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    高考題怎么改編(四)
    ——三角篇

    2019-12-20 08:05:20
    關(guān)鍵詞:余弦定理平分線內(nèi)角

    蘇 玖

    一、真題展現(xiàn)

    (2019全國Ⅱ卷第15題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,則△ABC的面積為_______.

    二、思維延伸

    本題考查了余弦定理和三角形的面積公式.利用余弦定理得到c2,然后根據(jù)面積公式就能求出結(jié)果.如果將條件“a=2c”去掉,則題目變?yōu)椋?/p>

    (改編1)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,,則△ABC的

    本題將余弦定理、三角形面積公式及基本不等式綜合在一起進(jìn)行考查,這也是高考命題的重要題型.后面將給出兩種不同的解題策略,其中第一種策略較簡單.我們還可以求三角形的周長取值范圍,于是改編為:

    (改編2)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,則△ABC的周長的取值范圍為_______.

    以上三題中角B是給出的,如果隱藏在有關(guān)邊角等式中,可以改編為:

    (改編3)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=6,求△ABC的面積最大值.

    本題將正弦定理、余弦定理、二倍角公式、誘導(dǎo)公式及基本不等式整合在一起,先利用相關(guān)公式求角,再利用余弦定理和基本不等式求三角形面積的最大值.如果增加一個(gè)條件,問題就可以改編為:

    (改編4)銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=8.記△ABC的面積為S,已知.求△ABC面積的取值范圍.

    運(yùn)用余弦定理,可求得角A的大??;再運(yùn)用余弦定理求出a用c表示,由銳角△ABC的充要條件建立關(guān)于c的不等式,從而求出c的取值范圍,由三角形的面積公式,可得所求范圍.本題考查三角形的正弦定理和余弦定理、面積公式的運(yùn)用,考查三角函數(shù)的恒等變換,以及化簡運(yùn)算能力.本題是由2019全國Ⅲ卷第18題改編而成.

    以上幾題都是利用三角形中三角函數(shù)知識求面積最值或取值范圍.我們也可以由三角形的面積的最大值求邊長,例如,

    (改編5)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,且邊長a=m為常數(shù),△ABC的面積S的最大值為,求m的值.

    其實(shí)本題是2019全國Ⅲ卷第18題與全國Ⅱ卷第15題整合并改編而成,考查三角函數(shù)的有關(guān)公式,這是由已知角和面積的最大值求邊長.當(dāng)然也可以由定邊長和面積的最大值求定角的大小.于是改編為:

    (改編6)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=4,角A為定值,△ABC的面積S的最大值為4,求A的值.

    上述幾道題都是研究三角形的角、邊與面積最值或范圍問題,他們之間存在內(nèi)在聯(lián)系.從上述求解過程可以看出題目改編的歷程.也可以將邊替換為內(nèi)角平分線長或中線長,再來研究相關(guān)最值問題,可以研究最小值嗎?于是改編為:

    (改編7)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA=sin(B-C),角B的平分線BD的長為2,(1)求△ABC面積的最小值;(2)求三角形周長的最小值.

    本題將兩角和差三角函數(shù)公式與三角形面積有機(jī)結(jié)合,同時(shí)又考查利用判別式法或者導(dǎo)數(shù)法或者基本不等式法等求最值,但基本不等式法較簡潔明了.本題也是由2018年江蘇卷第13題改編而成,也可以由最值求角平分線的長.

    (改編8)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,其中S為△ABC的面積.(1)求A的大??;(2)若角A的平分線AD的長為定值,且△ABC面積的最小值2,求AD的長度.

    已知最值反過來求線段長度,其基本思路是,先在定長線段情況下求出面積的最小值,然后再利用最小值建立方程,從而求出定長,也可以由最值求定角的大小或相關(guān)三角函數(shù)式的值.

    (改編9)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,定角A的平分線為AD,且AD=2,△ABC的面積S的最小值為8,求的值.

    本題通過三角形的面積找出相鄰兩邊b,c與角A的等式關(guān)系,利用基本不等式求出面積的最小值,從而求出角A(或某一三角函數(shù)值),再利用兩角和差三角公式求解.利用角平分線的大小還可以研究三角形周長的最小值.

    圖1

    (改編10)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知tanB,tanC是關(guān)于x的方程(常數(shù)m>0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)解.(1)求角A的大小;(2)若角A的平分線為,求△ABC的周長l的最小值.

    三、點(diǎn)撥解析

    真題解析:由余弦定理有b2=a2+c2-2accosB,因?yàn)閎=6,a=2c,

    所以,36=(2c)2+c2-4c2cos,即c2=12,所以,S△ABC=acsinB=c2sinB=6

    改編1:由余弦定理得,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立.又因?yàn)?,故△ABC的面積最大值為

    改編2:由正弦定理得,因此三角形的周長為又因?yàn)橐虼?,所以?2<l≤18,故三角形的周長取值范圍為(12,18].

