基于優(yōu)化SPOT和D-S證據(jù)理論的測(cè)試性驗(yàn)證方案

王康，史賢俊，周紹磊，龍玉峰，孫美美

海軍航空大學(xué)，煙臺(tái) 264001

經(jīng)典的驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計(jì)、參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)方法主要以大樣本試驗(yàn)為前提而開展的，但是對(duì)于導(dǎo)彈這類高精度武器系統(tǒng)而言，由于其高昂的造價(jià)致使投入使用的樣機(jī)較少，試驗(yàn)周期較長(zhǎng)，導(dǎo)致實(shí)際開展驗(yàn)證試驗(yàn)時(shí)樣本量受到小子樣條件限制[1]。

隨著試驗(yàn)方法的多樣化、系統(tǒng)仿真技術(shù)的成熟化，使得在驗(yàn)證試驗(yàn)開展前具備多源先驗(yàn)信息，包括同類武器系統(tǒng)的歷史試驗(yàn)信息、專家基于武器裝備水平認(rèn)知的經(jīng)驗(yàn)信息及預(yù)計(jì)信息、武器裝備研制過(guò)程中各層級(jí)的試驗(yàn)信息及仿真試驗(yàn)信息等[2]?？梢?jiàn)，多源信息融合技術(shù)的運(yùn)用就成為基于小子樣條件下驗(yàn)證試驗(yàn)的核心環(huán)節(jié)。

由于Bayes方法能夠充分運(yùn)用各種已有的先驗(yàn)信息，可在小子樣條件下對(duì)導(dǎo)彈等高精度復(fù)雜裝備系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷做出可信度較高的估計(jì)，故Bayes方法在不同工程領(lǐng)域(如可靠性[3]、維修性[4]以及測(cè)試性[5]等)、不同的應(yīng)用背景(如驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計(jì)[6]、參數(shù)估計(jì)[7]與檢驗(yàn)[8]等)中得到了廣泛的應(yīng)用。

在Bayes方法的驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計(jì)方面，通過(guò)在序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案中引入Bayes方法來(lái)融合相關(guān)先驗(yàn)信息，得到了國(guó)內(nèi)外廣大研究者的青睞?？紤]簡(jiǎn)單假設(shè)條件，文獻(xiàn)[9]基于成功率序貫抽樣方法，將產(chǎn)品研制階段獲得的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為等效的實(shí)際數(shù)據(jù)，利用貝葉斯統(tǒng)計(jì)公式將等效的實(shí)際數(shù)據(jù)融合為真實(shí)的驗(yàn)證測(cè)試數(shù)據(jù)，能有效地降低現(xiàn)場(chǎng)驗(yàn)證試驗(yàn)樣本量；文獻(xiàn)[10]基于二項(xiàng)分布模型推導(dǎo)了Bayes截尾序貫概率比檢驗(yàn)(SPRT)方法，證明該方法能充分運(yùn)用先驗(yàn)信息，得到其平均試驗(yàn)樣本量?jī)?yōu)于傳統(tǒng)SPRT方法，適合于小子樣條件下的驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計(jì)。考慮復(fù)雜假設(shè)條件，文獻(xiàn)[11]充分結(jié)合SPRT方法和Bayes方法的優(yōu)點(diǎn)，提出一種序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)(SPOT)方法，能充分運(yùn)用先驗(yàn)信息，達(dá)到減少驗(yàn)證試驗(yàn)樣本量的目的；文獻(xiàn)[12]針對(duì)二項(xiàng)分布模型的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案的制定，利用SPOT方法通過(guò)序貫后驗(yàn)概率比和決策閾值實(shí)現(xiàn)樣本量的動(dòng)態(tài)判決，在相同約束參數(shù)下證明SPOT方法的實(shí)際樣本量要優(yōu)于SPRT方法，達(dá)到減少樣本量的目的。無(wú)論是考慮簡(jiǎn)單假設(shè)亦或復(fù)雜假設(shè)，均未能考慮原假設(shè)和備擇假設(shè)間的模糊參數(shù)空間，當(dāng)實(shí)際指標(biāo)值位于模糊參數(shù)空間時(shí)會(huì)導(dǎo)致較高的誤判率，所需樣本量也會(huì)相應(yīng)增加。

針對(duì)模糊參數(shù)空間的處理問(wèn)題，文獻(xiàn)[13]以導(dǎo)彈命中概率為研究對(duì)象，通過(guò)MSPOT方法有效考慮了最低可接受值和設(shè)計(jì)指標(biāo)值之間的模糊參數(shù)空間處理問(wèn)題；文獻(xiàn)[14]提出了多簡(jiǎn)單假設(shè)的MSPRT方法，并考慮了先驗(yàn)信息，研究了試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)與試驗(yàn)樣本量期望值的估計(jì)方法。以上分別針對(duì)多簡(jiǎn)單假設(shè)和多復(fù)雜假設(shè)條件下的模糊參數(shù)空間的問(wèn)題，但未能將序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)的具體過(guò)程作為研究重點(diǎn)，同時(shí)未能充分運(yùn)用多源先驗(yàn)信息。

