圓錐曲線焦點(diǎn)弦的一組性質(zhì)*

北京市第十二中學(xué)高中部(100071) 劉 剛

一、試題

題目(2019年1月北京市石景山區(qū)文科高三期末)已知橢圓=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)為離心率為

(I)求橢圓E的方程;

(II)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)的直線l1交橢圓于A,B兩點(diǎn),過原點(diǎn)的直線l2交橢圓于C,D兩點(diǎn).若l1//l2,求證:為定值.

試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系以及定值問題,考查了坐標(biāo)法的運(yùn)用,檢驗(yàn)了運(yùn)算與求解、分析問題與解決問題的能力.試題平中見奇,內(nèi)涵豐富,由特殊到一般可以得到圓錐曲線焦點(diǎn)弦的一組性質(zhì),是一道具有研究性學(xué)習(xí)價(jià)值的好題.

二、解法探究

解答(I)橢圓E的方程為=1,過程從略.

(II)證明(1)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),易求|AB|=3,|CD|=,則

(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的斜率為k,依題意k0,則直線AB的方程為y = k(x-1),直線CD的方程為y =kx. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

則

所以

由此得

點(diǎn)評解法首先討論直線AB斜率不存在的情況,在此基礎(chǔ)上求出的值,這是解決定值問題常采取的策略,即從特殊位置入手,然后再轉(zhuǎn)化為一般性地證明.接下來以直線AB的斜率k為參變量,借助韋達(dá)定理分別表示出|AB|與|CD|進(jìn)行求解,體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想.事實(shí)上,由于|AB|是焦點(diǎn)弦,所以本題也可以借助焦半徑公式、橢圓的極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程等知識解決,體現(xiàn)了解法的多樣性,給考生搭建了施展才能的舞臺(tái).

三、推廣

對試題進(jìn)行一般化探究,得到下面的結(jié)論.

性質(zhì)1已知橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l1交橢圓于A,B兩點(diǎn),過原點(diǎn)的直線l2交橢圓于C,D兩點(diǎn),若l1//l2,則為定值2a.

將原點(diǎn)一般化,有如下結(jié)論.

性質(zhì)2已知橢圓1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l1交橢圓于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)P(x0,0)(x0/=±a)的直線l2交橢圓于C,D兩點(diǎn),若l1//l2,則為定值

當(dāng)直線l2過橢圓右頂點(diǎn)時(shí),有如下結(jié)論.

性質(zhì)3已知橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l1交橢圓于A,B兩點(diǎn),過橢圓右頂點(diǎn)M的直線l2交橢圓于另一點(diǎn)C,交直線x=m (ma)于點(diǎn)D,若l1//l2,則為定值|a-m|.

證明設(shè)直線l1的傾斜角為θ(0 ＜ θ ＜ π,且由已知可得M(a,0),則直線l2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入橢圓方程1,整理得(b2cos2θ+a2sin2θ)t2+2ab2cosθt= 0,解得t=或t= 0,所以|MC|=又|MD|=,所以|MC|·|MD|=.由性質(zhì)2的證明過程有所以=|a-m|,故結(jié)論得證.

當(dāng)直線l2過橢圓左頂點(diǎn)時(shí),有如下結(jié)論.

性質(zhì)4已知橢圓1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l1交橢圓于A,B兩點(diǎn),過橢圓左頂點(diǎn)N的直線l2交橢圓于另一點(diǎn)C,交直線x=m (m-a)于點(diǎn)D,若l1//l2,則為定值|a+m|.

由橢圓類比雙曲線、拋物線,有如下結(jié)論.

性質(zhì)5已知雙曲線=1 (a＞0, b＞0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l1交雙曲線于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)P(x0,0)(x0±a)的直線l2交雙曲線于C,D兩點(diǎn),若l1//l2,則為定值

性質(zhì)6已知雙曲線=1 (a＞0, b＞0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l1交雙曲線于A,B兩點(diǎn),過雙曲線右頂點(diǎn)M的直線l2交雙曲線于另一點(diǎn)C,交直線x=m(ma)于點(diǎn)D,若l1//l2,則為定值|a-m|.

性質(zhì)7已知雙曲線=1 (a＞0, b＞0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l1交雙曲線于A,B兩點(diǎn),過雙曲線左頂點(diǎn)N的直線l2交雙曲線于另一點(diǎn)C,交直線x=m(m/-a)于點(diǎn)D,若l1//l2,則為定值|a+m|.

性質(zhì)8已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l1交拋物線于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)的直線l2交拋物線于C,D兩點(diǎn),若l1//l2,則為定值|x0|.

證明設(shè)直線l1的傾斜角為θ(0＜θ＜π),由已知可得則直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入拋物線方程y2=2px,整理得sin2θt2-2pcosθt-p2=0.設(shè)A,B兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則,所以

性質(zhì)9已知拋物線y2=2px (p＞0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l1交拋物線于A,B兩點(diǎn),過原點(diǎn)O的直線l2交拋物線于另一點(diǎn)C,交直線x=m (m/=0)于點(diǎn)D,若l1//l2,則為定值|m|.

證明設(shè)直線l1的傾斜角為θ(0＜θ＜π,且則直線l2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入拋物線方程y2=2px,整理得sin2θt2-2pcosθt=0,解得t=或t=0,所以|OC|=又所以|OC|·|OD|=由性質(zhì)8的證明過程有所以故結(jié)論得證.

以上由一道試題出發(fā),經(jīng)過特殊到一般,得到了與圓錐曲線焦點(diǎn)弦有關(guān)的一組性質(zhì).在解題教學(xué)過程中,我們不能僅僅停留在問題的表面,還要引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì),從不同角度聯(lián)想與探究,盡可能地將試題價(jià)值最大化,從而提升學(xué)生的核心素養(yǎng).