老師,我為什么算得這么慢
——三角篇

江蘇省蘇州中學(xué) 王思儉

春雨池畔長條椅周圍，幾位同學(xué)紛紛議論剛結(jié)束的測試題：

第12題尋找出角與邊的關(guān)系式，三角形的面積無論用哪一個量表示，運(yùn)算量都很大；將正弦用余弦表示，再用邊表示，看看就嚇?biāo)廊肆耍?/p>

消去邊容易，然后化為三角問題，可以求導(dǎo)解決；

我是建立直角坐標(biāo)系尋找底邊和高的關(guān)系式，然后用基本不等式求解；

我聯(lián)想到阿波羅尼斯圓，研究動點(diǎn)A的軌跡；……

于是我加入他們的討論行列，多角度、多層面探究求解策略，旨在培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)、智慧學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．

生甲：已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，BD是其腰AC的中線，且BD=3，則△ABC面積的最大值為_______．

我是選擇頂角為自變量的，運(yùn)算量較大．如圖1，設(shè)∠BAD=α（0＜α＜π），AB=2x，則AD=x，由三邊關(guān)系得1＜x＜3，在△ABD中，由余弦定理得：9=4x2+x2-4x2cosα，于是所以當(dāng)時，S取得最大值6．

圖1

教師：這種解法是通過邊和角的關(guān)系，以邊代角，把面積問題轉(zhuǎn)化為邊的函數(shù)，從而求得最值．此題是“2008年江蘇高考題：滿足條件的△ABC的面積的最大值”的變題．同學(xué)們還有其他解法嗎？

生乙：我也是選擇角作為自變量的，但后面是以角代邊，即從而得到問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．設(shè)求導(dǎo)得：當(dāng)cosα=時取得最大值，此時

生丙：應(yīng)該列表討論后，才能說cosα=時取得最大值．

教師：正確！本題是填空題，一般地，在開區(qū)間內(nèi)求出一個駐點(diǎn)，那么就是最值點(diǎn)，把這種函數(shù)稱為單峰（或單谷）函數(shù)．導(dǎo)數(shù)法是同學(xué)們比較容易想到的方法，但對分式函數(shù)的求導(dǎo)容易出錯．對于這類三角函數(shù)最值問題，除了用求導(dǎo)，還可以用其他的方法來解決．

生丙：利用弦函數(shù)的有界性求解，S=，把分母乘到左邊得：5S-4Scosα=18sinα，

移項得：18sinα+4Scosα=5S，利用輔助角公式得

教師：很好！這種方法也稱之為整體代換法，引入輔助角是解決這類問題的基本方法．你們還有其他方法嗎？

生?。簩⒖醋魇屈c(diǎn)M（5，0）與點(diǎn)N（4cosα，-sinα）的斜率k，我是直接構(gòu)造橢圓方程求解，因?yàn)?＜α＜π，所以點(diǎn)N（4cosα，-sinα）表示的是橢圓1（-1＜y＜0）的下半部分．直線y=k（x-5）（k＞0）與曲線聯(lián)立，化簡整理得，（1+16k2）x2-160k2x+16（25k2-1）=0，根據(jù)方程有解，因此Δ≥0，解之得故S=18k≤6．

生戊：我是先化簡構(gòu)造圓求解，S=可以看做點(diǎn)與點(diǎn)N（cosα，-sinα）的斜率k，因?yàn)?＜α＜π，所以點(diǎn)N（cosα，-sinα）表示的是單位圓的下半部分，利用圓心到直線距離d=，解之得，因此Smax=，此時

圖2

生丙：直接利用圓的性質(zhì)求解，由圖2可知當(dāng)過M的直線與半圓相切時，斜率k最大，此時，此時S△ABC=，此時可算得N點(diǎn)坐標(biāo)，即時取最值．

生己：利用平面向量數(shù)量積與相應(yīng)不等式求解，即4pcosα+sinα=5p，構(gòu)造向量a=（cosα，sinα），b=（4p，1），于是5p=4pcosα+sinα=a·b．又因?yàn)閍·b=｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ≤｜a｜｜b｜=1×因此，兩邊同時平方得，9p2≤1，所以故S=，即S的最大值為6，此時當(dāng)且僅當(dāng)a與b同向時取“=”，即即

教師：很好！你們四位是利用幾何直觀法，構(gòu)造幾何圖形——圓、橢圓和向量，再用圓的性質(zhì)求解，或者直線與曲線的位置關(guān)系求解，或者平面向量的幾何意義求解．就三角形式，你們還有其他想法嗎？

生甲：也可以利用萬能公式和判別式法求解，因?yàn)榇牖喛傻眉?St2-36t+S=0有解，因此Δ=362-4×9S2≥0，即0＜S≤6，所以S的最大值為6，此時