鑒于此，綜述相關(guān)文獻(xiàn)，一方面目前融合先驗(yàn)信息的序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案未能在測(cè)試性驗(yàn)證領(lǐng)域得到充分應(yīng)用，另一方面現(xiàn)有研究測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)亦未能考慮測(cè)試性指標(biāo)之間的模糊參數(shù)區(qū)間以及多源先驗(yàn)信息的問(wèn)題。針對(duì)模糊參數(shù)空間的問(wèn)題，本文以測(cè)試性承制方要求值和使用方要求值構(gòu)建三參數(shù)空間復(fù)雜假設(shè)，并基于Bayes方法研究序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)的具體過(guò)程，包括決策因子和決策閾值的確定，以及基于Bayes理論研究序貫決策規(guī)則；針對(duì)多源先驗(yàn)信息的問(wèn)題，本文以測(cè)試性指標(biāo)構(gòu)成的參數(shù)空間為辨識(shí)框架，基于D-S證據(jù)理論融合測(cè)試性專家信息以及測(cè)試性試驗(yàn)數(shù)據(jù)。兩者結(jié)合起來(lái)，提出一種基于優(yōu)化SPOT和D-S證據(jù)理論的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案(下稱優(yōu)化DS-SPOT方案)，在保證測(cè)試性驗(yàn)證樣本充分性和試驗(yàn)結(jié)果置信度的同時(shí)，旨在充分利用先驗(yàn)信息解決工程應(yīng)用中測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)受費(fèi)用的限制性和故障樣本量注入的困難性，期使在實(shí)際工程應(yīng)用中達(dá)到優(yōu)化驗(yàn)證試驗(yàn)樣本、縮短試驗(yàn)周期，降低試驗(yàn)費(fèi)用的問(wèn)題。

1 問(wèn)題描述

設(shè)p0為承制方測(cè)試性水平要求值，p1為使用方測(cè)試性水平要求值(p0>p1)，則測(cè)試性指標(biāo)參數(shù)空間Θ可以劃分為3部分Θ={Θ0,Θ1,Θ2}，其中Θ0={p:p≥p0}，Θ1={p:p1

(1)

同時(shí)假設(shè)n次測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果序貫序列表示為X={X1,…,Xi,…,Xn}，Xi={0,1}，Xi=1表示驗(yàn)證試驗(yàn)成功，Xi=0表示驗(yàn)證試驗(yàn)失敗，記c為n次試驗(yàn)結(jié)果序貫序列中Xi=0的個(gè)數(shù)，即表示累積驗(yàn)證失敗次數(shù)。在采用Bayes方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，通過(guò)武器系統(tǒng)歷史試驗(yàn)信息以及裝備各層級(jí)試驗(yàn)信息等得到測(cè)試性指標(biāo)的先驗(yàn)分布為π(p)，結(jié)合序貫序列X可以得到驗(yàn)后分布π(p|X)，則傳統(tǒng)SPOT方法給出的序貫后驗(yàn)概率比可表示為[15]

(2)

根據(jù)On(X)和決策常數(shù)A和B的動(dòng)態(tài)比較即可完成測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)的接收/拒收判定，決策常數(shù)A和B可表示為[15]

(3)

問(wèn)題2兩假設(shè)的復(fù)雜假設(shè)問(wèn)題僅考慮了測(cè)試性指標(biāo)參數(shù)是否被接收/拒收，當(dāng)指標(biāo)參數(shù)p∈Θ1時(shí)，兩假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的驗(yàn)證方案無(wú)法做出判斷，會(huì)判給Θ0或者Θ2，直接導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)απ0和βπ1增加；同時(shí)，未能從“小概率事件原理”[16]的角度解釋接受/拒收原假設(shè)，即未能給出接受/拒收原假設(shè)的后驗(yàn)概率值。

問(wèn)題3對(duì)導(dǎo)彈類高精度武器裝備開展測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)前，其研制階段存在專家信息以及成敗型試驗(yàn)信息等多源測(cè)試性先驗(yàn)信息，這些先驗(yàn)信息反映了裝備在不同研制階段的測(cè)試性水平，如何運(yùn)用這些先驗(yàn)信息對(duì)先驗(yàn)分布π(p)進(jìn)行有效補(bǔ)充，并合理制定裝備的測(cè)試性驗(yàn)證方案也是問(wèn)題之一。

2 優(yōu)化SPOT序貫試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

論文將模糊參數(shù)空間納入假設(shè)檢驗(yàn)中，構(gòu)造測(cè)試性指標(biāo)的三參數(shù)空間復(fù)雜假設(shè)：

H0:p≥p0，H1:p1

(4)

