色散和雜質(zhì)對雙參量非對稱高斯勢量子點量子比特的影響*

烏云其木格 韓超 額爾敦朝魯

1) (內(nèi)蒙古民族大學(xué)物理與電子信息學(xué)院, 通遼 028043)

2) (河北科技師范學(xué)院凝聚態(tài)物理研究所, 秦皇島 066004)

選取雙參量非對稱高斯勢描寫量子點中電子的受限效應(yīng), 采用LLP-Pekar變換變分法研究了色散和雜質(zhì)對量子點量子比特性質(zhì)的影響.結(jié)果表明, 量子點量子比特中電子的概率密度隨非對稱高斯勢阱寬的減小而呈現(xiàn)顯著振蕩, 并隨介電常數(shù)比的增加而減小; 量子比特振動周期隨高斯勢阱深的增加或介電常數(shù)比的增加而減小; 退相干時間隨介電常數(shù)比的增加或色散系數(shù)的增加而增大; 相位旋轉(zhuǎn)品質(zhì)因子隨介電常數(shù)比的增加或色散系數(shù)的增加而增大.

1 引 言

量子計算的基本原理是利用量子化的二能級系統(tǒng)作為信息處理的基本單元量子比特, 通過對量子態(tài)的調(diào)控, 完成復(fù)雜計算和信息處理.量子點量子計算機(jī)是目前被認(rèn)為最有希望實現(xiàn)的量子計算機(jī)方案之一[1-4], 量子點中的二能級體系可作為一個量子比特.影響量子點量子比特的存儲、存活、退相干、旋轉(zhuǎn)操控等性質(zhì)的要素中, 除了位于量子點中電子的三維受限和電聲耦合之外, 還應(yīng)包括量子點自身的品質(zhì), 如介電常數(shù)比、雜質(zhì)、色散等.這些要素都極具研究價值, 且目前亟待理清.對于量子點中電子的三維受限和電聲耦合, 選取合適的受限勢函數(shù)極為重要.長期以來, 用單參量的拋物勢來描述量子點中電子的受限情況較為普遍[5-9].然而, 拋物勢是一種過于簡化了的理想模型, 其結(jié)果無疑是比較粗糙的.最近, 一些學(xué)者采用高斯勢函數(shù)描寫電子在低維量子結(jié)構(gòu)中的受限, 這是因為一些實驗結(jié)果[10,11]顯示電子真實的受限應(yīng)是非拋物形的阱狀勢, 而高斯勢阱平滑且具有有限的阱深阱寬, 應(yīng)是一個很好的近似.然而, 不難發(fā)現(xiàn), 近幾年引入高斯限定勢研究量子計算機(jī)的工作大多集中在量子阱量子比特上[12-15], 而相關(guān)研究在最具實際價值的量子點量子比特領(lǐng)域甚少, 尤其是研究色散、雜質(zhì)和電聲耦合對雙參量非對稱高斯勢量子點量子比特的影響的工作尚未報道.本文選取雙參量非對稱高斯勢描寫量子點中電子的受限效應(yīng), 采用LLP-Pekar變換變分法研究了色散和雜質(zhì)對量子點量子比特性質(zhì)的影響.

2 模型與方法

考察一個位于量子點中三維受限的電子, 設(shè)電子在沿量子點生長方向及其垂直方向分別受到不同局域限定勢作用, 并與介質(zhì)中氫化雜質(zhì)和體縱光學(xué)(LO)聲子相互作用, 則量子點中雜質(zhì)-電子-LO聲子耦合體系的哈密頓量可以寫成[12]：

式中

分別表示電子沿量子點生長方向(z軸)及其垂直方向(xy平面)的限定勢和電子在氫化雜質(zhì)電場中的庫侖能, 其中,V0表示非對稱高斯勢的阱深且V0＞0,L表示其阱寬, 亦稱為量子點的有效厚度.其余各項各量的物理意義與文獻(xiàn)[12]相同.

討論變分函數(shù)U-1HU在態(tài)中期待值的變分極值問題, 按照變分原理

這里算符U是LLP幺正變換[16].依據(jù)Pekar類型的變分法[17], 體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)試探波函數(shù)分別選為

其中,λ0和λ1為變分參數(shù),是 LO 聲子的真空態(tài), 由確定.

