三角函數(shù)、解三角形創(chuàng)新練習(xí)

王思儉

上一篇文章你真的讀懂了嗎？做一做下面的題目檢驗(yàn)一下吧，卡殼的時(shí)候先仔細(xì)想一想，實(shí)在想不出來(lái)再去看看文章中是如何講解的．

1.在△ABC中，AB=2AC，△ABC的面積為3，求BC的最小值．

（變題1-1）在△ABC中，AB=λAC，△ABC的面積為S，設(shè)BC=a，求a的最小值．

（變題1-2）在△ABC中，AB=λAC（λ≠1），BC=a，求△ABC面積S的最大值（其中λ，a為定值）．

（變 題1-3）在△ABC中，BC=a，△ABC的面積為S，設(shè)AB=λAC，求λ的取值范圍（其中a，S為定值）．舉個(gè)具體例子：在△ABC中，BC=3，△ABC的面積為S=3，設(shè)AB=λAC，求λ的取值范圍．

答案與解析

1.【法一】設(shè)AC=x，AB=2x，BC=a，cosA=

關(guān)于x的方程：9x4-10a2x2+a4+144=0有正根，

令t=x2，則關(guān)于t的方程：9t2-10a2t+a4+144=0有正根，

于是Δ=100a4-36（a4+144）≥0，得a2≥9，a≥3，

所以a的最小值為3．

【法二】如圖1，建立直角坐標(biāo)系．

設(shè)BC=a，B（0，0），C（a，0），A（x，y），

因?yàn)锳B=2AC，

圖1

故點(diǎn)A的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓．

故a的最小值為3．

變題1-1：如圖2，建立直角坐標(biāo)系，B（a，0），C（0，0），設(shè)A（x，y），

圖2

由AB=λAC得到點(diǎn)A的軌跡方程：（x-a）2+y2=λ2（x2+y2），

整理 為：（1-λ2）x2+（1-λ2）y2-2ax+a2=0．

①若λ=1，則點(diǎn)A的軌跡方程是：

即說(shuō)明點(diǎn)A在線段BC的中垂線上，

此時(shí)，BC無(wú)最小值，也無(wú)最大值；

②若λ≠1且λ＞0，

則點(diǎn)A的軌跡方程是：即說(shuō)明點(diǎn)A在以為圓心，為半徑的圓上，此時(shí)，得

故a有最小值

變題1-2：由 變1-1 可 得，故S的最大值為

變題1-3：①λ=1時(shí)，成立；

②若λ≠1且λ＞0，

由變1-1知：點(diǎn)A的軌跡方程是：

S=則S=3≤從而

2.思路分析：由已知求得tanα，利用萬(wàn)能公式分別求sin2α，cos2α的值，再展開兩角和的正弦求的值．

解法一：由

當(dāng)tanα=2時(shí)，cos2α=

解法二：由已知得設(shè)，于是有2t2+5t-3=0．因?yàn)樵傧一械茫瑂in將代入得

本題是給式求值類型問(wèn)題，主要考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡(jiǎn)求值，考查兩角和的三角函數(shù)及萬(wàn)能公式的應(yīng)用，解法二是拆角變換，設(shè)而不求，整體思想，此法簡(jiǎn)潔明了．