外勢(shì)的粗糙程度不僅是描述各類蛋白質(zhì)特性的一種語言, 還對(duì)粗糙棘輪定向輸運(yùn)的研究具有一定的理論參考意義.因此通過粗糙棘輪來模擬分子馬達(dá)與軌道間的相互作用更具實(shí)際意義.

關(guān)于粗糙棘輪的理論研究, Zwanzig[25]發(fā)現(xiàn)外勢(shì)的粗糙程度會(huì)抑制凈流的產(chǎn)生, Marchesoni[26]的研究也表明棘輪表面的粗糙還會(huì)導(dǎo)致粒子運(yùn)動(dòng)過程中的無序性, 從而造成輸運(yùn)速度降低.最近,Camargo和Anteneodo[22]構(gòu)建了一種新的粗糙棘輪模型, 發(fā)現(xiàn)外勢(shì)的粗糙情況并非完全抑制單粒子的定向運(yùn)動(dòng), 在一定條件下還會(huì)促進(jìn)其定向輸運(yùn).可見外勢(shì)粗糙程度對(duì)分子馬達(dá)定向運(yùn)動(dòng)的影響仍存在諸多未知.此外, 實(shí)驗(yàn)研究還表明分子馬達(dá)在輸運(yùn)過程中大都呈現(xiàn)集體行為, 除與軌道的相互作用外馬達(dá)間還存在復(fù)雜的相互作用, 且耦合粒子與單粒子的輸運(yùn)行為性質(zhì)上還存在明顯差別, 因此研究粗糙棘輪中耦合粒子的定向輸運(yùn)更具實(shí)際意義.本文將在上述理論研究基礎(chǔ)上采用一種新的粗糙棘輪模型, 深入討論外勢(shì)粗糙度對(duì)耦合布朗粒子定向輸運(yùn)的影響.

早期關(guān)于生物分子馬達(dá)的實(shí)驗(yàn)研究已表明, 生物體內(nèi)大多數(shù)分子馬達(dá)都是拖動(dòng)負(fù)載做定向運(yùn)動(dòng)的.但 Parrondo 研究組[27]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 生物體內(nèi)還存在一類并不拖動(dòng)負(fù)載但同樣做定向運(yùn)動(dòng)的分子馬達(dá).為了深入分析這類馬達(dá)的定向輸運(yùn)能力, Wang[28]在理論上提出可用斯托克斯效率來研究這類馬達(dá)的定向輸運(yùn)性能.理論研究表明馬達(dá)的斯托克斯效率越大, 其克服黏滯阻力時(shí)做定向運(yùn)動(dòng)的能力越強(qiáng).然而, 目前關(guān)于粗糙棘輪中耦合粒子的定向運(yùn)動(dòng)情況如何, 特別是外勢(shì)的粗糙度對(duì)馬達(dá)斯托克斯效率的影響我們還知之甚少.因此, 本文將深入討論外勢(shì)的粗糙結(jié)構(gòu)對(duì)耦合布朗馬達(dá)定向輸運(yùn)性能的影響.

本文主要研究周期無偏外力作用下的粗糙棘輪模型, 并討論粗糙勢(shì)的擾動(dòng)振幅、擾動(dòng)波數(shù)及粒子間的耦合強(qiáng)度、自由長(zhǎng)度等因素對(duì)分子馬達(dá)定向輸運(yùn)速度及斯托克斯效率的影響.研究發(fā)現(xiàn), 一定條件下外勢(shì)的粗糙度會(huì)促進(jìn)粗糙棘輪定向輸運(yùn)速度和斯托克斯效率.此外, 有趣地發(fā)現(xiàn)在外勢(shì)的小擾動(dòng)作用及耦合作用的共同協(xié)作下, 分子馬達(dá)還會(huì)出現(xiàn)流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象.本文所得結(jié)論不僅能為微小粒子的整流與分離提供理論指導(dǎo), 同時(shí)還能對(duì)納米量級(jí)分子機(jī)器的研發(fā)及醫(yī)學(xué)上藥物定點(diǎn)投放技術(shù)的實(shí)現(xiàn)提供實(shí)驗(yàn)啟發(fā).