將(4)和(5)式分別代入(3)式中, 可導(dǎo)出變分參數(shù)λ0和λ1滿足的方程如下：

其中η=ε∞/ε0稱為介電常數(shù)比.利用λ0和λ1并經(jīng)冗長計算, 可分別得體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能量藉此與(4)和(5)式可以構(gòu)造一個二能級體系, 當(dāng)電子處于疊加態(tài)

時, 即構(gòu)成一個量子點量子比特, 量子比特內(nèi)電子的概率密度為

考慮到電子的疊加態(tài)是不穩(wěn)定的, 極易受到外界環(huán)境的影響, 為此, 我們引進(jìn)拋物色散關(guān)系, 基于費米黃金規(guī)則和偶級近似, 在環(huán)境保持低溫的情況下, 引入聲子色散關(guān)系[5,7,18-20]ω=ωLO-?ck2, 可算得聲子的自發(fā)輻射率為

其中,τ為退相干時間,?稱為色散系數(shù).借助(12)式可以展開對量子比特球的相位旋轉(zhuǎn)(或稱自由旋轉(zhuǎn))操控的討論.對于一個退相干時間為τ的二能級系統(tǒng), 其量子比特球的相位旋轉(zhuǎn)品質(zhì)因子Q為

3 結(jié)果與討論

圖1—圖10給出了非對稱高斯勢量子點量子比特中電子的概率密度w、振動周期T、退相干時間τ和自由旋轉(zhuǎn)品質(zhì)因子Q的數(shù)據(jù)曲線, 為了使這些數(shù)值曲線呈現(xiàn)的各物理量的變化規(guī)律具有普遍性 , 圖中分別以作為時間、能量和長度的單位.

圖1表示能隙 ?E在高斯勢不同阱深V0下隨其阱寬L的變化.由圖1可以看出, 各 ?E-L曲線呈現(xiàn)兩頭低、中間高(最大值出現(xiàn)在L≈0.3rp處)、左右非對稱的顯著特點, 屬于一種非對稱“高斯分布”, 這與本文采用非對稱高斯勢VG(z) 描寫電子受限有關(guān).由圖1 還可以看出, 在給定L下, ?E隨V0的增加而增大, 這是因為 |VG(z)| 隨V0增加而增大所致.

圖1 能隙 Δ E 在非對稱高斯勢不同阱深 V0 下隨阱寬L的變化Fig.1.Energy gap Δ E versus the well width L under different the well depth V0 of the asymmetric Gaussian (AG)potential.

圖2描繪了能隙 ?E在不同介電常數(shù)比η下隨高斯勢阱寬L的變化.由圖2可以看出, ?E隨η的增加而增大.這是因為在含氫化雜質(zhì)的晶體或納米結(jié)構(gòu)中電子被庫侖勢(VC＜0)束縛于氫化雜質(zhì)中, 且η越大, 雜質(zhì)-電子庫侖勢VC∝-(1-η)-1越強(qiáng).

圖3為概率密度w在高斯勢不同阱深V0下隨其阱寬L的變化.由圖3可以看出,w隨L的變化規(guī)律在L的不同區(qū)域差異較大：當(dāng)L＞2.0rp時,w隨L的增加而增大.這是因為隨著L的增加, 電子的縱向受限減弱, 使得體系的能量E隨高斯阱寬L的增加而減小, 而根據(jù)能量最低原理, 電子優(yōu)先處于較低的能態(tài); 在L取一定時,w隨阱深V0的增加而減小, 這是因為隨著V0的增加, 電子的自陷加大, 致使體系的能量E隨V0的增加而增大所致.當(dāng)L＜2.0rp時,w隨L的減小而明顯振蕩變化, 這一結(jié)果與量子力學(xué)理論相吻合, 因為電子受限越強(qiáng), 電子態(tài)的波動性越凸顯.

圖4描繪了概率密度w在不同介電常數(shù)比η下隨高斯勢不同阱寬L的變化.由圖4可以看出,在L一定時,w隨η的增加而減小, 這是因為庫侖能 2α/(1-η) 隨η的增加而增大, 進(jìn)而推高體系的能量, 促使電子優(yōu)先處于較低的能態(tài).

圖2 能隙 Δ E 在不同介電常數(shù)比 η 下隨高斯勢阱寬 L 的變化Fig.2.Energy gap Δ E versus the well width L of the AG potential under different the dielectric constant (DC) ratio η .

圖3 概率密度w在高斯勢不同阱深 V0 下隨阱寬L的變化Fig.3.Probability density w versus the well width L under different the well depth V0 of the AG potential.

圖5揭示了振動周期T在高斯勢不同阱深V0下隨其阱寬L的變化.由圖5可以看出,T-L曲線呈現(xiàn)兩頭高、中間低(最小值出現(xiàn)在L≈0.3rp處)、左右非對稱的顯著特點.這與圖1恰好相反, 這是由于T∝1/?E.這一最小值對于量子比特信息存儲是不利的, 因此選擇量子點的厚度應(yīng)遠(yuǎn)大于L≈0.3rp.在L一定時,T隨阱深V0的增加而減小, 這是因為 ?E隨著V0的增加而增大.這意味著深阱量子點也不利于量子比特信息的存儲.