針對(duì)問(wèn)題1，重新定義各假設(shè)的驗(yàn)前概率為

(5)

式(5)中π(H0)+π(H1)+π(H2)=1，考慮承制方和使用方要求值間的模糊區(qū)域，保證了指標(biāo)空間劃分的完備性。

針對(duì)問(wèn)題2，考慮傳統(tǒng)SPOT方法中僅做出接受/拒收判決以及未能從“小概率事件原理”的角度解釋接受/拒收原假設(shè)的問(wèn)題，制定三參數(shù)空間復(fù)雜假設(shè)的決策規(guī)則，實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)試性真實(shí)指標(biāo)所屬參數(shù)空間的有效判定。

2.1 三參數(shù)空間的序貫后驗(yàn)概率

設(shè)測(cè)試性指標(biāo)參數(shù)p的先驗(yàn)分布服從Beta分布，則有：

(6)

式中：a和b表示先驗(yàn)分布的超參數(shù)。

根據(jù)驗(yàn)證試驗(yàn)序貫序列X={X1,X2,…,Xn}得到的(n,c)值，由Bayes公式可得的后驗(yàn)分布具備如下形式：

π(p|(n,c))=

Beta(p;a+n-c,b+c)

(7)

則通過(guò)式(7)以及式(5)可計(jì)算出假設(shè)Hi(i=0,1,2)成立的后驗(yàn)概率為

(8)

據(jù)此，可以建立三參數(shù)空間復(fù)雜假設(shè)的Bayes序貫檢驗(yàn)決策規(guī)則。

2.2 三參數(shù)空間的Bayes序貫檢驗(yàn)決策規(guī)則

1) 決策因子

為了建立Bayes序貫檢驗(yàn)決策規(guī)則，首先對(duì)后驗(yàn)概率π(Hi|(n,c))進(jìn)行分析，根據(jù)式(8)有

(9)

基于式(9)給出決策因子的定義為

(10)

從式(10)中可以看出，決策因子Λi(X)相對(duì)于傳統(tǒng)SPOT方法的序貫概率比On(X)(見(jiàn)式(2))而言，將待測(cè)指標(biāo)模糊參數(shù)空間的后驗(yàn)概率融入進(jìn)來(lái)，保證了假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的完備性。

2) 決策閾值

假設(shè)做出決策接受假設(shè)Hi時(shí)，決策因子Λi(X)的閾值上界為Ai，由于序貫驗(yàn)證試驗(yàn)過(guò)程的動(dòng)態(tài)性，導(dǎo)致難以確定Ai確切的數(shù)學(xué)表達(dá)式，同時(shí)由式(10)知，π(Hi|(n,c))越大，Λi(X)的值越小，同時(shí)π(Hi|(n,c))越大也說(shuō)明需要更加準(zhǔn)確的先驗(yàn)分布和更充足的實(shí)際序貫驗(yàn)證數(shù)據(jù)，因此確定決策閾值A(chǔ)i對(duì)于確定序貫驗(yàn)證試驗(yàn)樣本量有著直接的約束作用，進(jìn)而影響序貫決策的準(zhǔn)確性。決策閾值A(chǔ)i越小，相應(yīng)的樣本需求越大，決策結(jié)果越精確。本文基于后驗(yàn)概率和“小概率事件原理”，通過(guò)引入三參數(shù)空間的誤判風(fēng)險(xiǎn)αHi，給出了決策閾值的確定方法，如下：

① 從“小概率事件原理”上而言，當(dāng)根據(jù)實(shí)際序貫驗(yàn)證試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及先驗(yàn)分布支持接受假設(shè)Hi成立時(shí)，可認(rèn)為后驗(yàn)概率π(Hi|(n,c))具備較大的值，以此證明假設(shè)Hi的正確性。因此在接受假設(shè)Hi時(shí)，作如下要求：

(11)

式中：αHi表示接受假設(shè)Hi的誤判風(fēng)險(xiǎn)接受值(由承制方和使用方提供)。

② 根據(jù)式(9)和式(10)有

(12)

(13)

3) 決策規(guī)則

通過(guò)以上序貫驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計(jì)分析，根據(jù)式(10)、式(11)和式(13)的約束要求，則有如下序貫決策規(guī)則：

?i, s.t.Na=infn≥1:

(14)