2 粗糙棘輪模型

本文主要研究粗糙勢(shì)中過阻尼耦合布朗粒子的定向運(yùn)動(dòng)情況.同時(shí)馬達(dá)還受周期無偏置外力及熱噪聲的影響, 其動(dòng)力學(xué)行為可由朗之萬方程描述：

式中x'為耦合粒子的位置坐標(biāo);s為時(shí)間;γ為介質(zhì)阻尼系數(shù);W(x′(s)) 為粗糙外勢(shì)為耦合粒子間的相互作用勢(shì);θ(s) 為高斯白噪聲, 滿足統(tǒng)計(jì)特性i,j=1,2, 其中D0=γkBT,kB為玻爾茲曼 常 數(shù) ,T為環(huán)境溫度.此外, 引入F(s) 來描述外界環(huán)境對(duì)粗糙棘輪周期性的驅(qū)動(dòng)作用.

為使方程(1)中的物理量無量綱化, 引入特征長(zhǎng)度λ和特征時(shí)間τ0, 其中λ為外粗糙勢(shì)周期長(zhǎng)度,τ0為過阻尼條件下布朗粒子的特征時(shí)間, 且?U為勢(shì)壘高度.通過定義新的無量綱位置坐標(biāo)x=x′/λ, 無量綱時(shí)間t=s/τ0, 可以得到新的無量綱化參量U(x)=W(x′)/?U,U0(x)=W0(x′)/?U,將 上述參量代入方程(1)便可得到無量綱化后的朗之萬方程：

方程(2)中ξi(t) 為無量綱化后的高斯白噪聲且滿足如下統(tǒng)計(jì)特征為無量綱噪聲強(qiáng)度.

此外, 方 程 (2)中 的U(xi) 為粗 糙外 勢(shì), 則為粒子受到粗糙棘輪勢(shì)的作用.周期外勢(shì)U(xi) 的表達(dá)形式為[22]

其中

(3)式中ε和H分別為粗糙勢(shì)的擾動(dòng)振幅和擾動(dòng)波數(shù),N為歸一化因子.(4)式中U1(xi) 為常見的鋸齒勢(shì), 且λ為鋸齒勢(shì)的周期,l為鋸齒勢(shì)的不對(duì)稱度.(3)式構(gòu)建的粗糙棘輪結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示, 其中圖1(a)表示擾動(dòng)波數(shù)H=5 時(shí)粗糙勢(shì)U(x)隨空間位置x及擾動(dòng)振幅ε的變化, 圖1(b)為擾動(dòng)振幅ε=0.1 時(shí)粗糙勢(shì)U(x) 隨空間位置x及擾動(dòng)波數(shù)H的變化.

此外,U0(x1,x2) 為兩個(gè)耦合粒子的相互作用勢(shì), 具體關(guān)系如下：

其中k為耦合強(qiáng)度,a為彈簧的自由長(zhǎng)度.F(t) 為外驅(qū)動(dòng)力, 其具體形式為

其中A為外驅(qū)動(dòng)振幅,ω為外力頻率,為外力周期.為了研究耦合布朗粒子在粗糙棘輪中的定向運(yùn)動(dòng), 采用耦合粒子的質(zhì)心平均速度來描述粗糙棘輪的定向輸運(yùn), 其公式表述如下[22]：

其中Pout為粒子克服溶液阻尼的輸出功率,

根據(jù)隨機(jī)能量理論[29], 時(shí)變外力對(duì)耦合粒子做的功為WE=F(t)xc,xc=(x1+x2)/2 為耦合粒子的質(zhì)心位移, 則時(shí)變外力對(duì)系統(tǒng)的輸入功率Pin為

因此, 耦合布朗粒子斯托克斯效率的表達(dá)式為

其中粒子演化時(shí)間T=nTω,n為耦合粒子演化的周期.