圖4 概率密度 w 在不同介電常數(shù)比 η 下隨高斯勢不同阱寬L的變化Fig.4.Probability density w as a function of the well width L of the AG potential at different the DC ratio η .

圖5 振動周期 T 在高斯勢不同阱深 V0 下隨其阱寬 L 的變化Fig.5.Variations of oscillation period T as a function of the well width L at different well width L of the AG potential.

圖6 描寫了振動周期T在不同介電常數(shù)比η下隨高斯勢阱寬L的變化.由圖6可以看出, 當(dāng)L一定時,T隨η的增加而減小, 這是因為 ?E隨η的增加而增大.這表明量子點中雜質(zhì)的存在, 使得電子疊加態(tài)的振蕩周期變小, 而振蕩周期的變小,意味著量子位存活時間變小.這對于量子點量子比特的信息存儲是不利的.

圖6 振動周期 T 在不同介電常數(shù)比 η 下隨高斯勢阱寬L的變化Fig.6.Variations of oscillation period T as a function of the well width L of the AG potential at different the DC ratio η .

圖7 自發(fā)輻射率 τ -1 在不同介電常數(shù)比 η 下隨高斯勢阱寬L的變化Fig.7.Spontaneous emission rate τ -1 as a function of the well width L of the AG potential at different the DC ratio η .

圖7描繪了聲子自發(fā)輻射率τ-1在不同介電常數(shù)比η下隨高斯勢不同阱寬L的變化.由圖7可以看出,τ-1-L曲線呈現(xiàn)兩頭低、中間高、左右非對稱形狀.由(12)式不難看出這是由于 ?E-L曲線的非對稱高斯分布傳導(dǎo)至τ-1-L曲線所致.自發(fā)輻射率τ-1的最大值出現(xiàn)在L≈0.7rp處, 換言之, 在L≈0.7rp處退相干時間τ取最小值, 這對量子比特的信息存儲是最不利的.由圖7還可以看出,τ-1隨η的增加而減小, 這意味著退相干時間τ隨η的增加而增大.這表明量子點中雜質(zhì)庫侖勢的存在對于量子點量子比特的信息存儲是有利的.

圖8表示了自發(fā)輻射率τ-1在不同色散系數(shù)?下隨高斯勢阱寬L的變化.由圖8可以看出,τ-1隨?的增加而減小, 這意味著退相干時間τ隨?的增加而增大.色散系數(shù)是由材料本身性質(zhì)決定, 因此要想獲得較長的退相干時間應(yīng)選擇色散系數(shù)較大的材料來制備量子點量子比特.

圖9表示相位品質(zhì)因子Q在不同介電常數(shù)比η下高斯勢不同阱寬L的變化.由圖9可以看出,Q-L曲線呈現(xiàn)“γ”形特點, 最小值出現(xiàn)在L≈0.8rp處.由(12)和(13)式不難看出, 該曲線是一個被?E調(diào)節(jié)的τ-L曲線.由圖9 還可以看出,Q隨η的增加而增大, 這表明雜質(zhì)庫侖勢的存在有利于相位旋轉(zhuǎn)操控.圖10描繪了相位品質(zhì)因子Q在不同色散系數(shù)?下隨高斯勢不同阱寬L的變化.由圖10可以看出,Q隨?的增加而增大, 這意味著選擇色散系數(shù)越大的材料制備量子點, 其量子比特球越容易實施相位旋轉(zhuǎn)操控.

圖8 自發(fā)輻射率 τ -1 在不同色散系數(shù) ? 下隨高斯勢阱寬L的變化Fig.8.Spontaneous emission rate τ -1 as a function of the well width L of the AG potential at different dispersion coefficient ? .

圖9 相位品質(zhì)因子 Q 在不同介電常數(shù)比 η 下隨高斯勢阱寬L的變化Fig.9.Quality factors of phase rotation Q as a function of the well width L of the AG potential at different the DC ratio η .

圖10 相位品質(zhì)因子 Q 在不同色散系數(shù) ? 下隨高斯勢阱寬L的變化Fig.10.Quality factors of phase rotation Q as a function of the well width L of the AG potential at different dispersion coefficient ? .

4 結(jié) 論

選用雙參量非對稱高斯勢描寫量子點中電子的受限能夠更好地反映量子比特的量子化特性.介質(zhì)的色散系數(shù)、介電常數(shù)和電聲耦合強(qiáng)度對量子比特的形成和信息存儲有利有弊.提高材料的色散系數(shù)或介電常數(shù)比不僅有利于量子比特球的相位旋轉(zhuǎn)操控, 也有利于改善量子點量子比特的相干性.本文的結(jié)果對從事制備和操控量子點量子比特的相關(guān)實驗工作提供借鑒.