式中：Na表示序貫停止時(shí)的最小樣本量；δ表示決策結(jié)果。

至此，完成了優(yōu)化SPOT方法序貫試驗(yàn)的設(shè)計(jì)過(guò)程。

3 D-S證據(jù)理論融合多源先驗(yàn)信息

針對(duì)問(wèn)題3，導(dǎo)彈裝備在研制階段的測(cè)試性信息來(lái)源廣泛，包括專家信息以及成敗型試驗(yàn)信息，而D-S證據(jù)理論在對(duì)隨機(jī)不確定性問(wèn)題和認(rèn)知不確定性問(wèn)題的表達(dá)和處理方面具備較強(qiáng)的能力，本文為合理有效的運(yùn)用研制階段的測(cè)試性多源先驗(yàn)信息，利用D-S證據(jù)理論融合多源先驗(yàn)信息，對(duì)第2節(jié)序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案進(jìn)一步優(yōu)化。

根據(jù)D-S證據(jù)理論的定義[17]，考慮到測(cè)試性指標(biāo)參數(shù)空間Θ的非空性以及Θ中元素滿足互不相容的條件，因此定義辨識(shí)框架為Θ={Θ0,Θ1,Θ2}，在此基礎(chǔ)上針對(duì)多源先驗(yàn)信息構(gòu)建其相應(yīng)的基本信任分配函數(shù)m。

3.1 成敗型試驗(yàn)信息的基本信任分配函數(shù)

對(duì)于歷史成敗型試驗(yàn)信息(n,c)可視為辨識(shí)框架Θ上的一個(gè)證據(jù)，根據(jù)第2節(jié)的分析，基于式(8)可以建立該證據(jù)在辨識(shí)框架Θ的基本信任分配函數(shù)m1：

(15)

3.2 專家信息的基本信任分配函數(shù)

在導(dǎo)彈武器裝備的研制過(guò)程中，測(cè)試性領(lǐng)域?qū)＜一谄渥陨韺?duì)導(dǎo)彈裝備測(cè)試性水平的認(rèn)知，能通過(guò)不同評(píng)估形式[18](區(qū)間估計(jì)形式以及單側(cè)置信下限形式)給出導(dǎo)彈裝備測(cè)試性水平的評(píng)估信息。

(16)

其次，在給定置信度水平γ1下，實(shí)現(xiàn)區(qū)間估計(jì)形式數(shù)據(jù)[pL,pU]向成敗型數(shù)據(jù)(n′,c′)的折合：

(17)

根據(jù)式(17)將區(qū)間形式的專家信息轉(zhuǎn)化為成敗型數(shù)據(jù)(n′,c′)，據(jù)此構(gòu)建區(qū)間形式的專家信息基本信任分配函數(shù)m21：

(18)

(19)

(20)

根據(jù)式(20)將單側(cè)置信下限形式的專家信息轉(zhuǎn)化為成敗型數(shù)據(jù)(n″,c″)，據(jù)此構(gòu)建區(qū)間估計(jì)形式的專家信息的基本信任分配函數(shù)m22：

(21)

3.3 優(yōu)化序貫驗(yàn)證方案確定

為了確定測(cè)試性序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案及給出序貫決策結(jié)果δ，根據(jù)序貫判決規(guī)則式(14)，現(xiàn)假設(shè)Na次序貫驗(yàn)證試驗(yàn)后作出決策，對(duì)應(yīng)的檢測(cè)/隔離失敗數(shù)為Ca，將該序貫驗(yàn)證方案(Na,Ca)視為一個(gè)證據(jù)，構(gòu)建其基本信任分配函數(shù)m0：

(22)

(23)

式中：由于對(duì)測(cè)試性指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估時(shí)，一般僅會(huì)約定一種形式的專家信息，所以基本信任分配函數(shù)m2表示m21和m22中的任意一種，具體根據(jù)所約定的專家信息的形式而決定。

定理1如果優(yōu)化序貫驗(yàn)證方案進(jìn)行到第Na次時(shí)(對(duì)應(yīng)的檢測(cè)/隔離失敗數(shù)為Ca)，滿足以下條件：

?i,s.t.

(24)

則(Na,Ca)為在接受假設(shè)δ=Hi下的一次序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案。

證明對(duì)m0(Θ1)而言，根據(jù)第2節(jié)所設(shè)計(jì)的優(yōu)化SPOT序貫試驗(yàn)方案，(Na,Ca)為其一次序貫方案，則根據(jù)序貫規(guī)則式(14)，如若接受假設(shè)δ=Hi，則必然存在：

(25)

(26)

(27)

顯然，對(duì)于?ε>0，總存在(Na,Ca)使得式(28)成立：

(28)

同時(shí)，由于研制信息已知，則研制信息確定的m函數(shù)確定，根據(jù)D-S證據(jù)理論合成公式有

(29)

式中：Mki為常數(shù)。進(jìn)一步可得：

(30)