圖1 (a) 粗糙勢(shì) U (x) 隨擾動(dòng)振幅 ε 的變化, 其中擾動(dòng)波數(shù) H =5 ; (b) 粗糙勢(shì) U (x) 隨擾動(dòng)波數(shù)H的變化, 其中擾動(dòng)振幅 ε=0.1Fig.1.(a) Diagram of the rough potential U (x) varying with the amplitude of perturbation ε , where perturbed wavenumber H=5; (b) diagram of the rough potential U (x) varying with perturbed wavenumber H, where the perturbation amplitude ε=0.1.

本文采用二階隨機(jī)龍格-庫塔算法對(duì)過阻尼條件下粗糙棘輪的定向輸運(yùn)進(jìn)行數(shù)值模擬, 主要研究粗糙勢(shì)中耦合粒子定向輸運(yùn)性能受系統(tǒng)各參量變化的影響.為了得到穩(wěn)定的系宗平均值, 本文模擬了 2 ×103條軌道, 每個(gè)軌道演化 2 ×103個(gè)周期, 步長(zhǎng)h取 1 ×10-3.無特殊說明參數(shù)取γ=1 ,l=0.7 ,λ=1,ω=2π ,D=0.1 .

3 結(jié)果與討論

3.1 擾動(dòng)振幅ε的影響

為了研究耦合粒子在粗糙棘輪中的定向運(yùn)動(dòng),分析了棘輪的質(zhì)心平均速度隨不同參量的變化行為.首先, 不同耦合條件下粗糙棘輪的擾動(dòng)振幅ε對(duì)質(zhì)心平均速度的影響如圖2(a)所示.研究結(jié)果表明在弱耦合條件下, 如k=1 時(shí)質(zhì)心平均速度單調(diào)減小.在強(qiáng)耦合條件下, 如k≥5 時(shí)速度能夠產(chǎn)生峰值.說明在一定的耦合條件下合適的擾動(dòng)振幅能夠促進(jìn)粗糙棘輪的定向輸運(yùn).然而, 隨擾動(dòng)振幅ε的繼續(xù)增加, 粗糙棘輪整體的輸運(yùn)行為都呈V→0.這是因?yàn)殡S著外勢(shì)擾動(dòng)振幅的增加, 由粗糙棘輪的結(jié)構(gòu)示意圖1(a)可知ε越大勢(shì)壘越高, 粒子更不容易跨越勢(shì)壘形成定向運(yùn)動(dòng), 因此一定條件下勢(shì)壘的擾動(dòng)振幅將抑制耦合棘輪凈流的產(chǎn)生.然而, 隨著耦合強(qiáng)度的增加如圖2(a)所示, 有趣地發(fā)現(xiàn)當(dāng)k≥30 時(shí)耦合粒子的質(zhì)心平均速度在小擾動(dòng)振幅范圍(如ε=0.15 附近)其方向會(huì)由負(fù)變?yōu)檎? 說明此時(shí)粗糙棘輪發(fā)生了流反轉(zhuǎn).這種現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于粒子間的強(qiáng)耦合與擾動(dòng)振幅的共同作用抑制了耦合粒子負(fù)向運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì), 同時(shí)又促進(jìn)了其正向的運(yùn)動(dòng)[30], 因此在小擾動(dòng)振幅條件下粗糙棘輪更容易產(chǎn)生流反轉(zhuǎn).關(guān)于這一流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象我們還將在后面進(jìn)行深入討論.此外, 強(qiáng)耦合作用下隨著擾動(dòng)振幅ε的繼續(xù)增加, 研究發(fā)現(xiàn)粗糙棘輪的定向輸運(yùn)還能產(chǎn)生極值流.這種極值流的產(chǎn)生是因?yàn)殡S著ε的增加耦合粒子平均速度先由負(fù)變正, 并且最終再次趨于零.因此粗糙棘輪中會(huì)存在合適的擾動(dòng)振幅εopt使其質(zhì)心平均速度達(dá)到極大值, 說明強(qiáng)耦合條件下合適的εopt能夠促進(jìn)粗糙棘輪的定向輸運(yùn).此外, 通過比較不同耦合強(qiáng)度下粒子的平均速度, 研究還發(fā)現(xiàn)弱耦合條件下的大于強(qiáng)耦合下的這是因?yàn)閺?qiáng)耦合條件下的粒子如同被一根“硬桿”連接, 粒子更不容易產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng), 故其會(huì)減小.

