關(guān)于復(fù)變函數(shù)求極限的方法淺談

彭興媛

摘 ?要：在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)這門課程時(shí)，求極限是復(fù)變函數(shù)這一章當(dāng)中非常重要的知識點(diǎn)。本文就關(guān)于求復(fù)變函數(shù)極限的常用方法進(jìn)行了淺談，希望能給予初學(xué)者一些參考。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù) ?極限 ?二元函數(shù)

中圖分類號：O151 ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-1578（2019）11-0022-01

1 ? 引言

在高等數(shù)學(xué)里，求函數(shù)的極限是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，并由此展開了函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等等內(nèi)容，同樣，在復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課程里，求復(fù)變函數(shù)的極限也存在同樣的地位，所以對于給出的一個(gè)復(fù)變函數(shù)判斷其極限是否存在，若存在則極限是多少這樣的問題就變得非常重要。從本文的討論中還可以發(fā)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)與二元實(shí)變量函數(shù)的聯(lián)系相當(dāng)緊密。

2 ? 求極限的方法

2.1 利用復(fù)變函數(shù)極限的定義

設(shè)函數(shù)f（z）在z0的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若對任意

給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ（ε），使得對于滿足不等式

0<|z–z0|<δ（ε）的一切z，其函數(shù)值f（z）都滿足不等式

|f（z）–A|<ε，那么，常數(shù)A就叫做函數(shù)f（z）當(dāng)z趨向z0時(shí)的極限，記作：f（z）A→A（當(dāng)z→z0）。值得注意的是，定義中z→z0的方式是任意的?，F(xiàn)在我們通過例子來理解如何利用定義求函數(shù)極限。

例1：若z→z0時(shí)，有f（z）→A，則：當(dāng)z→z0時(shí)，有|f（z）|→|A|。

證明： 因?yàn)樵趜→z0時(shí)，有f（z）→A。

根據(jù)定義可得，對任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)

δ（ε），當(dāng)一切z滿足0<|z–z0|<δ（ε）時(shí)，有|f（z）–A|

<ε。

且又有||f（z）|–|A||≤|f（z）–A|<ε，故由極限定義可知該結(jié)論成立。

可見利用定義證明極限存在的關(guān)鍵就在于能否找到

δ（ε）。

例2：證明函數(shù)f（z）=e1/z在z趨向0時(shí)的極限不存在。

證明：因?yàn)閦趨向0的方式是任意的，所以現(xiàn)在取兩種特殊的趨近方式：

第一種，當(dāng)z沿著正實(shí)軸趨于0時(shí)，此時(shí)復(fù)變函數(shù)退化成實(shí)變量函數(shù)f（x）=e1/x，且該函數(shù)趨向于+∞。

第二種，當(dāng)z沿著負(fù)實(shí)軸趨于0時(shí)，此時(shí)實(shí)變量函數(shù)f（x）=e1/x卻趨向于0，即z沿著不同方式趨向0，函數(shù)f（z）將趨向于不同的值，故由極限定義可知該函數(shù)的極限是不存在的。

2.2 利用復(fù)變函數(shù)極限的定理

設(shè)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）， z0=x0+iy0， A=a+ib， 那么f（z）→A（當(dāng)z→z0）的必要與充分條件為：u（x，y）→a， v（x，y）→b（其中（x，y）→（x0，y0））。

下面，我們通過典型例題來理解如何利用該定理證明函數(shù)的極限是否存在。

例題：證明函數(shù)f（z）=Re（z）/|z|，在z趨向0時(shí)的極限不存在。

證明：方法一，可設(shè)z=x+iy，則函數(shù)

f（z）=Re（z）/|z|=x/，

所以u（x，y）==x/，v（x，y）=0。

當(dāng)z沿直線y=kx趨于0時(shí)，有

u（x，y）= ?x/= ±1/。

顯然極限值隨k值不同而不同，因而根據(jù)高等數(shù)學(xué)中所學(xué)的二元函數(shù)極限的定義可知，u（x，y）在（x，y）趨于（0，0）時(shí)的極限不存在，雖然v（x，y）的極限存在，但根據(jù)本定理可知該復(fù)變函數(shù)f（z）的極限仍是不存在。

實(shí)際上本例題除了利用定理求極限外，還可以考慮另一種更為簡單的方法。

方法二：設(shè)z=r（cosθ+isinθ）（將變量z表示成三角表達(dá)

式），其中r=|z|，θ=arg（z），則f（z）=cosθ。

所以，當(dāng)z沿著不同的射線θ=arg（z）趨向于0時(shí)，cosθ趨于不同值，即f（z） 趨于不同值，故極限不存在。

將該方法與定理進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)，此方法解題更為巧妙，且計(jì)算難度大大降低。

3 ? 結(jié)論

我們可以看到無論哪種方法都能將復(fù)變函數(shù)的極限存在與否，如果存在且是多少都能求出，但每種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。利用定義求極限關(guān)鍵在于能否找到合適的δ（ε），如果函數(shù)較為復(fù)雜，則δ（ε）不容易找出，而根據(jù)定理求極限的優(yōu)點(diǎn)在于將復(fù)變函數(shù)求極限的問題轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)二元實(shí)變量函數(shù)求極限的問題，也就是將復(fù)變函數(shù)的知識轉(zhuǎn)變成高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，利用學(xué)過的知識解決現(xiàn)在的問題，且該方法較為直觀，操作步驟簡便，但同樣的，如果二元實(shí)變量函數(shù)的表達(dá)形式較為復(fù)雜，則求極限也會相應(yīng)變得困難，所以在做題時(shí)，一定要先考察函數(shù)形式，再采用合理簡便的方法。

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