4 案例分析

4.1 先驗(yàn)信息確定

以某型導(dǎo)彈裝備的飛控系統(tǒng)故障檢測(cè)率(FDR)為研究對(duì)象，待驗(yàn)證裝備的先驗(yàn)信息來(lái)源于歷史裝備的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。由于歷史裝備已經(jīng)具備較好的測(cè)試性水平，待驗(yàn)證裝備只是在歷史裝備的基礎(chǔ)上增加新的BIT(Build In Test)設(shè)計(jì)及測(cè)試性設(shè)計(jì)。在歷史裝備的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)中，共注入了82次故障，正確檢測(cè)故障78次，未能成功檢測(cè)故障4次，采用Hart運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)Bayes方法[19]對(duì)歷史裝備信息進(jìn)行處理，即認(rèn)為歷史裝備的驗(yàn)證試驗(yàn)等價(jià)于對(duì)當(dāng)前裝備進(jìn)行了60%次數(shù)的試驗(yàn)。因此可確定先驗(yàn)分布滿足：

π(p)=Beta(p;78×0.6,4×0.6)=

Beta(p;46.8,2.4)

(31)

同時(shí)，經(jīng)承制方和使用方共同確定，承制方要求值p0=0.95，使用方要求值p1=0.90，雙方風(fēng)險(xiǎn)值α=β=0.1，以及本文為實(shí)現(xiàn)三參數(shù)空間的Bayes序貫決策需提供的接受假設(shè)Hi(i=0,1,2)時(shí)的誤判風(fēng)險(xiǎn)接受值αHi=0.1。

根據(jù)式(15)和式(21)，可以得到辨識(shí)框架Θ上的各先驗(yàn)信息的m函數(shù)如表1所示。

表1 不同先驗(yàn)信息的m函數(shù)表Table 1 m function table for different prior information

4.2 測(cè)試性驗(yàn)證方案對(duì)比分析

4.2.1 固定抽樣類測(cè)試性驗(yàn)證方案

1)經(jīng)典測(cè)試性驗(yàn)證方案。依據(jù)文獻(xiàn)[21]可得測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案為(187,13)，實(shí)際的雙方風(fēng)險(xiǎn)為α=0.087 4，β=0.098 1。

2)傳統(tǒng)Bayes測(cè)試性驗(yàn)證方案。確定先驗(yàn)分布為π(p)=Beta(p;46.8,2.4)，依據(jù)文獻(xiàn)[22]可得傳統(tǒng)Bayes驗(yàn)證試驗(yàn)方案為(66,4)，實(shí)際的雙方風(fēng)險(xiǎn)為α=0.069 7，β=0.096 2。

4.2.2 序貫類測(cè)試性驗(yàn)證方案

本文對(duì)飛控系統(tǒng)進(jìn)行了2次模擬仿真驗(yàn)證試驗(yàn)，以所有方案均作出判決則停止驗(yàn)證試驗(yàn)為準(zhǔn)則，得到各序貫類試驗(yàn)的試驗(yàn)次數(shù)，以及對(duì)應(yīng)的檢測(cè)失敗數(shù)。

1) SPRT測(cè)試性驗(yàn)證方案。根據(jù)文獻(xiàn)[23]，計(jì)算得到閾值上界ASPRT=9，閾值下界BSPRT=1/9，2次模擬仿真驗(yàn)證如圖1所示。

2) SPOT測(cè)試性驗(yàn)證方案。先驗(yàn)分布即為π(p)=Beta(p;46.8,2.4)，根據(jù)文獻(xiàn)[24]計(jì)算得到閾值上界ASPOT=79.948 7，閾值下界BSPOT=0.060 9。2次模擬仿真驗(yàn)證亦如圖1所示。

3) 本文方案。決策閾值為A0=A1=A2=1/9，從決策因子角度給出了序貫驗(yàn)證過(guò)程如圖2(a)和圖2(b)所示，圖中分別給出了不融合先驗(yàn)信息、只融合成敗型信息、只融合專家信息以及同時(shí)融合成敗型信息和專家信息的序貫決策曲線，同時(shí)也從后驗(yàn)概率分布角度給出了序貫決策過(guò)程，如圖2(c)和圖2(d)所示。

圖1 SPRT和SPOT測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)序貫判決Fig.1 Sequential judgment of SPRT and SPOT testability verification test

不同序貫類方案2次測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)決策情況如表2所示。

4.2.3 結(jié)果分析

1) 結(jié)合表2的序貫決策結(jié)果，分析圖1(a)和圖2(a)可得，不融合先驗(yàn)信息的優(yōu)化DS-SPOT序貫方案實(shí)際所需的樣本量，比SPRT方案略少，而多于SPOT方案，3種序貫方案均優(yōu)于固定抽樣方案，且均接受H0:p≥p0的決策。