根據(jù)Wang的理論[28], 斯托克斯效率η一定程度上反映了布朗粒子的定向輸運(yùn)性能, 因此進(jìn)一步研究了斯托克斯效率隨粗糙棘輪各參量的變化行為.圖2(b)首先給出了不同耦合強(qiáng)度下粗糙棘輪的擾動(dòng)振幅對(duì)斯托克斯效率的影響.結(jié)果表明斯托克斯效率的變化規(guī)律和圖2(a)速度的變化規(guī)律類似.η與變化規(guī)律的相似性可由(11)式進(jìn)行分析, 一定條件下η正比于粒子克服溶液阻尼做功的輸出功率, 即η∝Pout.又由 (9)式分析知,Pout∝故一定條件下η近似正比于即η與有類似的變化趨勢(shì).在弱耦合條件下, 如k=1 時(shí),η隨擾動(dòng)振幅的增加單調(diào)減小.在強(qiáng)耦合條件下,如k≥5 時(shí), 斯托克斯效率會(huì)出現(xiàn)一個(gè)或多個(gè)極值,且隨ε→ ∞ ,η→0 .此外, 通過對(duì)比圖2(b)與圖2(a)發(fā)現(xiàn), 一定條件下當(dāng)耦合粒子的質(zhì)心平均速度達(dá)到極值時(shí)其斯托克斯效率也會(huì)達(dá)到最大.意味著粗糙棘輪的定向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng)時(shí), 其粒子克服黏滯阻力的定向輸運(yùn)效率也將達(dá)到最大.同時(shí)研究還發(fā)現(xiàn),在強(qiáng)耦合條件下增大粒子間耦合強(qiáng)度會(huì)使粗糙棘輪的定向輸運(yùn)速度及斯托克斯效率的極值增大, 說明耦合強(qiáng)度k還會(huì)促進(jìn)粗糙棘輪的定向輸運(yùn).因此下文將進(jìn)一步討論耦合強(qiáng)度對(duì)粗糙棘輪定向輸運(yùn)性能的影響.

圖2 不同耦合強(qiáng)度下, (a) 質(zhì)心平均速度 〈V 〉 、(b) 斯托克斯效率 η 隨粗糙勢(shì)擾動(dòng)振幅 ε 的變化 (a =0.5 , A =3 , H =5)Fig.2.Curves of (a) the center-of-mass velocity 〈V 〉 and (b) the Stokes efficiency η varying with perturbation amplitude ε for different coupling strength k, where a =0.5 , A =3 , H =5 .

