被低估的圓錐曲線第二定義*—-例談焦半徑的精彩應(yīng)用

廣東省中山市濠頭中學(xué)(528400) 閆 偉

一、先給出圓錐曲線第二定義

圓錐曲線第二定義:曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離與該點(diǎn)到定直線(準(zhǔn)線)的距離之比為定值(離心率).由第二定義可以求得焦半徑的有關(guān)結(jié)論.

二、利用焦半徑可以進(jìn)一步求得焦點(diǎn)弦長(zhǎng)結(jié)論[1]

(3)對(duì)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)弦AB,傾斜角為θ,有|AB|=

三、應(yīng)用探究

1.直線方程問題

例1(2013年高考新課標(biāo)II卷)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過F且與C交于A,B兩點(diǎn),若|AF|=3|BF|,則l的方程為( )

A.y=x-1或y=-x+1

解析設(shè)直線l的傾斜角為θ,若點(diǎn)A在x軸上方,由焦半徑公式因?yàn)閨AF|=3|BF|,所以于是從而直線l的斜率又直線過點(diǎn)F(1,0),故直線方程為若點(diǎn)A在x軸下方,同理可求得直線方程為;故選C.

2.標(biāo)準(zhǔn)方程問題

例2(2019年高考全國(guó)I卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0), F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若|AF2|=2|BF2|, |AB|=|BF1|,則C的方程為( )

圖1

解析如圖1,設(shè)lAB傾斜角為θ,橢圓方程1(a＞b＞0),于是|AF2|=|BF2|=由于|AF2|=2|BF2|,所以=所以ecosθ=-1 3,故==|AB|=|AF2|+|BF2|=由橢圓定義有:|BF1|+|BF2|=2a,即,所以又因?yàn)閏=1且a2=b2+c2易知a2=3,b2=2,所以橢圓故選B.

3.離心率問題

例3(2009年高考全國(guó)II卷)已知雙曲線方程C:的右焦點(diǎn)為F,過F且斜率為的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為

解析設(shè)直線l的傾斜角為θ,雙曲線的離心率為e,焦準(zhǔn)距為p,則雙曲線的焦半徑由題意知|FA|=4|FB|,即于是5ecosθ=3,又因?yàn)橹本€l的斜率為即tanθ=所以從而

4.弦長(zhǎng)問題

例4已知拋物線y2=4x,過其焦點(diǎn)的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),M為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),則

解析如圖2,設(shè)∠AFG=θ則sinθ==tan∠AMG,同理:sin∠BFM=tan∠BFM,所以tan∠AMF=tan∠BMF,于是由tan∠AMB=得即再由焦點(diǎn)弦公式

圖2

6.定值問題

例6(2018年廣東一模)已知橢圓1 (b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)F2也是拋物線C2:y2=8x的焦點(diǎn).

(1)若M、N為橢圓C1上兩點(diǎn),且線段MN的中點(diǎn)為(1,1),求直線MN的斜率;

(2)過橢圓C1的右焦點(diǎn)F2作兩直線m,n交橢圓于A,B,C,D四點(diǎn),若求證:為定值.

解析(1)利用點(diǎn)差法由弦中點(diǎn)公式易知kMN=

7.面積最值問題

例7(2007年高考全國(guó)I卷)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1的直線交橢圓于B,D兩點(diǎn),過F2的直線交橢圓于A,C兩點(diǎn),且AC⊥BD,求四邊形ABCD面積的取值范圍.

解析由題意得設(shè)直線AC的傾斜角為θ,則直線BD的傾斜角為由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|BD|=所以四邊形ABCD的面積因?yàn)棣取?0,π),所以sin22θ∈[0,1],于是四邊形ABCD的面積的取值范圍是

8.參數(shù)范圍問題

例8(2019年成都二模)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓方程:1(a＞b＞0),F為橢圓的右焦點(diǎn),C為橢圓的頂點(diǎn),過F的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).

圖3

(2)已知CF=2,點(diǎn)F到橢圓右準(zhǔn)線的距離為3,記△AFC,△BFC的面積分別為S1,S2,若S1=λS2(λ＞0),求λ的取值范圍.

(1)設(shè)直線l的傾斜角為θ,橢圓的離心率為e,焦準(zhǔn)距為p,則由題意得即得5ecosθ= 1,又因?yàn)閠anθ=所以從而橢圓的離心率

9.線段長(zhǎng)度最值問題

例9若曲線的對(duì)稱中心在拋物線C:y2=2px(p＞0)上,過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),則|AF|+2|BF|的最小值是

解析的對(duì)稱中心為(1,2)在拋物線上,從而p=2,拋物線方程為y2=4x,設(shè)直線l的傾斜角為θ,由拋物線焦半徑可知故|AF|+2|BF|=等號(hào)成立條件為cosθ=從而|AF|+2|BF|的最小值為

圖4

10.數(shù)量積問題

例10過拋物線的焦點(diǎn)的直線l與拋物線和圓x2+(y-1)2=1從左到右依次交于A,B,C,D四點(diǎn),則

解析設(shè)直線l與y軸正方向所成角為θ,易求得p=2,由拋物線焦半徑可知注意到直線AD過焦點(diǎn),即已知圓圓心,故-(|DF|-1)(|AF|-1)=-(|DF|·|AF|--1.所以

四、結(jié)束語(yǔ)

運(yùn)用角度形式的焦半徑解題,不但可以秒殺一類涉及到圓錐曲線中過焦點(diǎn)的弦的相關(guān)問題,而且避免了聯(lián)立方程組帶來的極其復(fù)雜的運(yùn)算,相比標(biāo)準(zhǔn)答案提供的解法,文中介紹的方法不僅省時(shí)省力,且準(zhǔn)確率高,但很多學(xué)生會(huì)忽略這種解題的方法,希望本文能給同學(xué)們有所啟發(fā);在解題教學(xué)的過程中,教師要多引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律和結(jié)論,適時(shí)應(yīng)用,從而提高教學(xué)效率.