2) 分析圖1(b)和圖2(b)可得，不融合先驗(yàn)信息的優(yōu)化DS-SPOT方案較之SPOT方案需要相對(duì)較多的樣本量，這是由于本文方案從后驗(yàn)概率來(lái)描述決策過(guò)程，其作出決策時(shí)后驗(yàn)概率為0.901 7，而傳統(tǒng)SPOT方案作出決策時(shí)后驗(yàn)概率為0.758 9，從后驗(yàn)概率而言本文方法更容易得到使用方的認(rèn)可。

3) 從圖2(a)和圖2(b)中可以反映出通過(guò)證據(jù)理論融合專家經(jīng)驗(yàn)信息和成敗型信息后優(yōu)化DS-SPOT方案均能在一定程度上減少試驗(yàn)所需的樣本量，說(shuō)明專家信息和成敗型信息支持接受對(duì)假設(shè)H0的決策，且同時(shí)融合專家信息和成敗型信息實(shí)際所需序貫樣本量更小，2次驗(yàn)證試驗(yàn)所需樣本量均優(yōu)于SPOT方案、SPRT方案。同時(shí)，圖2(a)和圖2(b)還反映出通過(guò)專家信息和成敗型信息融合后所需樣本量相當(dāng)，表明二者對(duì)于接受對(duì)假設(shè)H0的決策具備相當(dāng)?shù)闹С侄取?/p>

4) 圖2(c)和圖2(d)從后驗(yàn)概率的角度給出了優(yōu)化DS-SPOT方法的序貫決策過(guò)程，表明作出決策時(shí)后驗(yàn)概率的取值情況，便于決策者基于“小概率原理”進(jìn)行相應(yīng)的決策判斷。

表2 不同序貫方案決策結(jié)果
Table 2 Results of different sequential programs

序貫方案(驗(yàn)證試驗(yàn)次數(shù),檢測(cè)隔離情況)第1次驗(yàn)證試驗(yàn)第2次驗(yàn)證試驗(yàn)決策結(jié)果SPRT方案(41,0)(55,1)SPOT方案(23,0)(40,1)優(yōu)化DS-SPOT方案未融合先驗(yàn)信息(40,0)(68,1)融合成敗型信息(29,0)(56,1)融合專家信息(28,0)(55,1)融合成敗型和專家信息(18,0)(18,0)均接受假設(shè)H0

可見(jiàn)，本文所提優(yōu)化DS-SPOT方案，一方面能很好地融合專家信息和成敗型信息，相應(yīng)地減少試驗(yàn)樣本量，另一方面能從后驗(yàn)概率的角度作出決策，解決了傳統(tǒng)SPOT方法作出決策時(shí)后驗(yàn)概率可能不大而使決策難以得到認(rèn)可的不足。

4.3 平均樣本量

上述對(duì)飛控系統(tǒng)的2次模擬仿真驗(yàn)證試驗(yàn)以實(shí)例的形式表明了優(yōu)化方案的有效性，為了從一般層面上驗(yàn)證所提方案的有效性，選用序貫類驗(yàn)證試驗(yàn)的度量指標(biāo)—平均樣本量(ASN)，對(duì)所提方案進(jìn)行分析。為了保證不同方法ASN比較的合理性，首先應(yīng)對(duì)方法的抽樣特性進(jìn)行比較，在抽樣特性接近的情況下開展ASN的比較。經(jīng)典驗(yàn)證方案和傳統(tǒng)Bayes驗(yàn)證方案是基于二項(xiàng)分布模型的，具備相同抽樣特性函數(shù)[12]，可據(jù)此繪制抽樣特性曲線。SPRT方案抽樣特性和平均樣本量的圖形繪制可通過(guò)文獻(xiàn)[25]給出的解析公式進(jìn)行繪制，而SPOT方案和本文方案的抽樣特性和平均樣本量不具備解析解，采用Monte Carlo仿真的方式進(jìn)行，具體如下：

步驟1將測(cè)試性指標(biāo)劃p劃分為1 000個(gè)離散測(cè)試性水平值pi=0.001×i,i=1,2,…,1 000。

步驟2對(duì)于劃分的1 000個(gè)離散測(cè)試性水平值進(jìn)行N次判決過(guò)程試驗(yàn)。當(dāng)測(cè)試性水平離散值取為pi時(shí)，以概率pi隨機(jī)生成成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在第j(j=1,2,…,N)次仿真過(guò)程中，可得到作出決策的試驗(yàn)次數(shù)為Nij，對(duì)應(yīng)的檢測(cè)失敗次數(shù)為Cij(對(duì)于SPOT方案而言決策即為接受或拒收，對(duì)于本文方案而言決策為判斷屬于假設(shè)H0，H1或者是H2)；同時(shí)，作出決策且判斷為接收時(shí)，則pi對(duì)應(yīng)的接收判決次數(shù)Tij相應(yīng)加1。

步驟3當(dāng)測(cè)試性水平取值為pi時(shí)，對(duì)應(yīng)的抽樣特性O(shè)Ci、平均抽樣次數(shù)ASNi和平均檢測(cè)失敗次數(shù)ACi可表示為

