中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新性問題直擊

呂進(jìn)智

[摘? ?要]采擷幾例中考數(shù)學(xué)試題，探討中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新性問題的解題策略，以提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和綜合素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]中考數(shù)學(xué);創(chuàng)新性問題;新定義

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）32-0032-02

創(chuàng)新，永遠(yuǎn)是中考數(shù)學(xué)命題的主題.在中考數(shù)學(xué)中，創(chuàng)新性問題主要有閱讀理解及新定義型問題、方案設(shè)計(jì)型問題、動(dòng)點(diǎn)問題和開放探索性問題等.由于創(chuàng)新性問題注重對(duì)考生創(chuàng)新能力和綜合素質(zhì)的考查，因此具有一定難度.那么如何解答這類問題呢？本文舉例說明.

一、閱讀理解及新定義型問題

數(shù)學(xué)也需要閱讀，也需要考查，于是閱讀理解及新定義型問題應(yīng)運(yùn)而生.這類問題考查全面，重在考查學(xué)生的閱讀理解能力、抽象概括能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.

[例1]閱讀理解題：

定義：假設(shè)一個(gè)數(shù)的平方等于[-1]，記作[i2=-1]，這個(gè)數(shù)i稱為虛數(shù)單位，把形如[a+bi（a，b]為實(shí)數(shù)）的這個(gè)數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中a、b分稱為這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，其加、減、乘法運(yùn)算與整式的運(yùn)算類似.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于閱讀理解及新定義型問題，命題者給定一個(gè)高中階段的知識(shí)點(diǎn)，讓考生經(jīng)過自學(xué)去解決新問題.解閱讀理解及新定義型問題的關(guān)鍵應(yīng)落實(shí)在“閱讀”“理解”上，解題時(shí)考生應(yīng)仔細(xì)閱讀信息，并將題中的信息“數(shù)學(xué)化”;同時(shí)感悟其中的數(shù)學(xué)思想與方法，并形成科學(xué)的思維方式和思維策略，從而順利將問題解決.

二、方案設(shè)計(jì)型問題

方案設(shè)計(jì)型問題是中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新性問題的一種典型問題，該問題通常設(shè)置一個(gè)實(shí)際問題的情境，并給出一些信息及提出解決問題的具體要求，以探求最為恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案.有時(shí)問題中還給出多種不同的解決方案，要求考生思考孰優(yōu)孰劣.這類問題主要考查考生的動(dòng)手操作能力和實(shí)踐能力，具有一定的難度.

[例2]有一塊三角形鐵片[ABC，BC=12 cm]，高[AH=8 cm]，按如下一、二方案把其制作成一塊長方形鐵片[DEFG]，且滿足長方形的長是寬的2倍，為了避免浪費(fèi)，制作成的長方形鐵片的面積應(yīng)盡可能大些.試問上面兩種方案，哪種更好些？

點(diǎn)評(píng)：本題是利用幾何圖形的方案設(shè)計(jì)，通過相似三角形的性質(zhì)和判定、矩形面積計(jì)算等知識(shí)對(duì)兩種方案進(jìn)行比較.熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵.方案設(shè)計(jì)型問題，必須具體問題具體分析.對(duì)于討論材料、合理猜想類問題，一般要求考生進(jìn)行科學(xué)的判斷、推理、證明;對(duì)于畫圖設(shè)計(jì)、動(dòng)手操作型問題，可以讓考生按要求對(duì)圖形進(jìn)行合理分割，或設(shè)計(jì)美觀的圖案.

三、動(dòng)點(diǎn)問題

動(dòng)點(diǎn)問題常常被列為各地中考數(shù)學(xué)的壓軸題之一，這類問題就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上設(shè)計(jì)一個(gè)或兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中伴隨的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究考查.動(dòng)點(diǎn)問題常集幾何與代數(shù)知識(shí)于一體，常用到數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想，有較強(qiáng)的綜合性.