3.2 耦合強(qiáng)度k的影響

由上文分析知耦合強(qiáng)度對(duì)粗糙棘輪的定向輸運(yùn)會(huì)產(chǎn)生影響, 因此本文進(jìn)一步研究了不同擾動(dòng)波數(shù)H下耦合強(qiáng)度k對(duì)粗糙棘輪定向輸運(yùn)的影響,如圖3(a)所示.結(jié)果表明, 耦合粒子的質(zhì)心平均速度在擾動(dòng)波數(shù)較小時(shí)(如H=0,2)會(huì)隨k的增加出現(xiàn)極值, 并隨k的繼續(xù)增大逐漸減小, 且當(dāng)k→∞ 時(shí)趨于穩(wěn)定值.當(dāng)擾動(dòng)波數(shù)較大時(shí)(如H=5,10), 粒子的平均速度在達(dá)到極值后會(huì)隨耦合強(qiáng)度的增大不斷減小, 且當(dāng)k→ ∞ 時(shí)v→0 .產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因主要是當(dāng)耦合強(qiáng)度趨于無窮時(shí)粒子間的相互作用很強(qiáng), 耦合粒子受到外驅(qū)動(dòng)力的作用相對(duì)較弱, 此時(shí)較大的擾動(dòng)波數(shù)將對(duì)粒子的輸運(yùn)起抑制作用(關(guān)于擾動(dòng)波數(shù)對(duì)粒子流的影響下文還會(huì)深入討論), 因此耦合粒子很難產(chǎn)生定向輸運(yùn).這一結(jié)果表明, 在不同擾動(dòng)波數(shù)下, 粒子間耦合強(qiáng)度能夠促進(jìn)粗糙棘輪的定向輸運(yùn), 即合適的耦合強(qiáng)度kopt能使粗糙棘輪的定向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng).此外, 由圖1(b)的粗糙棘輪結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn), 擾動(dòng)波數(shù)H越大外勢(shì)的表面越粗糙, 可見H在一定程度上反映了棘輪的粗糙程度.由圖3(a)所示, 當(dāng)H=0時(shí)對(duì)于一定的耦合強(qiáng)度, 棘輪的隨粗糙勢(shì)擾動(dòng)波數(shù)的增加而單調(diào)減小.這是由于擾動(dòng)波數(shù)越大外勢(shì)越粗糙, 粒子更不容易跨越勢(shì)壘形成定向運(yùn)動(dòng),所以會(huì)減小.特別地, 當(dāng)H=0 時(shí)發(fā)現(xiàn)強(qiáng)耦合條件下,也就是說擾動(dòng)波數(shù)的增加對(duì)粗糙棘輪定向輸運(yùn)的影響并不是完全抑制的, 合適的粗糙度(外勢(shì)結(jié)構(gòu))還會(huì)促進(jìn)耦合粒子的定向輸運(yùn).

基于上述討論, 我們進(jìn)一步研究了不同擾動(dòng)波數(shù)下, 耦合強(qiáng)度對(duì)粒子定向輸運(yùn)效率的影響, 如圖3(b)所示.研究發(fā)現(xiàn)圖3(b)與圖3(a)之間仍存在類似的變化關(guān)系, 即斯托克斯效率η隨耦合強(qiáng)度k的變化也能產(chǎn)生極值, 類似的結(jié)論可由圖2(b)的分析所得.也就是說, 一定條件下合適的耦合強(qiáng)度kopt還能增強(qiáng)粗糙棘輪的定向輸運(yùn)性能.此外, 研究還發(fā)現(xiàn)在較弱的耦合條件下, 小擾動(dòng)波數(shù)H還能提升耦合粒子的輸運(yùn)性能.因此, 下文將討論棘輪擾動(dòng)波數(shù)對(duì)耦合粒子定向輸運(yùn)性能的影響.