(32)

事實(shí)上，SPOT方案和本文方案可能存在驗(yàn)證試驗(yàn)無(wú)法決策的情況，此時(shí)需要對(duì)試驗(yàn)方案進(jìn)行截尾，本文均選用固定截尾NT=100，當(dāng)樣本量達(dá)到100而無(wú)法進(jìn)行決策時(shí)，2種方法均根據(jù)后驗(yàn)概率進(jìn)行決策，選擇不同假設(shè)中后驗(yàn)概率較大者作為最終決策。

通過(guò)上述步驟和約定截尾措施，得到SPRT方案、SPOT方案以及本文方案的抽樣特性、平均樣本量和檢測(cè)失敗次數(shù)對(duì)比曲線如圖3～圖5所示(本文采用1∶5∶1 000的間隔步長(zhǎng)進(jìn)行繪圖，避免數(shù)據(jù)點(diǎn)密集而圖形辨識(shí)度不足的問(wèn)題)。

圖3 抽樣特性對(duì)比曲線Fig.3 Comparison of sampling characteristics curves

圖4 平均樣本量對(duì)比曲線Fig.4 Comparison of average sample sizes curves

分析圖3～圖5可以得到以下結(jié)論：

1) 由于在整個(gè)FDR的取值區(qū)間[0,1]上，幾種不同方法的OC值大多為0，為使對(duì)比更明顯，圖3僅顯示了[0.6,1]區(qū)間內(nèi)的抽樣特性曲線。以經(jīng)典驗(yàn)證方案的抽樣特性曲線為參考，其余不同方案得到的抽樣特性曲線相對(duì)接近。通過(guò)圖3中[0.95,1]區(qū)間的局部放大圖，且圖3反映出在相同F(xiàn)DR取值pi下，未融合優(yōu)化DS-SPOT方案OC值較之經(jīng)典驗(yàn)證方案OC值差距相對(duì)最大，但融合專家和成敗型信息方案的OC值與經(jīng)典驗(yàn)證方案OC值更為接近，這是由于融合信息會(huì)增加作出正確決策Tij的次數(shù)，故相應(yīng)的OC值會(huì)增加。

2) 圖4和圖5中給出了區(qū)間[0.95,1]的局部放大圖，可以看出在該區(qū)間內(nèi)融合專家信息、融合成敗型信息以及同時(shí)融合專家信息和成敗型信息的優(yōu)化DS-SPOT方案較之未融合的方案而言具備更小的平均樣本量和檢測(cè)失敗次數(shù)，同時(shí)通過(guò)計(jì)算當(dāng)前平均樣本量下的后驗(yàn)概率π(Hi|(ASN,AC))(i=0,1,2)，總有后驗(yàn)概率π(H0|(ASN,AC))最大，且滿足本文設(shè)計(jì)的序貫決策要求，表明了先驗(yàn)信息對(duì)于決策H0具備支持作用，融合能減少接受假設(shè)H0的平均樣本量。

3) 無(wú)論是從平均樣本量角度還是從平均檢測(cè)失敗數(shù)角度而言，單獨(dú)融合成敗型信息和單獨(dú)融合專家信息在接受假設(shè)H1和H2時(shí)(區(qū)間范圍為(0,0.95))，可能具備比不融合方案更多的平均樣本量和檢測(cè)失敗數(shù)，這是由于專家信息和成敗型信息是支持決策H0的，顯然如果要支持對(duì)H1和H2的決策則必然需要更多的樣本量，符合實(shí)際情況。同時(shí)，比較融合成敗型信息的優(yōu)化方案和融合專家信息的優(yōu)化方案，從圖4中反映出融合專家信息的優(yōu)化方案較之融合成敗型信息的優(yōu)化方案具備相對(duì)較少的平均樣本量，這說(shuō)明專家信息對(duì)決策H0的支持度要高于成敗型信息，這一點(diǎn)從圖5平均檢驗(yàn)失敗數(shù)也能得到印證，支持度高的方案等同于驗(yàn)證試驗(yàn)開展前提供了相應(yīng)的較多的檢測(cè)成功次數(shù)，如果要接受假設(shè)H2，則必然需要更多的檢測(cè)失敗數(shù)。

4) 同時(shí)融合專家信息和融合成敗型信息的優(yōu)化方案具備比僅融合專家信息、僅融合成敗型信息以及不融合先驗(yàn)信息方案更少的平均樣本量和平均檢測(cè)失敗次數(shù)。在決策域H1和H2上(區(qū)間范圍為(0,0.95))，通過(guò)計(jì)算后驗(yàn)概率π(Hi|(ASN,AC))，同時(shí)融合兩者可能會(huì)使得π(H1|(n,c))≥1-αH1，即判定給模糊參數(shù)空間H1，并能從“小概率事件原理”進(jìn)行合理解釋，說(shuō)明裝備測(cè)試性水平仍有待提升。這也是造成融合專家信息和成敗型信息后，對(duì)于接受假設(shè)H0的支持度提高，而在決策域H1和H2上平均樣本量和平均檢測(cè)失敗次數(shù)卻減少的原因。