[例3]如圖3，在邊長為2的正方形ABCD中剪去一個(gè)邊長為1的小正方形CEFG，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→E→F→G→B的路線繞多邊形的邊勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止（不含點(diǎn)A和點(diǎn)B），則△ABP的面積S隨著時(shí)間t變化的函數(shù)圖像大致是（）.

解析：當(dāng)點(diǎn)[P]在AD上時(shí)，[△ABP]的底AB不變，高增大，因此，[△ABP]的面積[S]隨著時(shí)間t的增大而增大;當(dāng)點(diǎn)[P]在DE上時(shí)，[△ABP]的底AB不變，高不變，因此，△ABP的面積S不變;當(dāng)點(diǎn)[P]在EF上時(shí)，[△ABP]的底AB不變，高減小，所以[△ABP]的面積[S]隨著時(shí)間t的減小而減小;當(dāng)點(diǎn)[P]在FG上時(shí)，[△ABP]的底AB不變，高不變，所以[△ABP]的面積[S]不變;當(dāng)點(diǎn)[P]在GB上時(shí)，[△ABP]的底AB不變，高減小，所以[△ABP]的面積[S]隨著時(shí)間t的減小而減小.故選B.

點(diǎn)評(píng)：此題為特殊四邊形和動(dòng)點(diǎn)“聯(lián)姻”的函數(shù)問題，涉及矩形三角形的面積、一次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想等知識(shí).同時(shí)也考查了分類討論思想. 解題時(shí)，第一步，動(dòng)中尋靜[→]在運(yùn)動(dòng)變化中找出不變的量及相等的關(guān)系，得出相關(guān)的常量，并用含變量的代數(shù)式表示相關(guān)的量 ;第二步，找特殊點(diǎn)（分類討論） [→]將變化的點(diǎn)按指定的運(yùn)動(dòng)路徑運(yùn)動(dòng)一遍，明確運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置以及可能出現(xiàn)的情況 ;第三步，找等量關(guān)系[→]利用面積關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、特殊圖形的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系等，確定等量關(guān)系; 第四步，列方程[→]將相關(guān)的常量和含有變量的代數(shù)式代入等量關(guān)系建立方程，根據(jù)所列方程解決相關(guān)問題 .

四、開放探索性問題

開放探索性問題，通常是指在已知條件、解題依據(jù)、解題方法、求解結(jié)論這四個(gè)要素中，有缺損，要求考生自行補(bǔ)全，而答案往往不唯一，也就是說答案是開放的.這類問題給考生提供了更為廣闊的思維空間，因而一直活躍在中考數(shù)學(xué)的命題中.

[例4]在四邊形[ABCD]中，[∠B+∠D=180°，]對(duì)角線[AC]平分[∠BAD].

（1）如圖5，若[∠DAB=120°，]且[∠B=90°，]試探究邊[AD、AB]與對(duì)角線[AC]的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

（2）如圖6，若將（1）中的條件“[∠B=90°]”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由.

（3）如圖7，若[∠DAB=90°]，探究邊[AD、AB]與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

點(diǎn)撥：（1）結(jié)論：AC=AD+AB，只要證明AD=AC，AB=AC即可解決問題.（2）（1）中的結(jié)論成立.以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作[∠ACE=60°，∠ACE]的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E，僅需證明[△DAC≌△BEC]即可實(shí)現(xiàn)問題的解決.

（3）結(jié)論：[AD+AB=2AC].過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長線于點(diǎn)E，只要證明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解決問題.

點(diǎn)評(píng)：此題是結(jié)論開放探索性問題，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.解答開放探索性問題時(shí)，往往沒有一般的解題模式，解題方法也具有不確定性，考生可采用多種思維方法，如順推、逆推、假設(shè)等.需要對(duì)問題全方位、多層次、多角度地思考與審視，盡量找到解決問題的方法.

中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新性問題不止以上四種.在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)多積累、多研究，引導(dǎo)學(xué)生有效掌握相關(guān)解題策略，從而順利拿下此類問題.

（特約編輯 安? ?平）