坐標(biāo)法求立體幾何題“四步曲”

南京市第九中學(xué) 張榮彬

在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，分別取與x軸、y軸、z軸方向相同的單位向量i，j，k作為基底，對(duì)于空間任意一個(gè)向量a，根據(jù)空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使a=xi+yj+zk，則稱（x，y，z）為向量a的坐標(biāo)．空間向量的坐標(biāo)化，為我們證明空間平行與垂直關(guān)系、探求空間角與距離的大小提供了新視野、開(kāi)辟了新思路．

例1如圖1，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．

（1）證明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

圖1

圖2

圖3

分析直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠BAD=60°，可得DE⊥DA．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

（1）設(shè)k=（a，b，c）為平面C1DE的法向量，則取c=1得k=（4，0，1），由于，因MN?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE．

（2）設(shè)m=（x，y，z）為平面A1MA的法向量，n=（p，q，r）為平面A1MN的法向量

從上例可以看出，利用坐標(biāo)法求解立體幾何問(wèn)題由以下4個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成：

（1）建系：建立合適的空間直角坐標(biāo)系；

（2）求坐標(biāo)：求出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)；

（3）向量運(yùn)算：利用有關(guān)公式進(jìn)行論證、計(jì)算；

（4）結(jié)論：將上述運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．

這個(gè)解題“四步曲”易被同學(xué)們接受，但具體到每個(gè)環(huán)節(jié)，似乎都有些要說(shuō)的話．

話題1：如何建立空間坐標(biāo)系？

當(dāng)確定使用空間向量來(lái)解題時(shí)，建系就是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在．建立空間直角坐標(biāo)系的常用方法有：利用共頂點(diǎn)且相互垂直的三條棱建系、利用線面垂直建系、利用面面垂直建系、利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系建系．不管何種情形，都是要利用、發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造圖形中“三垂直”的關(guān)系．

（1）題目的背景是長(zhǎng)方體、正四棱柱、正方體、直角四面體時(shí)，建系無(wú)懸念；

（2）正棱錐可以利用底面中心及高所在的直線建系；底面是菱形的直四棱柱，如例1，可利用所給的菱形特征或利用菱形對(duì)角線性質(zhì)（如圖3）來(lái)建系；對(duì)于正三棱柱通常可以參照?qǐng)D4或圖5來(lái)建系；

（3）除以上特殊圖形的常規(guī)建系方法外，常會(huì)出現(xiàn)一些新的變化．

圖4

圖5

圖7

例2如圖6，在四棱錐S-ABCD中，△BCD為等邊三角形，AD=AB=SD=SB，∠BAD=120°．若二面角S-BD-C為直二面角，求直線AC與平面SCD所成角的正弦值．

分析題中雖然沒(méi)有現(xiàn)成的三線垂直，但聚焦底面四邊形可以發(fā)現(xiàn)AC是BD的垂直平分線，設(shè)AC與BD交于O，又由SD=SB得SO⊥BD，又SO?面SBD，面SBD⊥面ABCD，面SBD∩面ABCD=BD，所以SO⊥平面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OB，OS所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系，……

本例坐標(biāo)系的建立，使用了平面幾何知識(shí)，也使用了平面垂直的性質(zhì)定理．雖然說(shuō)向量坐標(biāo)化是將幾何問(wèn)題代數(shù)化，但在代數(shù)化（建系）之前，還需要幾何性質(zhì)的支撐．這是復(fù)雜問(wèn)題建系時(shí)的難點(diǎn)所在．

話題2：如何確定點(diǎn)或向量的坐標(biāo)？

當(dāng)成功地建立空間直角坐標(biāo)系后，接下來(lái)便是寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而求出有關(guān)向量的坐標(biāo)．一般的方法是先寫(xiě)出xOy平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后加上一個(gè)“高度”坐標(biāo)后就是該點(diǎn)正上方的點(diǎn)的坐標(biāo)了．

（1）畫(huà)出xOy平面內(nèi)的真圖．

由于空間圖形是直觀圖，因此底面的平面圖形可能“失真”，這需要我們借助空間想象寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，必要時(shí)也可在草稿紙上畫(huà)一個(gè)真圖，這樣可以更準(zhǔn)確地表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)．

如例1中的圖2、圖3及例2中圖7，其底面的平面圖分別為下面的圖8所示，各點(diǎn)坐標(biāo)容易求得．

圖8

（2）利用向量相等求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

例3如圖9，在三棱柱ABC-A1BC1中，H是正方形AA1B1B的中心，C1H⊥平面AA1B1B，且試建立合適的坐標(biāo)系，并寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)．

圖9

圖10

分析如圖10，以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線HA，HA1，HC1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得H（0，0，0），A（2，0，0），A1（0，2，0），B（0，-2，0），B1（-2，0，0），C1（0，0，），但點(diǎn)C的坐標(biāo)如何求出？將它投影到xOy平面內(nèi)又落在何處？此時(shí)可以參考其他信息，比如，設(shè)C（x，y，），由向量相等可求出C的坐標(biāo)．

話題3：判斷平行與垂直、求角與距離的大小有哪些向量工具？

直線的方向向量和平面的法向量在研究空間線面位置關(guān)系中起著關(guān)鍵作用：

（1）直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量判定方法，主要是借助直線的方向向量與平面的法向量的位置關(guān)系來(lái)完成；

（2）求異面直線所成的角：異面直線AC，BD的夾角β的余弦值為cosβ=

（3）求直線與平面所成的角：求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，其余角就是斜線和平面所成的角；

（4）求二面角：二面角的大小就是兩平面的法向量所成角（或其補(bǔ)角）；

（5）求點(diǎn)到面的距離（如圖11）

圖11

在此公式中，A為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，解題時(shí)只需選擇坐標(biāo)便于計(jì)算的點(diǎn)即可，常稱為參考向量．這樣，我們可以寫(xiě)出求點(diǎn)面距離的一個(gè)算法：①求平面的法向量；②選擇參考向量；③求參考向量在平面法向量上投影的絕對(duì)值．

在例3中，如求A到平面A1B1C1的距離d，可先求平面A1B1C1的法向量n，當(dāng)確定為參考向量時(shí)，則當(dāng)然用計(jì)算也是可行的．直線與平面的距離、平面與平面的距離，都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．

話題4：怎樣用向量運(yùn)算結(jié)果回答立體幾何的問(wèn)題？

這是解題的最后環(huán)節(jié)，主要是要弄清向量結(jié)論與幾何問(wèn)題的關(guān)系，如當(dāng)直線的方向向量與平面的法向量垂直時(shí)，要交代線不在面內(nèi)才可有線面平行的結(jié)論；兩條異面直線所成的角不一定是兩直線的方向向量的夾角；二面角的大小也不一定是兩平面法向量的夾角等細(xì)節(jié)都不能忽視．