3.3 擾動(dòng)波數(shù)的影響

如圖4(a)所示, 進(jìn)一步研究了不同噪聲強(qiáng)度下擾動(dòng)波數(shù)對(duì)粒子質(zhì)心平均速度的影響.結(jié)果表明隨著擾動(dòng)波數(shù)的增加, 耦合粒子質(zhì)心平均速度整體的變化趨勢(shì)逐漸減小.通過圖3(a)類似的分析可得隨著外勢(shì)粗糙度的增加(擾動(dòng)波數(shù)H增加)會(huì)抑制耦合粒子的定向運(yùn)動(dòng).然而, 有趣的是當(dāng)擾動(dòng)波數(shù)為整數(shù)時(shí)耦合粒子的質(zhì)心平均速度會(huì)產(chǎn)生一定的振蕩, 但總體變化行為仍呈下降趨勢(shì).由外勢(shì)結(jié)構(gòu)示意圖1(b)可知當(dāng)擾動(dòng)波數(shù)H為整數(shù)時(shí), 外勢(shì)U(x)在一個(gè)周期λ內(nèi)包含了H個(gè)完整的擾動(dòng)波形,此時(shí)擾動(dòng)波數(shù)對(duì)粒子定向輸運(yùn)的影響較H為非整數(shù)時(shí)更強(qiáng), 所以整數(shù)個(gè)H的擾動(dòng)將使的行為呈現(xiàn)局域的振蕩.此外研究還發(fā)現(xiàn)隨著噪聲強(qiáng)度的增大, 平均速度減小的趨勢(shì)越來越平緩.這是由于隨著D的增大, 在D與H兩種擾動(dòng)的競(jìng)爭(zhēng)中熱噪聲的影響將成為粒子輸運(yùn)的主導(dǎo)因素, 因此熱噪聲抑制了粗糙度對(duì)耦合粒子輸運(yùn)的影響.此外, 研究還發(fā)現(xiàn)當(dāng)外勢(shì)的擾動(dòng)波數(shù)較大時(shí), 如H≥4 , 噪聲強(qiáng)度越大耦合粒子的定向輸運(yùn)速度也越大, 這一結(jié)果表明在較大的粗糙度下噪聲強(qiáng)度越大耦合粒子越容易跨越勢(shì)壘形成定向輸運(yùn).

圖3 不同擾動(dòng)波數(shù) H 下 (a) 質(zhì)心平均速度 〈V 〉 ; (b) 斯托克斯效率 η 隨耦合強(qiáng)度 k 的變化曲線, 其中 a =0.2 , A =3 ,ε=0.1Fig.3.Curves of (a) the center-of-mass velocity 〈V 〉 ; (b) the Stokes efficiency η varying with coupling strength k for different perturbed wavenumber H, where a =0.2 , A =3 , ε =0.1 .

圖4 不同噪聲強(qiáng)度下, (a) 質(zhì)心平均速度速度 〈V 〉 、(b) 斯托克斯效率 η 隨擾動(dòng)波數(shù) H 的變化 (a =0.2 , k =10 , A =3 , ε =0.1)Fig.4.Curves of (a) the center-of-mass velocity 〈V 〉 and (b) the Stokes efficiency η varying with perturbed wavenumber H for different noise intensity D, where a =0.2 , k =10 , A =3 , ε =0.1 .

圖4(b)討論了擾動(dòng)波數(shù)對(duì)粗糙棘輪斯托克斯效率的影響.在小噪聲條件下, 如D＜0.1 時(shí), 斯托克斯效率η減小的速度較快; 然而, 隨著噪聲強(qiáng)度的增加, 如D≥0.1 時(shí),η減小的速度反而較慢.產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因可由圖4(a)的分析得到：小噪聲條件下耦合粒子的速度?隨H的增加迅速減小, 故斯托克斯效率也會(huì)隨H的增加迅速降低.然而, 當(dāng)D較大時(shí), 通過類似的分析可知, 此時(shí)噪聲強(qiáng)度將成為影響η的主導(dǎo)因素, 因而H對(duì)粗糙棘輪定向輸運(yùn)的抑制效果將會(huì)減弱, 故η減小的速度變慢.研究還發(fā)現(xiàn), 當(dāng)外勢(shì)擾動(dòng)波數(shù)較大時(shí), 如H≥5 ,噪聲強(qiáng)度越大粗糙棘輪的定向輸運(yùn)效率也越大.這是由于D越大, 噪聲對(duì)粗糙棘輪定向輸運(yùn)的影響越強(qiáng), 因此外勢(shì)粗糙度較大時(shí)噪聲D還能促進(jìn)粗糙棘輪的定向輸運(yùn)效率.此外, 耦合粒子的定向輸運(yùn)效率也會(huì)在H為整數(shù)時(shí)產(chǎn)生與速度類似的振蕩行為, 其原因主要是圖4(a)中?的振蕩行為將導(dǎo)致H對(duì)粗糙棘輪定向輸運(yùn)效率的影響也存在局部的非單調(diào)性.結(jié)果表明一定噪聲條件下, 通過構(gòu)建合適的粗糙棘輪結(jié)構(gòu)(如取擾動(dòng)波數(shù)為整數(shù))也能增強(qiáng)耦合粒子的定向輸運(yùn)性能.

