求數(shù)列通項的一般方法

南京市教學研究室 龍艷文

求數(shù)列通項是數(shù)列這一章的重點問題之一．我們通過以題組形式對問題進行歸類研究，分析遞推關系的結構特征，提煉出有章可循的解題方法，從而構建數(shù)列中有關最值、單調性和不等式恒成立問題的解題思維模式結構圖．

一、解題思維模式形成

題組一：疊加（乘）法

例1（1）已知a1=1，an+1=an+2n，n∈N*．求數(shù)列｛an｝的通項公式an．

解n≥2時，

an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+21+…+2n-1=2n-1，

當n=1時，21-1=1=a1，上式也成立．

所以an=2n-1，n∈N*．

（2）已知a1=1，an+1=2nan，n∈N*．求數(shù)列｛an｝的通項公式an．

解n≥2時

當n=1時，20=1=a，上式也成立．

方法小結

（1）形如an-an-1=f（n）（n∈N且n≥2）的遞推關系，用疊加法，即當n∈N，n≥2時，

題組二：進（退）項作差（和、商、積）

例1（1）設數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知a1=1，a2=2，且an+1=3Sn-1-Sn+3（n∈N*，n≥2），證明：an+2=3an．

解因為對任意n∈N*，n≥2，有an+1=3Sn-1-Sn+3，①

所以n≥1時有，an+2=3Sn-Sn+1+3，②

由②-①，得an+2-an+1=3an-an+1，即an+2=3an（n≥2，n∈N*）．又a1=1，a2=2，所以a3=3S1-S2+3=3a1-（a1+a2）+3=3=3a1，所以任意n∈N*，an+2=3an．

（2）設數(shù)列｛an｝的各項都是正數(shù)，對任意n∈N*，都有a31+a32+a33+…+a3n=S2n+2Sn，其中Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和．

（i）求a1，a2；（ii）求數(shù)列｛an｝的通項公式．

解（i）令n=1，則a31=S21+2S1，即a31=a21+2a1，解得a1=2或a1=-1或a1=0．

又因為數(shù)列｛an｝的各項都是正數(shù)，所以a1=2．

令n=2，則a31+a32=S22+2S2，即a31+a32=（a1+a2）2+2（a1+a2），

將a1=2代入得a32-a22-6a2=0，解得a2=3或a2=-2或a2=0．

又因為數(shù)列｛an｝的各項都是正數(shù)，所以a2=3．

（ii）因為a31+a32+a33+…+a3n=S2n+2Sn，①

所以a31+a32+a33+…+a3n-1=S2n-1+2Sn-1（n≥2），②

由①-②，得a3n=（S2n+2Sn）-（S2n-1+2Sn-1）=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1+2）=an

（Sn+Sn-1+2）．

因為an＞0，所以a2n=Sn+Sn-1+2，③

所以a2n-1=Sn-1+Sn-2+2（n≥3），④

由③-④，得a2n-a2n-1=an+an-1，即an-an-1=1（n≥3）．

又a2-a1=1，所以an-an-1=1（n≥2），

所以數(shù)列｛an｝是一個以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，

所以an=a1+（n-1）d=n+1．

方法小結

對數(shù)列遞推公式進（退）項相減．

例2（1）已知數(shù)列｛an｝滿足an=an-1-an-2（n≥3，n∈N*），它的前n項和為Sn．若S9=6，S10=5，則a1的值為_______．

解由an=an-1-an-2（n≥3），得an+1=an-an-1（n≥2），

兩式相加得an+1=-an-2（n≥3，n∈N*），從而an+3=-an（n∈N*），

可得an+6=an（n∈N*）．

由S9=6，S10=5，得a10=-1．

因為a10=a4=-a1，所以a1=1．

（2）已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且對任意正整數(shù)n都有求數(shù)列｛an｝的通項公式．

解由，得

①+②得an+an+1=（-1）n（-an+1）+

當n為奇數(shù)時，，所以

當n為偶數(shù)時

方法小結

對數(shù)列遞推公式進（退）項相加．

例3（1）已知數(shù)列｛an｝的各項均不為零，且滿足a1a2a3…an=an+1，n∈N*，a1=2，求an．

解n=1時，a2=a1=2．

因為a1a2a3…an=an+1，n≥1，①

所以a1a2a3…an-1=an，n≥2，②

由①÷②，得an+1=a2n，n≥2，所以an＞0，則lnan+1=2lnan，n≥2，

所以lnan=2n-2lna2=ln22n-2，n≥2，所以an=22n-2，n≥2．

（2）已知數(shù)列｛an｝各項均為正數(shù)，且對任意n∈N*，都有．求證：數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列．

證明因為

所以a2n+2=an+1an+3，n=2時，a1a3=a22，故a2n+1=anan+2，n∈N*，

因此，數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列．

方法小結

對數(shù)列遞推公式進（退）項相除．

題組三：配湊構造新數(shù)列

例1（1）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=a2n+2an，n∈N*．求數(shù)列｛an｝的通項公式an．

