已知函數(shù)值相等求自變量差或積的范圍問(wèn)題

蘇藝偉

(福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū) 363100)

在高三復(fù)習(xí)中,各級(jí)各類模擬試題經(jīng)常出現(xiàn)一類以函數(shù)為載體,告知兩個(gè)函數(shù)值相等,求自變量差或積的取值范圍問(wèn)題.此類問(wèn)題較為靈活,沒(méi)有固定的解法,一般可以采用代數(shù)方法或者圖象方法進(jìn)行求解,或者兩者結(jié)合先畫(huà)出圖象觀察再進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)推理.在實(shí)際解題中,要根據(jù)題目條件的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?本文舉例進(jìn)行說(shuō)明.

一、求自變量差的取值范圍

解析1：代數(shù)法

簡(jiǎn)評(píng)代數(shù)法中,運(yùn)用了消元的思想,將m表示成關(guān)于n的表達(dá)式,統(tǒng)一變量,然后構(gòu)造函數(shù)g(x),運(yùn)用求導(dǎo)加以求解.

解析2：圖象法

簡(jiǎn)評(píng)借助圖象分析問(wèn)題,直觀形象,化抽象為具體,其關(guān)鍵在于具有動(dòng)態(tài)思維,并且懂得對(duì)相切時(shí)的情況進(jìn)行分析.

例2若實(shí)數(shù)a,b,c滿足(a-2b-1)2+(a-c-lnc)2=0,則|b-c|的最小值為_(kāi)___.

解析1：代數(shù)法

當(dāng)0

當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

故g(x)的最小值為g(1)=1.因此|b-c|的最小值為1.

簡(jiǎn)評(píng)運(yùn)用消元思想,將b表示成關(guān)于c的表達(dá)式,統(tǒng)一變量,然后構(gòu)造函數(shù)g(x),運(yùn)用求導(dǎo)加以求解.

解析2圖像法

如圖3所示,畫(huà)出f(x)=2x+1與g(x)=x+lnx的圖象,因此|b-c|的最小值等價(jià)于直線y=a與f(x)=2x+1和g(x)=x+lnx交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間距離的最小值.設(shè)直線y=2x+t與曲線f(x)=x+lnx相切于點(diǎn)B(x0,y0),則易知B(1,1),A(0,1).此時(shí)|b-c|的最小值為1.

簡(jiǎn)評(píng)借助圖象分析問(wèn)題,對(duì)相切時(shí)的情況進(jìn)行分析即可求解.

由m≤0,得2(ln(n+1)-1)≤0,故0

則n-m=n+2-2ln(n+1).

令g(n)=n+2-2ln(n+1),0

當(dāng)0

當(dāng)10,g(n)單調(diào)遞增.

故g(n)的最小值為g(1)=3-2ln2.

又g(0)=2,g(e-1)=e-1,所以g(n)∈[3-2ln2,2).

因此n-m的取值范圍是[3-2ln2,2).

故n-m=2ek-1/2-lnk-2.

令g(x)=2ex-1/2-lnx-2,x>0.

因此n-m的最小值為ln2.

簡(jiǎn)評(píng)例3和例4都采用代數(shù)法求解.例4中較難將m與n互相表示,故引入一個(gè)變量k,起到搭橋化簡(jiǎn)的作用,將m與n都用k表示出來(lái),然后構(gòu)造函數(shù)g(x)解決問(wèn)題.

二、求自變量積的取值范圍

例5設(shè)函數(shù)f(x)=|x2-2x-1|,若m>n>1,且f(m)=f(n),則mn的取值范圍是____.

解析畫(huà)出函數(shù)f(x)=|x2-2x-1|的圖象,如圖4所示.

由于f(m)=f(n),所以有m2-2m-1=-n2+2n+1.

化簡(jiǎn)得m2-2m+n2-2n=2,即(m-1)2+(n-1)2=4.

解法2 設(shè)m=1+2cosθ,n=1+2sinθ,θ∈[0,2π).

則mn=(1+2cosθ)(1+2sinθ)=1+2(sinθ+cosθ+2sinθcosθ).

例6已知關(guān)于x的方程e-x+2=|lnx|的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為x1,x2,x1

解析如圖6所示,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則0

顯然y1=-lnx1,y2=lnx2.

由2

解析如圖7,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則0

由y1

簡(jiǎn)評(píng)例5,例6,例7三道試題都是已知函數(shù)值相等求自變量積取值范圍.先畫(huà)出相應(yīng)函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象分析問(wèn)題,再采用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解.

三、求混合型的取值范圍

例8設(shè)函數(shù)f(x)=|x2+2x-1|,若a

解析畫(huà)出函數(shù)f(x)=|x2+2x-1|的圖象,如圖8所示.

由于f(a)=f(b),所以有a2+2a-1=-b2-2b+1.

化簡(jiǎn)得a2+2a+b2+2b=2,即(a+1)2+(b+1)2=4.

設(shè)a=-1+2cosθ,b=-1+2sinθ,θ∈[0,2π).

不難發(fā)現(xiàn),對(duì)于此類已知兩個(gè)函數(shù)值相等,求自變量差或者積取值范圍試題,要充分挖掘題目隱含的結(jié)構(gòu)特征,善于轉(zhuǎn)化與回歸.嚴(yán)格的代數(shù)推理有著較高的邏輯思維要求,因此往往可以先借助圖象得到一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)再利用代數(shù)法進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C,從而實(shí)現(xiàn)解題的高效.