3.4 外力振幅的影響

由于耦合布朗粒子的運(yùn)動(dòng)還受周期外力F(t)的影響, 因此又討論了不同耦合強(qiáng)度下粗糙棘輪的定向輸運(yùn)速度隨外力振幅A的變化, 如圖5(a)所示.結(jié)果表明, 粗糙棘輪的平均速度整體呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu), 且隨外力振幅的增加的峰值逐漸減小.這種多峰結(jié)構(gòu)主要是由于本文所采用的外勢(shì)為非對(duì)稱周期勢(shì), 在粗糙棘輪對(duì)稱性破缺和耦合相互作用這兩種因素相互協(xié)作和競(jìng)爭(zhēng)中耦合粒子的定向輸運(yùn)速度將被促進(jìn)或抑制, 因而粗糙棘輪的能夠存在多個(gè)極值.此外, 研究還發(fā)現(xiàn)隨著外力振幅的增加的極值將逐漸減小, 最終會(huì)趨于零.這是由于當(dāng)振幅A較大時(shí), 外驅(qū)動(dòng)力將成為耦合粒子定向運(yùn)動(dòng)的主導(dǎo)因素, 而此時(shí)粒子在無偏置的F(t) 作用下難以產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng), 所以耦合粒子速度的極值將會(huì)減小并趨于零.

圖5 不同耦合強(qiáng)度下, (a) 質(zhì)心平均速度 〈V 〉 、(b) 斯托克斯效率 η 隨外力振幅A的變化(a =0.2 , H =5 , ε =0.1)Fig.5.Curves of (a) the center-of-mass velocity 〈V 〉 and (b) the Stokes efficiency η varying with amplitude A for different coupling strength k, where a =0.2 , H =5 , ε =0.1 .

同時(shí), 進(jìn)一步研究了不同耦合強(qiáng)度下粗糙棘輪的斯托克斯效率隨外力振幅的變化, 如圖5(b)所示.結(jié)果表明, 隨著外力振幅的增加粗糙棘輪的斯托克斯效率仍呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu)(局部放大圖如內(nèi)插圖所示), 也就是說合適的外力振幅A也能夠使粗糙棘輪的定向輸運(yùn)效率達(dá)到最強(qiáng).由圖2(b)—圖4(b)的類似分析可得, 粗糙棘輪平均速度的多峰結(jié)構(gòu)同樣會(huì)導(dǎo)致斯托克斯效率多峰結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生.此外, 研究還發(fā)現(xiàn)隨著A的增加斯托克斯效率的峰值也會(huì)迅速減小.這是因?yàn)楫?dāng)A≥4 時(shí)隨著外力振幅的增大的極值逐漸減小, 同時(shí)由(9)和(11)式可知此時(shí)Pout的極值將減小.然而, 由(10)式又可知隨著A的增大外界對(duì)系統(tǒng)的輸入功率Pin不斷增大,所以粗糙棘輪斯托克斯效率η的峰值會(huì)迅速減小.

3.5 粗糙棘輪的流反轉(zhuǎn)