    如果本題△ABC為銳角三角形,那么三角形的周長范圍又是什么呢?由于且故三角形周長的取值范圍為

    改編3:因?yàn)椋烧叶ɡ碇?,,再由二倍角公式及誘導(dǎo)公式得,又因?yàn)?<A<π,所以,所以再由余弦定理得36=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,即bc≤12,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號成立.又因?yàn)椋省鰽BC的面積最大值為

    改編4:因?yàn)?,由余弦定理及面積公式得因此,又因?yàn)?<A<π,所以又因?yàn)閎=8,因此

    于是問題轉(zhuǎn)化為求c的取值范圍.由余弦定理得a2=64+c2-8c,再利用銳角三角形的充要條件a2+b2>c2且b2+c2>a2且a2+c2>b2建立關(guān)于c的不等式,即c2-8c+64+c2>64且c2-8c+64+64>c2且64+c2>c2-8c+64,解之得4<c<16,所以故△ABC面積的取值范圍為

    改編5:因?yàn)?,即為,由正弦定理得于是所以又因?yàn)锳,B∈(0,π),因此,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc,再結(jié)合基本不等式知m2≥2bc+bc=3bc,所以,即.又因?yàn)椋?,解之得,m=6.

    改編6:由余弦定理及基本不等式得16=b2+c2-2bccosA≥2bc-2bccosA,所以bc≤因此因?yàn)榻茿為定值,所以,即4=得sinA=1-cosA,由二倍角公式得又因?yàn)樗?/p>

    改編7:(1)在△ABC中,因?yàn)閟inA=sin[π-(B+C)],于是sin(B+C)=sin(BC),展開化簡整理得cosBsinC=0.又因?yàn)?<sinC≤1,因此cosB=0,所以又因?yàn)镾△ABC=S△BCD+S△ABD,因此即ac=2(a+c).由基本不等式得即ac≥16,因此,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)等號成立,所以△ABC面積的最小值為8.

    另法:因?yàn)閍c=2(a+c),所以因?yàn)樗岳门袆e式法求解,方程a2-Sa+2S=0有解,因此Δ=S2-8S≥0,即S≥8(S≤0),所以S的最小值為8,此時(shí)a=4,c=4.

    改編8:(1)因?yàn)?,由?shù)量積定義知即,而0<A<π,于是

    (2)因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△ACD,因此設(shè)AD=p,即p(b+c)=bc,由基本不等式得,所以bc≥4p2.又因?yàn)橛谑牵碨的最小值為.由題意知即p=所以AD的長度為

    改編9:因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△ACD,因此即由基本不等式知

    改編10:首先求出m的取值范圍,其次利用根與系數(shù)關(guān)系和兩角和與差的正切公式求出B+C,即得角A的大小,再利用面積代換尋找b,c的等式關(guān)系,從而求出b+c的取值范圍,最后利用余弦定理找出周長與b+c的函數(shù)關(guān)系,再利用導(dǎo)數(shù)求出最小值.

    (1)因?yàn)閠anB,tanC是關(guān)于x的方程(常數(shù)m>0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)解,因此Δ=3m2-4m-4>0,解得m>2.又tanB+tanC=,tanBtanC=m+1,于是即,所以

    (2)由面積公式有,S△ABC=S△ABD+S△ACD,化簡整理得即2(b+c)=bc,由基本不等式知,,即b+c≥8.再由余弦定理得,a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,所以周長,再將2(b+c)=bc代入,令x=b+c得.求導(dǎo)得,因此f(x)在[8,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)的最小值f(8)=12.故三角形的周長的最小值為12.

    四、回顧悟道

    這組高考改編題,是通過對一道全國高考填空題的條件進(jìn)行減弱或加強(qiáng)使其形成新的考題,如改編1在原題中減少一個(gè)條件下,改求三角形面積的最大值;改編3~6變更原題條件,由面積的最大值求邊或角,從而找出一般結(jié)論.一般地,△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=m為常數(shù),角A為定值,研究△ABC的面積S的最大值.事實(shí)上,因?yàn)橛捎嘞叶ɡ淼胢2=b2+c2-2bccosA,結(jié)合基本不等式有,m2≥2bc-2bccosA,因此bc≤故面積最大值為其實(shí),我們借助平面幾何知識,不難理解,當(dāng)BC和角A為定值時(shí),點(diǎn)A的軌跡是圓上弦BC所對的一段弧,顯然AB=AC,即△ABC為等腰三角形時(shí),A到BC的距離最大,從而面積有最大值.改編7~10四題可以研究一般情況,即△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,定角A的平分線為AD,且AD=p,研究△ABC的面積S(或者周長)的最小值與A,p的關(guān)系式.以面積為例,一般地,若定角A的平分線為AD,且AD=p,由面積公式有,S△ABC=S△ABD+S△ACD,因此即

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