解因為an+1=a2n+2an，所以an+1+1=（an+1）2．

因為a1+1=2＞0，所以a2+1＞0，…，an+1＞0，…，

所以ln（an+1+1）=2ln（an+1），故｛ln（an+1）｝是首項為ln2，公比為2的等比數(shù)列．

所以ln（an+1）=2n-1ln2，所以an+1=22n-1，

所以an=22n-1-1，n∈N*．

（2）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，nan+1=（n+2）an+2n（n+1）（n+2），n∈N*，求數(shù)列｛an｝通項公式an．

解因為nan+1=（n+2）an+2n（n+1）（n+2），

方法小結

通過變形、化簡、換元等，構造一個新的數(shù)列使之成為一個等差（比）數(shù)列．

例2已知數(shù)列｛an｝的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N*，a2n+1=anan+2+k（k為常數(shù)）．已知a1=a，a2=b（a，b為常數(shù)），是否存在常數(shù)λ，使得an+an+2=λan+1對任意n∈N*都成立？若存在，求出λ；若不存在，說明理由．

解存在常數(shù)，使an+an+2=λan+1．證明如下：

因為a2n+1=anan+2+k，所以a2n=an-1an+1+k，n≥2，n∈N*．

所以a2n+1-a2n=anan+2-an-1an+1，

即a2n+1+an-1an+1=anan+2+a2n．

由于an＞0，此等式兩邊同除以anan+1，

即當n∈N*，都有

因為a1=a，a2=b，a2n+1=anan+2+k，所以

所以對任意n∈N*，都有an+an+2=λan+1，此時

方法小結

通過變形、化簡、換元等，構造一個新的數(shù)列使之成為常數(shù)列．

例3已知數(shù)列｛an｝中，a1=1，設求數(shù)列｛bn｝的通項公式．

解由得因為所以化簡得bn+1=4bn+2，即，且所以是首項為，公比為4的等比數(shù)列．

方法小結

通過變形、化簡、換元等，構造一個新的數(shù)列使之成為常見遞推形式．

題組四：消去法

例1對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列｛an｝滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列｛an｝是“P（k）數(shù)列”．若數(shù)列｛an｝既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”．證明：｛an｝是等差數(shù)列．

證明因為｛an｝是“P（2）數(shù)列”，所以：

n≥3時，an-2+an-1+an+1+an+2=4an，

又因為｛an｝是“P（3）數(shù)列”，所以：

n≥4時，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an．①

（要證｛an｝是等差數(shù)列，就是要證明an-1+an+1=2an，即要消去an-3，an-2，an+2，an+3）

n≥4時，an-3+an-2+an+an+1=4an-1，②an-1+an+an+2+an+3=4an+1，③

②+③-①得：2an=4an-1+4an+1-6an，

所以2an=an-1+an+1

所以an+1-an=an-an-1，

所以數(shù)列｛an｝是從第3項起為等差數(shù)列，設其公差為d，則

｛an｝：a1，a2，a3，a3+d，a3+2d，…，

所以數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列．

方法小結

對于單數(shù)列多遞推關系，通過進（退）項，構造方程組，消去兩端項．

例2在正項數(shù)列｛an｝和｛bn｝中，a1=2，b1=4，且對任意的n∈N*，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列．求數(shù)列｛an｝，｛bn｝的通項公式．

解因為an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，

所以2bn=an+an+1，a2n+1=bnbn+1．

因為｛an｝是正項數(shù)列，所以

所以n≥2時

因為a1=2，b1=4，a2=6，b2=9，所以

所以對任意的n∈N*，，所以bn=（n+1）2．

當n≥2時，，對n=1也成立，

所以an=n（n+1）．

方法小結

對于雙數(shù)列交錯遞推關系，消去其中一個數(shù)列形式，轉化為單數(shù)列的遞推關系．

例3 已知數(shù)列｛an｝中，a1=1，數(shù)列｛bn｝中，b1=0．當n≥2時，，求an，bn．

解因為當n≥2時

所以｛an+bn｝為常數(shù)列，即an+bn=a1+b1=1，①

所以｛an-bn｝是首項為1，公比為的等比數(shù)列，

方法小結

對于雙數(shù)列交錯遞推關系，由雙數(shù)列合并形式構造成基本數(shù)列遞推關系，再求合并形式的通項，最后分別求兩個數(shù)列的通項．

題組五：歸納猜想

例1設數(shù)列｛an｝滿足a1=3，則a100=_______．

解析

方法小結

歸納猜想數(shù)列的通項形式，再證明．

二、解題思維模式構建

以上五個題組的解題思維過程可以歸納為如下的模式圖：

同學們在求解數(shù)列通項問題時，按照圖中的步驟分析求解，一定可以事半功倍．