圖2(a)的研究結(jié)果已表明, 小ε條件(ε≤ 0.1)下粒子間的耦合強(qiáng)度能夠誘導(dǎo)棘輪流反轉(zhuǎn)的產(chǎn)生.為了進(jìn)一步研究粗糙棘輪的流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象, 又研究了小擾動(dòng)振幅條件下耦合布朗粒子的質(zhì)心平均速度隨自由長(zhǎng)度a的變化.由于外勢(shì)的平移不變性會(huì)使耦合粒子的平均速度隨a的變化呈現(xiàn)周期性, 即故圖6(a)僅畫出一個(gè)周期內(nèi)的變化情況.有趣地發(fā)現(xiàn)一個(gè)演化周期內(nèi)質(zhì)心平均速度的變化規(guī)律關(guān)于a=0.5對(duì)稱.研究還發(fā)現(xiàn)隨a的增加會(huì)呈現(xiàn)多個(gè)峰值, 也就是說通過選擇合適的自由長(zhǎng)度能夠促進(jìn)粗糙棘輪的定向輸運(yùn).然而, 此時(shí)在強(qiáng)耦合作用下, 即耦合強(qiáng)度k=30 , 粗糙棘輪在a=0.5 附近產(chǎn)生了流反轉(zhuǎn), 這一現(xiàn)象表明粗糙棘輪的流反轉(zhuǎn)不僅會(huì)受耦合強(qiáng)度k的作用, 還會(huì)受到耦合自由長(zhǎng)度a的影響.因此進(jìn)一步討論了粗糙棘輪的耦合強(qiáng)度k和自由長(zhǎng)度a對(duì)粗糙棘輪流反轉(zhuǎn)的影響, 如圖6(b)所示.

圖6 (a) 質(zhì)心平均速度 〈V 〉 隨耦合自由長(zhǎng)度a的變化 (A =3 , ε =0.1 , H =5 , k =30 , D =0.1); (b) 質(zhì)心平均速度 〈V 〉 隨耦合自由長(zhǎng)度a及耦合強(qiáng)度k的變化(A =3 , ε =0.1 , H =5 , D =0.1)Fig.6.Curves of (a) the center-of-mass velocity 〈V 〉 varying with free length a, where A =3 , k =30 , ε =0.1 , D =0.1 ; the curves of (b) 〈V 〉 varying with coupling strength k and free length a, where A =3 , ε =0.1 , k =30 , D =0.1 .

4 結(jié) 論

研究了粗糙棘輪中耦合布朗粒子的定向輸運(yùn)行為, 并詳細(xì)討論了棘輪的擾動(dòng)振幅、擾動(dòng)波數(shù)、耦合強(qiáng)度及自由長(zhǎng)度等對(duì)粗糙棘輪質(zhì)心平均速度和斯托克斯效率的影響.研究發(fā)現(xiàn), 一定條件下棘輪的粗糙度(擾動(dòng)振幅、擾動(dòng)波數(shù))都能夠促進(jìn)耦合布朗粒子的定向輸運(yùn)及斯托克斯效率.這一結(jié)論表明棘輪的粗糙度對(duì)耦合粒子定向運(yùn)動(dòng)的影響并非完全抑制, 也就是說通過構(gòu)建合適的粗糙棘輪結(jié)構(gòu)還能夠促進(jìn)耦合布朗粒子的輸運(yùn)性能.同時(shí), 在一定條件下合適的耦合強(qiáng)度和自由長(zhǎng)度也能促進(jìn)粗糙棘輪的定向輸運(yùn)性能并能使其達(dá)到最強(qiáng).此外, 研究發(fā)現(xiàn)粒子間耦合強(qiáng)度和自由長(zhǎng)度的變化還將導(dǎo)致耦合粒子的形變, 正是這一形變成為誘導(dǎo)粗糙棘輪產(chǎn)生流反轉(zhuǎn)的重要因素.由于本文僅討論兩個(gè)耦合粒子的情況, 若增加粒子數(shù)計(jì)算結(jié)果將與文獻(xiàn)[32]類似, 也就是說耦合棘輪的定向輸運(yùn)速度會(huì)隨粒子數(shù)的增加而減小.本文所得結(jié)論不僅可為生物實(shí)驗(yàn)上利用合適的粗糙棘輪來加速蛋白質(zhì)的折疊過程, 還可為納米量級(jí)粒子的整流與分離、分子機(jī)器的設(shè)計(jì)及醫(yī)學(xué)上藥物的定點(diǎn)投放提供實(shí)驗(yàn)啟發(fā).