5) 由于先驗(yàn)信息對(duì)于決策H0的支持，通過(guò)對(duì)比分析區(qū)間[0.95,1]上本文融合先驗(yàn)信息的優(yōu)化方案和SPRT方案、SPOT方案，從圖4、圖5來(lái)看，不融合先驗(yàn)信息的優(yōu)化方案不一定具備比SPRT方案和SPOT方案更少的平均樣本量，但是具備更小的后驗(yàn)概率，能基于后驗(yàn)概率以及“小概率事件原理”進(jìn)行決策，同時(shí)融合先驗(yàn)信息能很大程度上減少平均樣本量和平均檢測(cè)失敗次數(shù)，當(dāng)FDR指標(biāo)值越高，同時(shí)融合專家信息和成敗型信息的優(yōu)化DS-SPOT方案具備比SPRT方案、SPOT方案更小的平均樣本量。

6) 分析3種不同融合方式的曲線，能反映出先驗(yàn)信息對(duì)于決策H0的支持度越高，則所需平均樣本量和平均檢測(cè)失敗數(shù)越小。由此可見(jiàn)，優(yōu)化DS-SPOT方案所需平均樣本量與先驗(yàn)信息對(duì)于決策Hi的支持程度有關(guān)，如果先驗(yàn)信息支持作出決策Hi，則所屬?zèng)Q策域所需平均樣本量相對(duì)會(huì)減少，能幫助測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)更快的進(jìn)行決策判斷，縮短驗(yàn)證周期以及控制驗(yàn)證成本。

5 結(jié) 論

基于對(duì)SPOT測(cè)試性驗(yàn)證方案中模糊參數(shù)空間的考慮不足以及未能充分利用研制階段多源先驗(yàn)信息的問(wèn)題，本文提出了一種基于優(yōu)化DS-SPOT的測(cè)試性驗(yàn)證方案，具備以下優(yōu)點(diǎn)：

1) 考慮了假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中的模糊參數(shù)空間，不再是簡(jiǎn)單的接收/拒收判決，決策給出測(cè)試性指標(biāo)實(shí)際所在的參數(shù)空間，為承制方和使用方提供更合理的參考依據(jù)；考慮了研制階段的多源先驗(yàn)信息，通過(guò)證據(jù)理論對(duì)其進(jìn)行融合，使得裝備研制階段存在的測(cè)試性研制信息得到合理的運(yùn)用。

2) 與固定抽樣方案相比，融合先驗(yàn)信息的優(yōu)化DS-SPOT方案能根據(jù)實(shí)際序貫過(guò)程進(jìn)行判決，且具備比固定抽樣方案小的平均樣本量；與序貫類測(cè)試性驗(yàn)證方案相比，能充分融合多源信息，在先驗(yàn)信息支持決策的參數(shù)空間內(nèi)具備比SPRT、SPOT方案相對(duì)較小的平均樣本量。

3) 隨著先驗(yàn)信息對(duì)所支持決策的參數(shù)空間的支持度提高，相應(yīng)的平均樣本量相應(yīng)減小。

可見(jiàn)，本文所提方案能充分融合多源先驗(yàn)信息以及考慮承制方和使用方測(cè)試性指標(biāo)間的模糊參數(shù)空間，一方面能有效減少驗(yàn)證試驗(yàn)所需樣本量，另一方面能為承制方和使用方提供更加科學(xué)、合理的決策結(jié)果。

但是，除了文中進(jìn)行討論的研究點(diǎn)外，仍有一些問(wèn)題需要進(jìn)行進(jìn)一步的研究：

1) 由于序貫試驗(yàn)的隨機(jī)性，序貫方案的最大樣本量可能無(wú)法有效控制，本文給出的固定截尾方案是一種有效形式，但同時(shí)也會(huì)造成決策風(fēng)險(xiǎn)，下一步應(yīng)當(dāng)在控制風(fēng)險(xiǎn)的前提下研究更為合理有效的截尾措施。

2) 先驗(yàn)信息的運(yùn)用是優(yōu)化DS-SPOT方案的關(guān)鍵一環(huán)，準(zhǔn)確的先驗(yàn)信息有助于提高決策判定的可信度，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)先驗(yàn)信息可信度的研究比較多，但不夠系統(tǒng)。因此有必要開展先驗(yàn)信息納入體系的研究，以保證先驗(yàn)信息來(lái)源和使用的合理性、準(zhǔn)確性和便捷性。