生乙：萬能公式換元后，利用變量相對集中到分母上，直接利用基本不等式求解．，當(dāng)且僅當(dāng)t=即時取最值．

教師：正確！你們將三角問題又轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用判別式或基本不等式求解．還有什么想法嗎？

生丙：也可以選擇底角∠C作為自變量，設(shè)BC=a，AC=AB=b，則．分別在△ABC和△DBC中使用余弦定理，得b2=a2+b2-2abcosC且abcosC，則有a=2bcosC，求出b2=又因?yàn)镾=b2sinCcosC，代入化簡得再弦化切有S=利用基本不等式，于是Smax=6，當(dāng)且僅當(dāng)tanC=3時取到最大值．

教師：很好！底角形式的目標(biāo)函數(shù)與上述頂角的形式存在一定的關(guān)系，你們能發(fā)現(xiàn)嗎？

生?。河捎贏=π-2C，因此sinα=sin2C，cosα=-cos2C．也可以直接找出a與b的關(guān)系式，即因?yàn)镾=將代入化簡得再將b2=36-2a2代 入 得，，由基本不等式得8，所以Smax=6，此時a2=8，即

教師：很好！通過底角直接找出底邊和腰長的關(guān)系式，運(yùn)用基本不等式或配方法求解．

生戊：也可以找出高與底邊的關(guān)系，如圖3，取BC中點(diǎn)，設(shè)為E，設(shè)AE與BD相交于點(diǎn)O，則O為△ABC的重心．設(shè)AE=h，BC=a，在Rt△BOE中，于 是 有即三角換元法，設(shè)a=4cosθ，h=6sinθ，因此，所以當(dāng)時，Smax=6．

生乙：因?yàn)?，于是，所以ah≤12，因此Smax=6．

生己：其實(shí)在Rt△BOE中，設(shè)OE=x，BE=y，OB=2，則x2+y2=4．又因?yàn)锽C=2y，AE=3x，因此6，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．

教師：很好！你們從中線（或者底邊上的高）出發(fā)，找出底邊與高的關(guān)系式，又給出三種解法，這兩個關(guān)系式都具有其幾何意義，前者是橢圓方程，后者是圓的方程．你們還能想到別的思路嗎？

生甲：建立直角坐標(biāo)系求解，以E為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，EA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖4，設(shè)A（0，h），所以由BD=3得：9，即9a2+4h2=144，144=，所以ah≤12，即S△ABC≤6，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．

圖4

生乙：因?yàn)锽D為中線，因此S△ABC=2S△ABD．抓住BD=3，AB=2AD，研究動點(diǎn)A的軌跡，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BD所在直線為x軸，過B與BD垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（x，y），D（3，0），則即（x-4）2+y2=4，點(diǎn)A的軌跡為以（4，0）為圓心，以2為半徑的圓，yA的最大值為2（yA指A的縱坐標(biāo)），所以

圖5

生?。河深}意可知：AB=2AD，且BD=3，以BD所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖5，則B（-2，0），D（1，0），設(shè)A（x，y），由AB=2AD得，即（x-2）2+y2=4，而，易得yA的最大值為2，所以（S△ABC）max=3×2=6．

生己：此題可以推廣到一般情形：

在等腰三角形△ABC中，AB=AC，D在線段AC上，AD=kAC（0＜k＜1），且BD=l為定長，求△ABC面積的最大值．

可算得S最大值本題便是當(dāng)?shù)奶厥馇闆r．

教師：很好！當(dāng)我們抓住等腰三角形的特征，即作底邊的中線AE及AB=2AD，于是又聯(lián)想到阿波羅尼斯圓，再利用解析法求解．你們給出三種不同的建立坐標(biāo)系的方法，可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，也是一種比較通用的方法．無論是以角代邊還是以邊代角，都是對原圖形直接的代數(shù)計算，而解析法則是用代數(shù)方法研究幾何問題．解析法溯源來自“蘇教版必修2教材習(xí)題2．2（1）第10題”，以及“蘇教版選修2-1教材2．6．2求曲線的方程例2”．并且2008年江蘇高考13題以及2006年四川高考第6題，以及2008年四川高考的12題都考了這一知識點(diǎn)．

本題給出五種思路十二種方法，從數(shù)到形，從幾何到代數(shù)，全方位對這道題進(jìn)行了解讀．一題多解對一道題涉及的各方面知識要進(jìn)行不同角度、不同層面的深入研究，目的是將這道題做“深”、做“透”、做“廣”．這樣有利于全面、系統(tǒng)地掌握解題規(guī)律以及知識之間的聯(lián)系，同學(xué)們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用可以起到意想不到的作用，真正感悟到數(shù)學(xué)的美．